理论力学8—刚体的平面运动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,刚体的平面运动,第八章,概述,本章在刚体的平动和定轴转动两种简单运动的基础上，讨论一种较为复杂的运动,刚体的平面运动。,前面讨论的刚体平动和定轴转动是最基本的运动形式，工程中常见的运动形式还有刚体的平面运动。,1,、平动和定轴转动这两种基本运动的合成；,2,、刚体绕不断运动的轴的转动。,理论力学课“理论易懂题难做”的特点在这一章体现的比较明显。,本章对刚体的平面运动进行概述,把刚体平面运动分解为随基点的平动和绕基点转动,得出了求速度的基点法、速度投影定理、速度瞬心法三种方法。,得出了求加速度的基点法，并对其进行了应用和练习。,最后对运动学的综合应用进行练习。,可将刚体的平面运动看成：,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为,平面运动,。,此处有影片播放,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,M,N,S,A,1,A,2,A,刚,体,上,每一点都在与固定平面,M,平行的平面内运动。,若作一平面,N,与平面,M,平行,并以此去截割刚体得一平面图形,S,。可知该平面图形,S,始终在平面,N,内运动。,因而垂直于图形,S,的任一条直线,A,1,A,2,必然作平动。,A,1,A,2,的运动可用其与图形,S,的交点,A,的运动来替代。,刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面,S,内的运动。,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,提问,1,：若把黑板擦看做是刚体，则擦黑板时，黑板擦可以在黑板面内杂乱无章的运动，黑板擦的运动有无共同特征，黑板擦做什么运动？,提问,2,：刚体的平面运动是一个刚体的运动，但为什么称其为平面运动而一般不用其他的称呼？,刚体在运动时，若刚体上任意一点,A,与某一个固定平面始终保持相等的距离。,即一个刚体的运动可以用一个平面图形的运动来代替，刚体平面运动的称呼由此而得来。,从刚体上此点向固定平面做一垂线，则此线段在运动过程中不会倾斜，即此线段在作平动。,其上各点的轨迹形状、速度、加速度均相同，因此点,A,的运动情况即可代替此线段的运动。,过点,A,做一平行于固定平面的平面，则此平面在刚体上截出一平面图形。,此图形上各点均可以代表相应线段的运动，因此此平面图形的运动即可代表此刚体的运动。,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,S,B,A,y,x,O,j,平面图形,S,在其平面上的位置完全可由图形内任意线段,AB,的位置来确定。,而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点,A,的位置和线段,AB,与固定坐标轴,Ox,间的夹角,j,即可。,点,A,的坐标和,j,角都是时间的函数，即,x,A,=,f,1,(,t,),y,A,=,f,2,(,t,),这就是平面图形的运动方程。,平面图形的运动方程可由两部分组成：,一部分是平面图形按点,A,的运动方程,x,A,=,f,1,(,t,),y,A,=,f,2,(,t,),的平移，没有转动,另一部分是绕,A,点转角为,j,=,f,3,(,t,),的转动。,j,=,f,3,(,t,),8.1,刚体平面运动概述和运动分解,平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。,y,x,O,y,x,O,以沿直线轨道滚动的车轮为例,同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。,取车厢为动参考体，以轮心点,O,为原点取动参考系,Oxy,。,则车厢的平动是牵连运动,车轮绕平动参考系原点,O,的转动是相对运动。,二者的合成就是车轮的平面运动,(,绝对运动,),。,单独考虑轮子作平面运动时，可在轮心,O,处固连一个平动参考系,Oxy,。,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点,o,，称为,基点,。,在这一点假想地安上一个平动参考系,o,x,y,；,平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变。,可令其分别平行于定坐标轴,Ox,和,Oy,。,于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平动和绕基点转动这两部分运动的合成。,y,x,O,y,x,O,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,研究平面运动时，可以选取不同的点作为基点。,图示曲柄连杆机构中连杆,AB,作平面运动。