第5章离散信号与系统的时域分析信号与系统.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,5,章 离散信号与系统的时域分析,第,5,章 离散信号与系统的时域分析,5.0,引 言,5.1,离散时间基本信号,5.2,卷积和,5.3,离散系统的算子方程,5.4,离散系统的零输入响应,5.5,离散系统的零状态响应,5.6,系统差分方程的经典解法,5.0,引 言,在前面几章的讨论中，所涉及的系统均属连续时间系统，这类系统用于传输和处理连 续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散 时间系统，简称离散系统。数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。鉴于离散系统在精度、可靠性、可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此，近几十年来，离散 系统的理论研究发展迅速，应用范围也日益扩大。在实际工作中，人们根据需要往往把 连续系统与离散系统组合起来使用，这种系统称为混合系统。,5.1,离散时间基本信号,5.1.1,离散时间信号,连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量,t,的函数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续点外，对任一给定时刻都对应有确定的信号值。,离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量,t,k,(,k,=0,1,2,),的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义，如图,5.1-1(,a,),所 示。鉴于,t,k,按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列，通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合：,f,k,=,f,(,t,k,),k,=0,1,2,(5.1-1),式中，,k,为整数，表示信号值在序列中出现的序号。,图,5.1,1,离散时间信号,式,(5.1-1),中,t,k,和,t,k,-1,之间的间隔,(,t,k,-,t,k,-1,),可以是常数，也可以随,k,变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续时间信号均匀取样后得到的离散时间信号便是如此。对于这类离散时间信号，若令,t,k,-t,k,-1,=,T,，则信号仅在均匀时刻,t,=,kT,k,=0,1,2,),上取值。此时，式,(5.1-1),中的,f,(,t,k,),可以改写为,f,(,kT,),，信号图形如图,5.1-1(,b,),所示。为了简便，我们用序列值的通项,f,(,kT,),表示集合,f,(,kT,),，并将常数,T,省略，则式,(5.1-1),可简写为,f,k,=,f,(,k,),k,=0,1,2,(5.1-2),工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称为,离散时间序列,，简称,序列,。,5.1.2,离散时间基本信号,1.,单位脉冲序列,单位脉冲序列定义为,图,5.1,2,单位脉冲序列,位移单位脉冲序列,或,图,5.1-3,移位单位脉冲序列,2.,正弦序列,正弦序列的一般形式为,由于,式中，,m,、,N,均为整数。式,(5.1-5),表明，只有当 为整数，或者,为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。,(5.1-6),当正弦序列是通过抽取连续时间正弦信号的样本获得时，如果假设正弦信号 的周期为,T,0,，取样间隔为,T,s,，那么，经过抽样得到的正弦序列可表示为,式中，将它代入式,(5.1-6),可 得,对于连续时间正弦信号,按几种不同间隔,T,s,抽样得到的正弦序列示于图,5.1-4,中。当 时，有,此时，是一个周期为,16,的周期性正弦序列，其 图形如图,5.1-4(,a),所示。