电磁场与电磁波课件.ppt

第一章,矢量分析,电磁场与电磁波理论,Nanjing University of Information Science&Technology,第一章 矢量分析,主 要 内 容,梯度、散度、旋度、,亥姆霍兹定理,1.1,矢量的代数运算,一,.,矢量与矢量表示,1.,物理量的分类,物理量,与位置无关：时间、长度、质量,与位置有关,（场量）,标量场（只有大小）：温度、湿度、电位,矢量场（大小,+,方向）：速度、电场、磁场,Nanjing University of Information Science&Technology,单位矢量：模等于,1,的矢量。与矢量同方向的单位矢量表示为：,2.,矢量与单位矢量,任一个矢量 可以用其模（代表大小）和单位矢量（代表矢量方向）来表示：,3.,矢量表示法,三维空间中，矢量 可表示为一根有方向的线段。线段的长度代表矢量的模，线段的方向代表矢量的方向。,Nanjing University of Information Science&Technology,直角坐标系下矢量表示：,大小：,方向（单位矢量）：,4.,位置矢量和距离矢量,位置矢量（矢径）：从原点指向空间某一点的矢量,。,距离矢量,从空间某一点（源点）指向另一点（场点）的矢量,大小：,方向,(,单位矢量,),：,Nanjing University of Information Science&Technology,矢量的方向余弦,矢量与三个坐标轴之间的夹角。,Nanjing University of Information Science&Technology,例：在直角坐标系中有一个矢量,矢量的大小,:,矢量的方向,:,与三个坐标轴的夹角,:,Nanjing University of Information Science&Technology,二矢量的代数运算：,用公式,(,代数方法,),和图形,(,几何方法,),1.,矢量相等判定,能使用两种方法判定矢量 是否相等吗？,Nanjing University of Information Science&Technology,几何方法：让两个矢量平移至它们的始点重合，此时，若它们的终,点也重合，则表明它们是相等的。即 。,代学方法：若 两矢量的对应分量相等，则 。,例如：在直角坐标系中，若 ，则 。,Nanjing University of Information Science&Technology,2.,矢量与标量的乘积,几何方法：为实数，,放大，缩小，方向不变，,方向相反。,代数方法：（标量与矢量的各个分量相乘），即,Nanjing University of Information Science&Technology,3.,矢量的加减,Nanjing University of Information Science&Technology,Nanjing University of Information Science&Technology,Nanjing University of Information Science&Technology,注意（三点）：,1,矢量的加法满足交换律和结合律：,2,矢量减法不满足交换律：,3,只有矢量之间才能相加减,Nanjing University of Information Science&Technology,4.,矢量的标量积与矢量积,标量积（,The Dot Product,）,矢量积（,The Cross Product,）,Nanjing University of Information Science&Technology,标量积,矢量积,Nanjing University of Information Science&Technology,注意（两点）：,1,标量积满足交换律和分配律,:,2,矢量积只满足分配律，不满足交换律,Nanjing University of Information Science&Technology,1.2,标量场的方向导数与梯度,一.标量场的方向导数,场,：空间中的每一个点都对应着某个物理量的一,个确定值，称为该空间中定义了这个物理量,的场或者函数,标量场,：描述场的物理量是标量的场（教室里温度；湿度等）,矢量场,：描述场的物理量是矢量的场（河流内水流速度分布；区域内场强分布）,静态场：描述场的物理量不随时间变化的场,时变场：描述场的物理量随时间变化的场,1.,标量场和矢量场,Nanjing University of Information Science&Technology,2,.,标量场的等值面和方向导数,等值面,:,由描述标量,场的物理量数值相同的点构成的曲面。即场,函数 ，它表示一空间曲面,等值面特点:互不相交,Nanjing University of Information Science&Technology,例如标量场,在,点沿,方向上的方向导数定义为,方向导数,:,标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向,上的变化率。,式中，为 点处沿 方向的方向余弦，即 单位,向量 在坐标轴上的投影,。,则,Nanjing University of Information Science&Technology,TO BE CONTINUED,Nanjing University of Information Science&Technology,二.标量场的梯度,因 点是场中任意点，则可略去上述方向导数中的下标 ，则,Nanjing University of Information Science&Technology,矢量 的特点1）垂直于考察点处的等值面的切平面；,2）,总是指向函数增大的方向，也就是曲面正法线方向；,3）,大小反映场值变化快慢。,Nanjing University of Information Science&Technology,梯度,:,标量场在某点,最大,方向导数、连同相应的方向称为标量场在该,点的梯度。显然，,梯度是一个,矢量,。,在直角坐标系中，标量场,的梯度可表示为,式中,grad,是英文字母,gradient,的缩写。,引入哈密顿算子的矢量符号,，,在直角坐标系中可表示为,则梯度可表示为,Nanjing University of Information Science&Technology,基本公式,为常数,：矢量微分算子,Nanjing University of Information Science&Technology,例：,设 和 分别表示空间点,P(x,y,z),和点,P(x,y,z),的矢径，,R,表示这两点之间的距离。