,A,B,O,w,y,x,x,y,j,j,一般平面图形上各点的运动情况不同。,因此，在平面图形上选取不同的基点，其动参考系的平动是不一样的，其速度、加速度也不相同。,点,A,作圆周运动。,点,B,作直线运动。,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,A,B,O,w,y,x,x,y,j,j,如果运动开始时,OA,和,AB,都位于水平位置，运动中的任意时刻：,AB,绕点,A,或绕点,B,的转角,由于任意时刻的转角相同，其角速度、角加速度也必然相同。,相对于各自的平动参考系,Axy,、,Bx,y,都一样,都等于相对固定参考系的转角,j,8.1,刚体平面运动概述和运动分解,结论：,平面运动可取任意点为基点，运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。,而,绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关,。,其中,平动的速度和加速度与基点的选择有关,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,平面图形的运动可分解为两个运动：,1,、牵连运动，即随同基点的平动；,2,、相对运动，即绕基点的转动。,于是，平面图形内任一点,B,的运动可看成是两个运动的合成，用速度合成定理来求它的速度,基点法。,B,w,v,BA,v,A,A,因为牵连运动是平动，所以点,B,的牵连速度等于基点的速度,v,A,。,因为点,B,的相对运动是以点,A,为圆心的圆周运动，,v,A,v,B,所以点,B,的相对速度等于平面图形绕点,A,转动时点,B,的速度，以,v,BA,表示。其大小为：,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,A,B,w,这就是平面运动的速度合成法或称,基点法,。,由速度合成定理,v,B,v,A,v,BA,v,A,可得：,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,例,1,椭圆规机构如图。已知连杆,AB,的长度,l,=20cm,，滑块,A,的速度,v,A,=10cm/s,，求连杆与水平方向夹角为,30,时，滑块,B,和连杆中点,M,的速度。,解,:,AB,作平面运动，以,A,为基点，分析,B,点的速度。,由图中几何关系得：,方向如图所示。,30,A,v,A,B,w,AB,30,M,v,B,v,A,v,BA,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,以,A,为基点，则M,点的速度为,将各矢量投影到坐标轴上得：,解之得,A,v,A,v,A,v,MA,B,w,AB,30,M,v,M,x,y,a,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,例,2,行星轮系机构如图。大齿轮,I,固定，半径为,r,1,；,行星齿轮,II,沿轮,I,只滚而不滑动，半径为,r,2,。杆,OA,角速度为,w,O,。求轮,II,的角速度,w,II,及其上,B,、,C,两点的速度。,解,:,行星齿轮,II,作平面运动，求得,A,点的速度为,v,A,w,O,O,D,A,C,B,v,A,v,DA,w,II,I,II,以,A,为基点，分析两轮接触点,D,的速度。,由于齿轮,I,固定不动，接触点,D,不滑动，显然,v,D,0,因而有,v,DA,v,A,w,O,(,r,1,+,r,2,),，方向与,v,A,相反,v,DA,为点,D,相对基点,A,的速度，应有,v,DA,w,II,DA,。所以,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,v,A,w,O,O,D,A,C,B,v,A,v,CA,v,C,v,B,v,BA,v,A,w,II,I,II,以,A,为基点，分析点,B,的速度。,v,BA,与,v,A,垂直且相等，点,B,的速度,以,A,为基点，分析点,C,的速度。,v,CA,与,v,A,方向一致且相等，点,C,的速度,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,基点法总结：,基点既可以是平面图形内的一点，也可以是平面图形扩展部分的一点。它实际上是动系的坐标原点，一般习惯上称之为基点。,当刚体做平面运动时，只有基点和刚体相连，动系坐标轴并不与刚体相连，因此基点相当于和刚体铰链连接，动系始终在做平动。,选择的基点不同，其速度、加速度一般也不同。,刚体相对静系的角速度、角加速度是绝对角速度、角加速度。,但刚体绕基点转动的角速度、角加速度相同，不可能在同一瞬时刚体绕不同的基点有不同的角速度、角加速度。,角速度和角加速度是刚体整体性质的度量，线速度、线加速度是刚体局部性质的度量。