当 ，可得到如图,5.1-4(b)所示的序列，其 ，是一个周期为,23,的周期性正弦序列；当 ，序列图形如图,5.1-4(c),所示，其 ，由于,是一无理数，故,f,(,k,),是一非周期正弦序列，值得注意的是此时它的包络函数,f,(,t,),仍具有周期性。,图,5.1,4,正弦序列,3.,指数序列,指数序列的一般形式为,(1),若,A,和 均为实数，则 为实指数序列。,当,a,1,时，,f,(,k,),随,k,单调指数增长。,当,0,a,1,时，,f,(,k,),随,k,单调指数衰减；,当,a,-1,时，,f(k),的绝对值随,k,按指数规律增长。,当,-1,a,0,时，,f,(,k,),绝对值随,k,按指数 规律衰减。且两者 的序列值符号呈现正、负交替变化；,当,a,=1,时，,f,(,k,),为常数序列。,当,a,=-1,时，,f,(,k,),符号也呈现正、负交替变化。,(,图,5.1,5,所示,),图,5.1,5,实指数序列,(2),若,A=1,，,=,j,0,，则,是虚指数序列。,我们已经知道，连续时间虚指数信号,e,j,0,t,是周期信号。然而，离散 时间虚指数序列,e,j,0,k,则只有满足一定条件时才是周期的，否则是非周 期的。根据欧拉公式，式,(5.1-9),可写成,可见，,e,j,0k,的实部和虚部都是正弦序列，只有其实部和虚部同时为周 期序列时，才能保证,e,j,0,k,是周期的。,(3),若,A,和,均为复数，则,f,(,k,)=Ae,k,为一般形式的复指数序列。,设复数,A=|A|e,j,=,+,j,0,，并记,e,=,r,，则有,可见，复指数序列,f,(,k,),的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。,图,5.1 6,复指数序列,4.Z,序列,Z,序列的一般形式为,式中，,z,为复数。通常，称序列值为复值的序列为,复序列,。显然，,Z,序列是一复序列。若将,z,表示为极坐标形式,根据欧拉公式，还可写成,5.2,卷 积 和,5.2.1,卷积和的定义,定义两个连续时间信号,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的卷积运算为,同样地，我们定义,为序列,f,1,(,k),和,f,2,(,k,),的卷积和运算，简称卷积和,(Convolution Sum),。,(5.2-2),如果,f,1,(,k,),为因果序列，由于,k,0,时，,f,1,(,k,)=0,，故式,(5.2-2),中求和下限可 改写为零，即,如果,f,2,(,k,),为因果序列，而,f,1,(,k,),不受限制，那么式,(5.2-2),中，当,(,k,-i),0,，即,i,k,时，,f,2,(,k,-i)=0,因而和式的上限可改写为,k,，也就是,如果,f,1,(,k,),和,f,2,(,k,),均为因果序列，则有,(5.2-5),考虑到,f,1,(,k,),、,f,2,(,k,),均为因果序列，根据式,(5.2-5),，可将上式表示为,例,5.2,1,设,f,1,(,k,)=e,-k,(,k,),，,f,2,(,k,)=,(,k,),求,f,1,(,k,)*,f,2,(,k,),。,解,由卷积和定义式,(5.2-2),得,显然，上式中,k,0,，故应写为,与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘、求和等四个基本步骤。,例,5.2,2,已知离散信号,求卷积和,f,1,(,k,)*,f,2,(,k,),。,解,记卷积和运算结果为,f,(,k,),，由式,(5.2-2),得,第一步，画出,f,1,(,i,),、,f,2,(,i,),图形，分别如图,52-1(,a,),、,(,b,),所示。,第二步，将,f,2,(,i,),图形以纵坐标为轴线翻转,180,，得到,f,2,(-,i,),图形，如图,5.2-1(,c,),所示。,第三步，将,f,2,(-,i,),图形沿,i,轴左移,(,k,0),或右移,(,k,0)|,k,|,个时间单位，得到,f,2,(,k,-i),图形。例如，当,k,=-1,和,k,=1,时，,f,2,(,k,-i),图形分别如图,5.2-1(,d,),、,(,e,),所示。,第四步,，对任一给定值,k,，按式,(5.2-6),进行相乘、求和运算，得到序号为,k,的卷 积 和序列值,f,(,k,),。