试证明,（,1,）,（,2,）,式中，分别表示对坐标变量,(x,y,z),和,(x,y,z),的哈密顿算子,证明：,（,1,）,（,2,）,Nanjing University of Information Science&Technology,1.3,矢量场的通量与散度,通量线,：在场中画一些曲线，曲线上的每一点的切线方向代表该点,矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场大小。,一.矢量场的通量,通 量,：矢量场 穿过曲面 的通量线的总数。用公式表示如下,式中，矢量面积元 ，,而 为 的,法向单位矢。,Nanjing University of Information Science&Technology,1,、开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面积元,矢量的方向选取有关；,正、负仅仅反映通量线从那一侧穿过,曲面,。,2,、,非闭合曲面,，其法线方向需事先规定；,闭合曲面的,正法线方向,规定为由的内部指向外部，即外法线方向。,3,、通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，,矢量又称为,通量密度,。例如，电位移也常常称为电通量密度。,4,、,发出通量线,的点称为“源”，,吸收通量线,的点称为“沟”。例如，,静电场中的正电荷是发出电力线的“源”，负电荷是吸收电力,线的“沟”。,5,、穿过整个闭合曲面的,总通量等于,“源”发出的通量线减去“沟”吸,收的通量线。,五点说明,Nanjing University of Information Science&Technology,二.矢量场散度,散度：,当闭合面,S,向某点无限收缩时，矢量,通过该闭合面,S,的,通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场,在该,点的散度，以,div,表示，即,式中,div,是英文字母,divergence的缩写，,V,为闭合面,S,包围的体积。上式表明，,散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。,Nanjing University of Information Science&Technology,形状随意,Nanjing University of Information Science&Technology,三种典型,div,A,值的情况,对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。,Nanjing University of Information Science&Technology,可以证明，在直角坐标系中散度可表示为,结合前面的哈密顿算子，则有,式中，为在直角坐标系中,的三个分量，即,Nanjing University of Information Science&Technology,基本公式,Nanjing University of Information Science&Technology,例：,设,R,表示空间点,P(x,y,z),和点,P(xyz),之间的,距离，试求：,解：,提示：,Nanjing University of Information Science&Technology,1.4,矢量场的环量与旋度,环量：,矢量场,沿一条有向曲线,的线积分称为矢量场,沿该曲,线的环量，以,表示，即,一.矢量场的环量,说明,：1）环量是一个,标量,，可以为正数、负数或零，此处，正、,负反映矢量场在闭合曲线上的环绕方向；,2）环量大小反映矢量场沿闭合曲线的分布强度情况。准确,地，反映围线上的场矢量与围线所围场源间的关系（如稳恒,磁场中，有 ）。,可见，环量可以用来描述漩涡场矢量与旋涡源的总体关系。,Nanjing University of Information Science&Technology,旋度引入分析,：,如图，为曲线 所围面积，其法线方向 与围线,的环绕方向成右手螺旋关系。,二.矢量场旋度,描述 上旋涡源与围线上旋涡场的总体关系,描述 上旋涡源与围线上旋涡场的平均关系旋涡,描述 点在方向 上，旋涡源与旋涡场的关系。,或称矢量场在 点沿 方向的环量密度,可见，要准确描述场中任意点的旋涡源与旋涡场间的关系，这个量应该是一个既有大小又有方向的量，即它是一个,矢量,。,Nanjing University of Information Science&Technology,旋度：,已给,矢量场 ，若在空间某给定点 处存在这样一个矢量，它,的大小等于该点最大的环流密度，它的方向为取得最大环流密,度的那块小面积 的法线方向，则这个矢量称为矢量 在 点的,旋度(,rotation,或,curl)，,记为 (或记为 )。,综上，场点 在 方向的环流密度是旋度矢量在该方向上的投影，即,Nanjing University of Information Science&Technology,不同闭合路径位置情况下的环量,Nanjing University of Information Science&Technology,容易证明，旋度也可用哈密顿算子表示，于是有,（按第一行展开）,旋度公式推导思路,：,在直角坐标系中，分别求出场点 处沿 轴方向、,轴方向和 轴方向的环流密度，然后由这三个分量构成的矢量,就是所要求的场点 处的旋度,。,经详细数学推导，可得,Nanjing University of Information Science&Technology,基本公式,Nanjing University of Information Science&Technology,例：,试证明 （,C,为常矢量，,r,为矢经）。,证明,Nanjing University of Information Science&Technology,梯度：描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向,一个标量函数的梯度是一个,矢量函数,三.