,因动系始终在作平动，刚体相对动系的角速度、角加速度是相对角速度、角加速度；,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,A,B,wv,B,v,A,v,BA,v,A,若图形内某点,A,的速度为,v,A,，图形的角速度为,，则图形内任一点,B,的速度,v,B,以公式表示为：,称此方法为平面图形内各点速度的基点法。,应用基点法的条件是：,图形内一点速度大小、方向均为已知，图形的角速度已知，则可确定图形内任一点的速度。,但在许多题目中，往往是已知图形内一点速度的大小和方向，已知另一点速度的方向，图形的角速度未知，无法使用基点法。,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是,速度投影定理。,引入速度投影定理,由于,v,BA,垂直于,AB,，因此,v,BA,AB,=0,。于是,将等式两边同时向,AB,方向投影,:,A,B,w,v,B,v,A,v,BA,v,A,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,在已知平面图形内一点的速度大小、方向，另一点的速度方向时，用速度投影定理可以很方便地求出另一点的速度大小。,在投影计算中，一般要规定投影轴的正向，但在速度投影定理中，不用规定投影轴的正向，只要沿,A,、,B,两点连线投影即可。,但由于速度投影定理是沿,A,、,B,两点连线投影的，,v,BA,在此投影中不出现，所以不能求出图形的角速度。,8.2,求平面图形内各点速度的基点法,例,3,用速度投影定理解例,1,。,解：由速度投影定理得,解得,A,v,A,v,B,B,30,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,在平面图形内能否找到一点，其速度为零，例如,A,点，,v,A,=0,，若选此为基点，由基点法公式，有：,则求速度岂不更方便？,这一点是否存在？,如何称呼这一点？,如何找出这一点？,用这种方法求速度称为什么方法？,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,定理：,一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。,w,S,设有一个平面图形,S,，,角速度为,w,。,如果取,AC,v,A,/,w,，则,N,C,v,A,v,CA,该点称为,瞬时速度中心，,或简称为,速度瞬心。,v,A,A,图形上点,A,的速度为,v,A,，如图。,在,v,A,的垂线上取一点,C,(由,v,A,到,AC,的转向与图形的转向一致,),，有,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,平面图形内各点的速度及其分布,根据上述定理，每一瞬时在图形内,都存在速度等于零的一点,C,，即,v,C,=0,，,选取点,C,为基点，则各点的速度为：,C,A,w,v,A,v,B,B,D,v,D,结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬心转动的速度。,速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,C,A,w,v,A,v,B,B,D,v,D,w,C,平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似。,但是在不同的瞬时，速度瞬心在图形内的位置不同。,于是,平面图形的运动可看成是绕速度瞬心的瞬时转动。,图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。,注意：刚体作平面运动时，一般情况下在每一瞬时，图形内必有一点成为速度瞬心；,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,确定速度瞬心位置的方法有下列几种：,(1),平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（纯滚动）,v,C,图形与固定面的接触点,C,就是图形的速度瞬心。,如车轮在地面上作无滑动的滚动时。,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,(2),已知图形内任意两点,A,和,B,的速度的方向,w,AB,w,O,C,v,A,A,B,v,B,速度瞬心,C,的位置必在每点速度的垂线的交线上。,(3),已知图形上两点,A,和,B,的速度相互平行，但大小不等，并且速度的方向垂直于两点的连线,AB,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,A,B,v,B,v,A,C,A,B,v,B,v,A,C,则速度瞬心必定在连线,AB,与速度矢,v,A,和,v,B,端点连线的交点,C,上。,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,(4),某瞬时，图形上,A,、,B,两点的速度相等,w,O,v,A,A,B,v,B,另外注意：,瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。