若令,k,由,-,至变化，,f,2,(,k,-,i,),图形将从,-,处开始沿,i,轴自左向右移动，并由式,(5.2-6),计算求得卷积和序列,f,(,k,),。对于本例中给定的,f,1,(,k,),和,f,2,(,k,),，具体计算过程如下：,于是，其卷积和为,对于两个有限长序列的卷积和计算，可以采用下面介绍的更为简便实用的方法计算。这种 方法不需要画出序列图形，只要把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘，但中 间结果不进位，最后将位于同一列的中间结果相加得到卷积和序列。例如，对于例,5.2-2,中给定的,f,1,(,k,),和,f,2,(,k,),，为了方便，将,f,2,(,k,),写在第一行，,f,1,k,),写在第二行，经序列值相乘和中间结果相加运算后得到,图,5.2-1,卷积和计算,5.2.2,卷积和的性质,性质,1,离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即,性质,2,任一序列,f,(,k,),与单位脉冲序列,(,k,),的卷 积和等于序列,f,(,k,),本身，即,性质,3,若,f,1,(,k,)*,f,2,(,k,)=,f,(,k,),，则,式中,k,1,k,2,均为整数。,例,5.2-3,已知序列,x,(,k,)=(3),-k,(,k,),，,y,(,k,)=1,-,k,试验证,x,(,k,),和,y,(,k,),的卷积和运算满足交换律，即,解,先计算,x,(,k,)y,(,k,),，考虑到,x,(,k,),是因果序列，根据式,(5.2-3),，有,再计算,y,(,k,)*,x,(,k,),，同样考虑到,x,(,k,),是因果序列，可得,求解过程中对,k,没有限制，故上式可写为,x,(,k,)*,y,(,k,)=,y,(,k,)*,x,(,k,)=1.5 -,k,可见，,x,(,k,)*,y,(,k,),运算满足交换律。,所以,例,5.2-4,已知序列,f,1,(,k,)=2,-(,k,+1),(,k,+1),和,f,2,(,k,)=,(,k,-2),，试计算卷积和,f,1,(,k,)*,f,2,(,k,),。,解,用下面两种方法计算。,方法一：,图解法。将序列,f,1,(,k,),f,2,(,k,),的自变量换为,i,，画出,f,1,(,i,),和,f,2,(,i,),的图形如图,5.2-2(,a,),(,b,),所示。,将,f,2,(,i,),图形翻转,180,后，得,f,2,(-,i,),，如图,5.2-2(,c,),所示。,当,k,1,时，由图,5.2-2(,d,),可知，其乘积项,f,1,(,i,),f,2,(,k,-,i,),为零，故,f,1,(,k,)*,f,2,(,k,)=0,。,图,5.2-2,当,k,1,时，按卷积和定义，参见图,5.2-2(,e,),，可得,于是,故有,方法二,：应用卷积和性质,3,。先计算,上式中,k0,，故有,再应用卷积和性质,3,，求得,5.2.3,常用序列的卷积和公式,表,5.1,常用序列的卷积和公式,5.3,离散系统的算子方程,5.3.1 LTI,离散时间系统,图,5.3-1,离散系统的输入输出模型,离散时间系统的状态和状态变量。离散时间系统在,k,0,时刻的状态是指 满足如下条件的数目最少的一组数据,x,1,(,k,0,),x,2,(,k,0,),x,n,(,k,0,),。这组 数据连同,k,0,k,上的输入,f,(,k,),就可以惟一地确定,k,时刻的输出,y,(,k,),，而不需具体知道,k,0,以前的输入情况。,n,称为离散系统的阶数。,在实际工作过程中，系统的状态,x,1,(,k,0,),x,2,(,k,0),x,n,(,k,0,),随,k,0,不同 而变化，我们把描述系统状态变化的变量称作状态变量，它是一组序 列信号，记为,x,1,(,k,),x,2,(,k,),x,n,(,k,),。,离散时间系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。设,k,0,为初始观察 时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称,k,0,以前的输入为历史输入信号，称,k,0,及,k,0,以后的输入为当前输入信号或简称输入信号。