梯度、散度、旋度的比较,有源场,：,存在通量源的场,有旋场,：,存在旋涡源的场,散度：描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系,一个矢量函数的散度是一个,标量函数,旋度：描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系,一个矢量函数的旋度是一个,矢量函数,一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场,Nanjing University of Information Science&Technology,Nanjing University of Information Science&Technology,1.5,矢量的恒等式和基本定理,三个重要的恒等式,任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。由此可见，任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。,任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。由此可见，旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋场。,称为拉普拉斯算子。,Nanjing University of Information Science&Technology,高斯定理：,矢量场 穿过空间任一闭合曲面 的通量等于该矢量的散,度在曲面 所包围体积 内的体积分。即,从数学角度看，高斯定理建立了面积分和体积分的关系；从物理角度看，高斯定理建立了区域,V,中的源和包围区域,V,的闭合面,S,上的场之间的关系。因此，如果已知区域,V,中的源，在一些特殊情况下，可求出边界,S,上的场；反之，由场可求出源。,Nanjing University of Information Science&Technology,斯托克斯定理：,矢量场 沿空间任一闭合曲线,的环量等于该矢量场的旋度穿过以 作为,边界曲线的任一开放曲面 的通量。即,同高斯定理类似，从数学角度看，,斯托克斯,定理建立了线积分和面积分的关系；从物理角度看，,斯托克斯,定理建立了区域,S,中的源和包围区域,S,的闭合曲线,l,上的场之间的关系。因此，如果已知区域,S,中的源，在特殊条件下，可求出边界,l,上的场；反之，由场可求出源。,Nanjing University of Information Science&Technology,格林定理,设任意两个标量场,及,，若在区域,V,中具有连续的二阶偏导数，如下图示。,那么，可以证明该两个标量场,及,满足下列等式,式中,S,为包围,V,的闭合曲面，为标量场,在,S,表面的外法线,e,n,方向上的偏导数。,S,V,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,上两式称为,格林第一定理,。,Nanjing University of Information Science&Technology,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为,标量第二格林定理,。,格林定理，说明,区域,V,中的场与,边界,S,上的场之间的关系。因此，,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,Nanjing University of Information Science&Technology,矢量场的唯一性定理,：,位于某一区域中的矢量场当其,散度,、,旋,度,以及边界上场量的,切向,分量（或,法向,分量）给定后，则,该区域中的矢量场被唯一地确定。,已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其,源,及,边界条件,共同决定的。,Nanjing University of Information Science&Technology,亥姆霍兹定理,：空间有限区域 内的任一矢量场 均可以表示为一,个无源场 (即 或 )和一个无旋场 (即,或 )之和，即,式中,这里，和 分别表示源点和场点的坐标，是区域 的边界闭合曲面，,Nanjing University of Information Science&Technology,亥姆霍兹定理,(特例情况，即场区,，,源区,有限),：,式中,可见,:,在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将空间中的这个矢量场定量地确定下来。,Nanjing University of Information Science&Technology,1.6,正交曲面坐标系,z,x,y,z,=,z,0,x,=,x,0,y,=,y,0,P,0,O,一.三种常用的正交坐标系,1.,直角坐标系,变量范围：,单位方向：成右旋关系，且,长度微元,：,体积微元,：,矢量表示,：,Nanjing University of Information Science&Technology,2.,圆柱坐标系,变量范围：,单位方向：成右旋关系，且,长度微元,：,体积微元,：,矢量表示,：,面积微元,：,Nanjing University of Information Science&Technology,3.,球面坐标系,变量范围：,单位方向：成右旋关系，且,长度微元,：,体积微元,：,矢量表示,：,面积微元,：,Nanjing University of Information Science&Technology,二.三种常用坐标系的转换,1.,直角坐标系与圆柱坐标系之间的关系,1).用 表示,2).用 表示,Nanjing University of Information Science&Technology,2.,直角坐标系与球面坐标系之间的关系,按1中的类似方法求解，结果参见教材,3.,圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系,按1中的类似方法求解，或由1和2的结果推出它们间的关系，具体过程不在这里给出。结果参见教材,Nanjing University of Information Science&Technology,三种坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展开式（,详见教材,）,特别值得注意的是，在圆柱坐标系和球面坐标系中，,表达形式比直角坐标系复杂的多。,Nanjing University of Information Science&Technology,