,图形的速度瞬心在无限远处。,(,瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等,)8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,确定瞬心的一般方法：,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,提示,1,：,速度瞬心也是一个基点，,每一个做平面运动的刚体都有它自己的速度瞬心，,速度瞬心只是在此瞬时速度为零，其加速度并不为零，,是一个特殊的基点，,此点可能在实际图形内，也可能在实际图形外（此时可认为速度瞬心在图形的扩展部分）。,速度为零的基点。,提示,2,：,不同瞬时有不同的速度瞬心。,不能把几个构件组成的系统放在一起找速度瞬心。,速度瞬心是对一个刚体而言，不同的平面运动的刚体，其速度瞬心不同。,提示,3,：,速度瞬心的速度为零，若加速度也为零，此点将不动。刚体为定轴转动。,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,提示,4,：,这时要先求出图形的角速度，然后再求其他点的速度。,但也有一些题其速度瞬心难以确定，这时就要用基点法。,在用速度瞬心法实际做题时，往往是先确定出速度瞬心的位置，,图形的角速度并不知道，,而往往知道的是图形内某点的速度，,提示,5,：,求速度的基点法是一种基本方法，但对有些题用起来不方便。,速度投影定理对某些题求解方便，但无法求出角速度。,速度瞬心法是一种比较常用的方法，相对比较方便，,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,例,4,用速度瞬心法解例,1,。,解：,AB,作平面运动,A,v,A,v,B,B,30,C,v,M,w,M,瞬心在,C,点,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,例,5,已,知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为,v,，半径为,r,。求轮子上,A,1,、,A,2,、,A,3,和,A,4,点的速度。,A,3,w,A,2,A,4,A,1,v,A,2,v,A,3,v,A,4,v,O,解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即,A,1,各点的速度方向分别为各点与,A,点连线的垂线方向，转向与,w,相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。,O,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,45,90,90,O,1,O,B,A,D,例,6,已知四连杆机构中,O,1,B,l,，,AB,3,l,/2,，,AD,DB,，,OA,以,w,绕,O轴转动。,求：,(1),AB,杆的角速度；,(,2,),B,和,D,点的速度。,w,解：,AB,作平面运动，,OA,和,O,1,B,都作定轴转动，,C,点是,AB,杆作平面运动的,速度瞬心。,v,A,v,B,v,D,C,w,AB,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,例,7,直杆,AB,与圆柱,O,相切于,D,点，杆的,A,端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。,解一：,圆柱作平面运动,，,其瞬心在,C,1,点,，,设其角速度为,。,AB,杆,作平面运动，其瞬心在,C,2,点，则,即,亦即,故,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,例,8,图示机构，已知曲柄,OA,的角速度为,w,，,OA,AB,BO,1,O,1,C,r,，角,a,=,b,=60,，求滑块,C,的速度。,解：,AB,和,BC,作平面运动，其瞬心分别为,C,1,和,C,2,点，则,w,a,b,O,A,B,O,1,C,C,1,C,2,w,BC,w,AB,v,A,v,B,v,C,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,解：连杆,AB,作平面运动，瞬心在,C,1,点，则,例,9,曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄,OA,长,r,以匀角速度,w,转动，,AB,=,BC,=,BD,=,l,，当曲柄与水平线成,30,角时，连杆,AB,处于水平位置，而肘杆,DB,与铅垂线也成,30角。试求图示位置时，杆,AB,、,BC,的角速度以及冲头,C,的速度。