我们将仅由,k,0,时刻的初始状态或历史输入信号引起的响应称作零输入响应，记为,y,x,(,k,),；仅由当前输入信号引起的响应称作零状态响应，记为,y,f,(,k,),。而将零输入响应、零状态响应之和 称作系统的完全响应，记为,y,(,k,),。,离散时间系统的齐次性、叠加性和线性特性。设离散系统的输入输出关系为,f,(,k,),y,(,k,),所谓齐次性是指对于任意常数,a,、输入,f,(,k,),和输出,y,(,k,),，恒有,af,(,k,),ay,(,k,)(5.3-3),所谓,叠加性,是指对于输入,f,1,(,k,),、,f,2,(,k,),和输出,y,(,k,),，若设,f,1,(,k,),y,1,(,k,),，,f,2,(,k,),y,2,(,k,),，则恒有,f,1,(,k,),f,2,(,k,),y,1,(,k,)+,y,2,(,k,)5.3-4),式中，,f,1,(,k,),f,2,(,k,),表示,f,1,(,k,),和,f,2,(,k,),同时作为系统的输入。,齐次性和叠加性统称为线性特性。对于任意常数,a,和,b,，输入,f,1,(,k,),和,f,2,(,k,),共同作用时，系统的线性特性可表示为,af,1,(,k,),bf,2,(,k,),ay,1,(,k,)+,by,2,(,k,)(5.3-5),它同时体现了式,(5.3-3),的齐次性和式,(5.3-4),的叠加性。,线性离散时间系统和非线性离散时间系统。若离散时间系统的响应可 分 解为零输入响应和零状态响应两部分，且零输入响应与初始状态或历史输入信号、零状态 响应与当前输入信号之间分别满足齐次性和叠加性，则称该系统为线性离散时间 系统，否则称为非线性离散时间系统。,时不变离散时间系统和时变离散时间系统。设离散时间系统的输入输出关系为,若对于任意整数,k,0,，恒有,则称该系统为,时不变离散时间系统,，否则称为,时变离散时间系 统。,因果离散时间系统和非因果离散时间系统。如果系统始终不会在 输入加入之前产生响应，这种系统称为,因果系统,，否则称为,非因果系统。,例如，有三个系统的输入输出关系如下：,系统,1,y,(,k,)=,kf,(,k,),系统,2,y,(,k,)=|,f,(,k,)|,系统,3,y,(,k,)=,2f,(,k,)+,3f,(k-1),根据定义容易验证：系统,1,是线性时变离散时间系统，系统,2,是非线性时不变离散时间 系统，而系统,3,是线性时不变离散时间系统。,根据第,1,章讨论结果，一个,n,阶线性时不变离散时间系统，若其输入为,f,(,k,),，全响应为,y,(,k,),，那么，描述该系统输入输出关系的数学模型是,n,阶线性常系数差分方程，它可以表 示为,式中，,a,i,(,i,=0,1,n,-1),，,b,j,(,j,=0,1,m,),均为常数。,(5.3-7),5.3.2,离散系统算子方程,在连续时间系统分析中，我们曾用微分算子,p,和积分算子,p,-1,分别表示对函数的微分 和积分运算。与此类似，在离散系统分析中，我们引入,E,算子,(,超前算子,),，表示将序列提前一个单位时间的运算；,E,-1,算子,(,迟后算子,),，表示将序列延迟一个单位时间的运算，即：,应用中，统称,E,算子和,E,-1,算子为差分算子。,利用差分算子，可将差分方程式,(5.3-7),写成下述形式：,或写成,进一步写成,式中：,若令,则式,(5.3-9),可表示为,此式称为离散时间系统的算子方程。式中的,H,(,E,),称为,离散系统 的传输算子,。,H,(,E,),在离散系统分析中的作用与,H,(,p,),在连续系统分析中的作用相同，它完整地描述了离散系统的输入输出关，或者说集中反映了系统对输入序列的传输特 性例如，设某离散系统的差分方程为,以单位延迟算子,E,-1,作用于方程两边后，得到,图,5.3-2,用,H,(,E,),表示离散系统,根据差分算子的定义，容易证明：,可见，对于同一序列而言，超前算子与迟后算子的作用可以互相抵消，或者说作用于同 一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允许消去。,例,5.3-1,设描述某离散时间系统的差分方程为,求其传输算子,H,(,E,),并画出系统的模拟框图和信号流图表示。,解,写出系统的算子方程为,所以，系统的传输算子,再将算子方程改写成,图,5.3-3,例,5.3-1,图,例,5.3-2,某离散时间系统的输入输出算子 方程为,式中：,试画出系统的模拟框图和信号流图。,解,如同连续系统那样，选择中间变量,x,(,k,),，并令,则有,图,5.3-4,例,5.3-2,图,5.4,离散系统的零输入响应,根据线性系统定义，系统的完全响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。,在连续时间系统的时域分析中，我们从描述系统的微分方程或传输算子,H,(,p,),出发，分别求 出系统的零输入响应和零状态响应，然后把它们叠加起来得到系统的完全响应。这种做法 同样适用于离散系统的时域分析。只是在离散时间系统分析中，我们讨论问题的出发点是 描述系统的差分方程或传输算子,H(E),。此外，求解系统零状态响应时，与连续时间信号 的卷积积分相对应，需要进行离散时间信号的卷积和计算。,如前所述，一个描述,n,阶线性时不变离散时间系统的差分方程，若应用差分算子,E,，则可 表示为,或者写为,式中：,根据系统零输入响应的定义，如果假定初始观察时刻为,k,0,，那么，离散系统的零 输入响应就是,k,0,及,k,0,以后的输入为零时，仅由,k,0,以前的输入或,k0,时刻的状态引起 的响应，常记为,y,x,(,k,),。由此可见，在系统差分方程式,(5.4-1),中，只需 令输入信号,f,(,k,),为零，就可得到求解零输入响应,y,x,(,k,),的方程，其一般形式为,或者简写为,具体地说，离散系统的零输入响应就是上面齐次差分方程满足给定初始条件,y,x,(0),y,x,(1),，,，,y,x,(,n,-1),时的解。,5.4.1,简单系统的零输入响应,如果离散系统传输算子,H,(,E,),仅含有单个极点,r,，这时式,(5.4-6),可表示为,这是一个一阶齐次差分方程，将上式改写为,于是有,此式表明，序列,y,x,(,k,),是一个以,r,为公比的几何级数，它具有以下形式：,式中，,c,1,是常数，由系统零输入响应的初始条件确定。上述结果与一阶齐次微分方程 解,c,1,e,t,的形式非常类似，因为当时间,t,按,t,=,kT,离散变化时，其解可改写成,c,1,e,t,=,c,1,e,kT,=,c,1,(e,T,),k,，令,e,T,=,r,时，就是差分方程式,(5.4-7),的解。,因此，我们有如下结论：,如果系统传输算子仅含有,g,个单极点,r,1,r,2,r,g,，则相应齐次差分方程可写成,显然，满足以下方程,的解，必定也满足式,(5.4-10),。仿照微分方程解结构定理的证明，可导得式,(5.4-10),的解为,式中,待定系数值,c,1,c,2,c,g,由系统零输入响应的初始条件确定。,于是，有结论,为了考察,H,(,E,),含有重极点的情况，我们假定对于一极小值,，其系统齐次差分方程为,且系统初始条件为,y,x,(,k,),表示为,代入初始条件，有,解得,现在，令,0,取极限，使得,H,(,E,),的两个极点相重合，于是有,或写成,式中：,同样道理，如果传输算子,H,(,E,),仅含有,r,的,d,重极点，这时系统的齐次差分方程为,相应的零输入响应可表示为,式中，常数,c,0,c,1,c,d,-1,由系统零输入响应的初始条件确定。因此,5.4.2,一般系统的零输入响应,设,n,阶离散时间系统的齐次差分方程为,其传输算子,H,(,E,),含有,g,个相异极点,r,1,r,2,r,g,，对应的重数分别是,d,1,d,2,d,g,。这里，,(,d,1,+,d,2,+,+,d,g,)=,n,。显然，若,d,i,(,i,=1,2,g,),为,1,时，表示相应的极点,r,i,是单极点。此时式可表示为,n,阶,LTI,离散系统的零输入响应为,式中：,式中，各待定系数由系统零输入响应,y,x,(,k,),的初始条件确定。,综上所述，由,LTI,离散系统传输算子,H,(,E,),求零输入响应,y,x,(,k,),的具体步骤可归纳如下：,第一步，,求解方程,A,(,E,)=0,，得到,H,(,E,),的相异极点,r,1,r,2,，,r,g,及相应的重数,d,1,d,2,d,g,。将系统齐次差分方程表示为,第二步,，求解方程,得到各极点相应输入响应分量,第三步，,写出系统的零输入响应,第四步,，由零输入响应初始条件确定式（,5.4-22,）中的各个待定系数,c,ij,，并最后求出系统的零输入响应,y,x,(,k,),。