,A,O,B,D,C,30,30,v,A,v,B,v,C,w,C,1,w,AB,C,2,w,BC,连杆,BC,作平面运动，瞬心在,C,2,点，则,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,例,10,曲柄连杆机构中，在连杆,AB,上固连一块三角板,ABD,，如图所示。机构由曲柄,O,1,A,带动。已知曲柄的角速度为,w,2,rad/s,，曲柄,O,1,A,=0.1m,，水平距离,O,1,O,2,=0.05m,，,AD,=0.05m,，当,O,1,A,O,1,O,2,时，,AB,O,1,O,2,，且,AD,与,AO,1,在同一直线上，,j,=30,。试求三角板,ABD,的角速度和点,D,的速度。,解、运动分析：,O,1,A,和,O,2,B,作定轴转动；,ABD,作平面运动，其速度瞬心在点,C,。,O,1,O,2,A,B,D,j,C,w,2,w,ABD,w,v,A,v,D,v,B,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,例,11,图示放大机构中，杆,I,和,II,分别以速度,v,1,和,v,2,沿箭头方向运动，其位移分别以,x,和,y,表示。如杆,II,与杆,III,平行，其间距离为,a,，求杆,III,的速度和滑道,的角速度。,I,II,III,IV,B,C,y,v,1,a,x,A,v,2,解：,I,、,II,、,III杆作平动，,IV,杆作平面运动。滑块,B,和滑块,C,与滑道之间有相对运动，如果取滑道,IV,作为动参考体分析滑块,B,和滑块,C,的运动，则牵连运动均为平面运动。,B,点的运动分析：取滑块,B,为动点，滑道,作为动参考体，绝对运动是滑块,B,随,I,杆的运动，速度为,v,a,1,=,v,1,；,相对运动是滑块,B,在,杆滑道中的运动，速度为,v,r,1,；,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,A,B,IV,v,B,(,v,e,1,),v,A,v,A,v,BA,v,a,1,v,r,1,a,h,I,II,III,IV,B,C,y,v,1,a,x,A,v,2,牵连运动是,杆的平面运动，其速度可用基点法分析得到：,由这两个速度合成得到,杆上,B,点的速度,v,B,，此速度即是前面复合运动中的牵连速度,v,e,1,，如图所示。,取,A,为基点，分析,杆上,B,点的速度，随基点平动的速度是,杆的运动速度,v,2,，相对于基点转动的速度方向垂直于,杆，大小未知,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,v,B,(,v,e,1,),A,v,2,v,A,v,BA,v,a,1,v,r,1,B,IV,a,h,向,h,方向投影得,:,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,A,C,v,C,(,v,e,2,),v,A,v,A,v,CA,v,a,2,v,r,2,a,I,II,III,B,C,y,v,1,a,xA,v,2,C,点运动分析：取滑块,C,为动点，滑道,作为动参考体，绝对运动是滑块,C,随,杆的运动，速度为,v,a,2,v,III,大小待求；,相对运动是滑块,C,在,杆滑道中的运动，速度为,v,r,2,；,牵连运动是,杆的平面运动，其速度可用基点法分析得到：,h,取,A,为基点，分析,杆上,C,点的速度，随基点平动的速度是,杆的运动速度,v,2,，相对于基点转动的速度,v,CA,方向垂直于,杆，大小为,v,CA,=,w,AC,，由这两个速度合成得到,杆上,C,点的速度,v,C,，此速度即是前面复合运动中的牵连速度,v,e,2,，如图所示。,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,v,C,(v,e,2,),A,v,A,v,A,v,CA,v,a,2,(,v,III,),v,r,2,C,a,向,h,方向投影得,:,因为,所以,h,结论：,平面运动可取任意点为基点，运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。,其中平动的加速度与基点的选择有关，而绕基点转动的角加速度与基点的选择无关。,8.3,求平面图形内各点速度的瞬心法,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,平面图形的运动可分解为两个运动：,1,、牵连运动，即随同基点的平动；,2,、相对运动，即绕基点的转动。,于是，平面图形内任一点,B,的运动可看成是两个运动的合成，用加速度合成定理来求它的速度,基点法。,因牵连运动是平动，所以点B,的牵连加速度等于基点的加速度,a,A,。,因为点,B,的相对运动以点,A,为圆心的圆周运动，所以点,B,的相对加速度等于平面图形绕点,A,转动时点,B,的切向加速度和法向加速度的矢量和，以,a,BA,表示。