,（,5.4-22,）,例,5.4-1,已知离散时间系统传输算子,及初始条件,y,x,(0)=12,，,y,x,(1)=4.9,，,y,x,(2)=2.47,，,y,x,(3)=1.371,。求该系统的零输入响应。,解,因为传输算子,H,(,E,),极点为,r,1,=0.2,，,r,2,=0.3,，,r,3,=0.5(,二重极点,),。所以，可得,上式中令,k,=0,1,2,3,代入初始条件后得到,联立上述方程，求解得,c,10,=5,c,20,=3,c,30,=4,c,31,=2,。于是，系统的,零输入响应为,与连续系统中的,H,(,p,),一样，,H,(,E,),中若有复极点，则必定共轭成对。若设,H,(,E,),的共轭复极点为,式中：,例,5.4-2,设描述离散时间系统的差分方程 为,系统初始条件为,y,x,(0)=2,y,x,(1)=3,。试求,k,0,时系统的零输入响应。,解,写出系统传输算子,其极点是一对共轭复极点：,由式,(5.4-22),或式,(5.4-23),，得,利用初始条件，得到,即,c,1,=2,c,6,=6,于是得出系统的零输入响应,5.5,离散系统的零状态响应,设系统的初始观察时间为,k,0,，所谓离散时间系统的零状态响应，是指该系统在,k,0,时刻 的状态或者历史输入为零时，仅由,k,k,0,时加入的输入所引起的响应，通常记为,y,f,(,k,),。,在连续系统的时域法分析中，我们根据信号的分解特性和,LTI,系统的线性时不变特性，导出了系统零状态响应的计算公式。具体做法包括：,(1),将一般信号分解为众多基本信号单元的线性组合；,(2),求出基本信号激励下系统的零状态响应；,(3),导出一般信号激励下系统零状态响应的计算公式。,5.5.1,离散信号的时域分解,根据单位脉冲序列定义和序列位移的概念，我们有,于是可得,因此，对于任意序列,f,(,k,),，可写成,即,(5.5-1),图,5.5-1,离散信号的时域分解,可以将图,5.5-1,所示的序列分解表示为,显然，式,(5.5-1),是与连续时间信号,f,(,t,),的时域分解公式,:,相对应的在连续系统时域分析中，我们还给出了另一个分解公式,容易得到相应的分解公式为,5.5.2,基本信号,(,k,),激励下的零状态响应,设系统初始观察时刻,k,0,=0,，则离散系统对于单位脉冲序列,(,k,),的零状态响应称为系统的 单位脉冲响应，或简称为单位响应，记作,h,(,k,),。,LTI,离散系统的单位响应可由系统的传输算子,H,(,E,),求出。,例,5.5-1,单极点情况。若系统传输算子,具有单极点,E=r,，则相应的差分方程为,令,f,(,k,)=,(,k,),时，其,y,f,(,k,)=,h,(,k,),，故有,即,移项后有,根据系统的因果性，当,k,-1,时，有,h,(,k,)=0,。以此为初始条件，对式,(5.5-6),进 行递推运算得出,因此有,例,5.5-2,重极点情况。设系统传输 算子,在,E=r,处有二阶重极点。写出系统的差分方程,同样，令,f,(,k,)=,(,k,),，得到单位响应,h,(,k,),的求解方程为,将该方程改写为,可将上式方括号中的,(,E-r,),h,(,k,),表示为,或者写成,采用例,5.5-1,类似求解方法，可求得系统的单位响应,于是有,同理，可得,以及,d,阶重极点相应的单位响应,设,LTI,离散系 统的传输算子为,求单位响应,h,(,k,),的具体步骤是：,第一步，将,H,(,E,),除以,E,得到,第二步，将 展开成部分分式和的形式；,第三步，将上面得到的部分分式展开式两边乘以,E,，得到,H,(,E,),的部分分式展开式,第四步，由式,(5.5-11),求得各,H,i,(,E,),对应的单位响应分量,h,i,(,k,),；,第五步，求出系统的单位响应,例,5.5-3,求图,5.5-2,所示离 散系统的单位响应,h,(,k,),。,图,5.5-2,例,5.5-3,图,解,或写为,相应的传输算子为,将 进行部分分式展开，得,由于,所以，系统的单位响应,于是,例,5.5-4,如图,5.5-3,的离散 系统，求其单位响应,h,(,k,),。,图,5.5-3,例,5.5-4,图,解,(1),列算子方程。,它可写为,由右端加法器的输出端可列出方程,系统的输入输出算子方程,(2),求单位响应。