,B,A,a,A,a,A,a,BA,a,w,a,B,如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有,由于牵连运动为平动，所以,a,e,=,a,A,，于是有,而,其中,故,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,B,A,a,A,a,B,a,A,a,BA,w,a,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运动的加速度合成法，称为,基点法。,B,A,a,A,a,B,a,A,a,BA,w,a,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,例,13,车轮在地面上作纯滚动，已知轮心,O,在图示瞬时的速度为,v,O,，加速度为,a,O,，车轮半径为,r,，如图。试求轮缘与地面接触点,C,的加速度。,解：车轮作平面运动，取,O,点为基点，则,C,点的加速度为,取如图的投影轴，将各矢量投影到投影轴上得,方向由,C,点指向,O,点。,a,w,a,O,C,O,v,O,a,O,x,h,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,例,14,平面四连杆机构中，曲柄,OA,长,r,，连杆,AB,长,l,4,r,。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为,w,，角加速度为,a,，试求摇杆,O,1,B,的角速度和角加速度的大小及方向。,解：,AB,作平面运动，由题设条件知，,AB,的速度瞬心在,B,点，也就是说，,v,B,=0,，故：,O,O,1,A,B,w,a,30,30,v,A,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,取,A,为基点分析,B,点的加速度如图所示：,其中：,O,O,1,A,B,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,将加速度向,h,轴投影得：,O,O,1,A,B,h,30,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,A,B,C,D,O,100,100,v,C,v,B,45,45,例,15,平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆,AB,以等角速度,w,=1,rad/s,绕,A,轴转动，求,C,点的速度和加速度。,解：,AB,和,CD,作定轴转动，,BC,作平面运动,w,BC,w,B,、,C,两点的运动轨迹已知为圆周,由此可知,v,B,和,v,C,的方向，分别作,v,B,和,v,C,两个速度矢量的垂线，得交点,O,，,即为该瞬时,BC,的速度瞬心。,由几何关系知,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,A,B,C,D,45,80.54,取,B,为基点分析,C,点的加速度，有,将,C,点的加速度向,BC,方向投影得：,a,C,负值表明实际方向与假设方向相反。,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,例,16,图示曲柄连杆机构中，已知曲柄,OA,长,0.2 m,，连杆,AB,长,1m,，,OA,以匀角速度,w,=10,rad/s,绕,O,轴转动。求图示位置滑块,B,的加速度和,AB,杆的角加速度。,解：,AB,作平面运动，瞬心在,C,点，则,O,w,w,AB,45,A,v,A,45,v,B,B,C,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,AB,作平面运动，以,A,点为基点，则,B,点的加速度为,其中,O,45,A,a,B,B,a,A,a,n,BA,a,A,x,将,B,点加速度投影到,h,轴上得,h,将,B,点加速度投影到,x,轴上得8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,解：薄板作平面运动，取,B,为基点分析,A,点的加速度如图所示：,例,17,图示正方形薄板边长,20 mm,，在其平面内运动。某瞬时顶点,A,和,B,的加速度分别为 和 ，方向如图。求,(1),薄板的角速度和角加速度,;(2)C,点的加速度。,D,C,B,A,a,B,a,A,a,n,AB,a,B,其中：,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,将等式两边分别向,x,和,y,方向投影得：,D,C,B,A,x,y,a,B,a,A,a,n,AB,a,B,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,再取,B,为基点分析,C,点的加速度如图所示,将加速度分别向,x,和,y,方向投影得：,其中,方向与,CD,成,45,夹角指向右下方。