,将上面两个单位响应分量相减，即可得到系统的单位响应,例,5.5-5,设描述离散时间系统的差分 方程为,求系统的单位响应。,解,由已知差分方程得系统传输算子,将 进行部分分式展开，得,即,由式（,5.5-11,）得,因此，系统单位响应为,5.5.3,一般信号,f,(,k,),激励下的零状态响应,设离散时间系统的输入为,f,(,k,),，对应的零状态响应为,y,f,(,k,),。由离散时间信号的时 域分解公式,(5.5-1),知道，可将任一输入序列,f,(,k,),分解表示成众多移位脉冲序列的 线性组合，即,根据,LTI,离散系统的特性，应用单位响应,h,(,k,),可以分别求出每个移位脉冲序列,f,(,m,),(,k-m,),作用于系统的零状态响应。然后，把它们叠加起来就可以得到系统对输 入,f,(,k,),的零状态响应,y,f,(,k,),。,单位响应定义,系统的时不变特 性,y,f,(,k,),的齐次性,y,f,(,k,),的叠加性,信号的分解公式和卷积和运算 定义,于是，得到系统在一般信号,f,(,k,),激励下的零状态响应为,(5.5-18),可将离散时间系统的完全响应表示为,这一结果表明：,LTI,离散时间系统的零状态响应等于输入序列,f,(,k,),和单位响应,h,(,k,),的卷 积和。,例,5.5-6,已知离散系统的输入序列,f,(,k,),和 单位响应,h,(,k,),如下：,求系统的零状态响应,y,f,(,k,),。,解,根据式,(5.5-18),，有,由卷积和的分配律，将上式写成,查卷积和计算公式表,5.1,，得,由系统的时不变特性，得,于是，系统的零状态响应为,例,5.5-7,描述某离散系统的差分方程 为,y,(,k,)-0.7,y,(,k,-1)+0.12,y,(,k,-2)=2,f,(,k,)-,f,(,k,-1),若输入,f,(,k,)=(0.2),k,(,k,),，零输入响应初始条件,y,x,(0)=8,y,x,(1)=3,。试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应解,写出系统的算子方程,其传输算子为,先求系统的零输入响应,y,x,(,k,),。,将初始条件代入上式，有,解得,c,1,=2,c,2,=6,。,故有零输入响应,再求系统的零状态响应,y,f,(,k,),。此时，需要求出系统的单位响应。为此，将,即,写出系统单位响应,按式,(5.5-18),计算零状态响应,最后，将零输入响应,y,x,(,k,),和零状态响应,y,f,(,k,),相加，得到系统的完全响应,5.6,系统差分方程的经典解法,1.,齐次解,设,n,阶,LTI,离散系统的传输算子,H,(,E,),为,相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为,式中，,a,i,(,i,=0,1,n,-1),、,b,j,(,j,=0,1,m,),均为常数。,当式,(5.6-2),中的,f,(,k,),及其各移位项均为零时，齐次方程,的解称为,齐次解,，记为,y,h,(,k,),。,通常，齐次解由形式为,c,k,的序列组合而成，将,c,k,代入式,(5.6-3),，得到,消去常数,c,，并同乘,n-k,，得,表,5.2,特征根及其对应的齐次解,2.,特解,表,5.3,自由项及其对应的特解,如果一个,n,阶 差分方程，特征根,1,为,r,重根，其余特征根均为单根，那么，该差分方程的完全解可 表示为,式中的各系数,c,i,c,j,由差分方程的初始条件，即,n,个独立的,y,(,k,),值确定。,例5.6,1,某离散时间系统的输入输出方程 为,已知,f,(,k,)=cos(,k,),(,k,),y,(0)=15,y(2)=4,。试求,k,0,时系统的完全响应,y,(,k,),。,解,系统特征方程为,其特征根,1,=1/2,2,=-1/3,。故差分方程的齐次解为,因输入,由表,5.3,可设特解为,相应右移序列为,代入原差分方程，得,比较方程两边系数，求得,P=2,，于是有,方程的完全解,与连续系统响应类似，也称差分方程的齐次解为系统的,自由响应,，称其特解为,强迫响应,。本例中，特征根,|,1,2,|,1,，其自由 响应随,k,的增大而逐渐衰减为零，故为系统的,暂态响应,。而强迫响应为 有始正弦序列，是系统的,稳态响应,。,