,D,C,B,A,x,y,a,B,a,C,a,B,a,n,CB,a,Cx,a,Cy,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,例,18,半径,r,=1m,的轮子，沿水平直线轨道纯滚动，轮心具有匀加速度,a,C,=0.5 m/s,2,，借助于铰接在轮缘,A,点上的滑块，带动杆,OB,绕垂直图面的轴,O,转动，在初瞬时,(,t,=0),轮处于静止状态，当,t,=3s,时机构的位置如图。试求杆,OB,在此瞬时的角速度和角加速度。,解：当,t,=3s,时，轮心,C,的速度,轮子作平面运动，瞬心在,D,点，则,r,C,O,A,B,v,A,a,C,45,D,取滑块,A,为动点，动系取在,OB,杆上，动点的速度合成矢量图如图所示。,v,e,v,r,v,C,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,轮作平面运动，取,C,为基点，则,A,点的加速度,根据牵连运动为转动的加速度合成定理，动点,A,的绝对加速度为,r,C,O,A,B,a,C,45,D,a,C,a,n,AC,a,K,a,r,a,t,e,a,n,e,于是可得,其中,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,取如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影到,h,轴上得,r,C,O,A,B,a,C,45,D,a,C,a,n,AC,a,K,a,r,a,n,e,于是，杆,OB,的角加速度为,转向如图所示。,h,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,例,19,图示机构中，曲柄,OA,长为,r,，绕,O,轴以等角速度,w,0,转动，,AB,6,r,，,BC,。求图示位置时滑块,C,的速度和加速度。,A,B,O,C,C,2,C,1,60,w,O,60,90,v,A,v,B,v,C,解：,AB,和,BC,分别作平面运动，,A,点绕,O,作圆周运动，,B,、,C,分别在滑道内作直线运动,依据,A,、,B,、,C,三点的速度可以分别求出,AB,的速度瞬心,C,1,和,BC,的速度瞬心,C,2,，如图所示。,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,加速度分析取,A,为基点分析,B,点的加速度,将,B,点的加速度向水平方向投影得：,A,B,O,C,a,A,a,A,a,n,BA,a,t,BA,a,B,8.4,用基点法求,平面图形内各点的加速度,再取,B,为基点分析,C,点的加速度,其中,将,C,点的加速度向铅直方向投影得：,求得的加速度为负值说明与假设方向相反，即滑块,C,的加速度方向应为向上。,A,B,O,C,a,n,CB,a,t,CB,a,B,a,C,a,B,8.5,运动学综合应用举例,工程中的机构都是由多个物体组成的，各物体之间通过连接点而传递运动。,为了分析机构的运动，首先要分清各个物体都做什么运动，要计算有关连结点的速度和加速度。,为分析某点的运动，如能找出其位置与时间的函数关系，可直接建立运动方程，用解析法求其运动全过程的速度和加速度。,当难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系，并常用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度的联系。,平面运动理论用来分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速度和加速度联系。,当两个刚体相接触而有相对滑动时，则需用合成运动的理论分析这两个不同刚体上相重合一点的速度和加速度联系。,8.5,运动学综合应用举例,两物体间有相互运动，虽不接触，其重合点的运动也符合合成运动的关系。,复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应注意分别分析、综合应用有关理论。,有时同一问题可用不同的方法分析，则应经过分析、比较后，选用较简单的方法求解。,下面举例说明这些方法的综合应用。,8.5,运动学综合应用举例,例,20,：图示平面机构，滑块,B,可沿杆,OA,滑动。杆,BE,与,BD,分别与滑块,B,铰接，,BD,杆可沿水平导轨运动。滑块,E,以匀速,v,沿铅直轨道向上运动，杆,BE,长为 。图示瞬时杆,OA,铅直，且与杆,BE,夹角为,45,。求该瞬时杆,OA,的角速度和角加速度。,O,E,45,v,B,A,D,l,l,解：,BE,杆作平面运动，可先求出点,B,的速度和加速度。,点,B,连同滑块在,OA,杆上滑动，并带动杆,OA,转动。,可按合成运动方法求解杆,OA,的角速度和角加速度。,8.5,运动学综合应用举例,O,E,45,v,B,A,D,l,l,BE,杆作平面运动，由,v,及,v,B,方向可知此瞬时点,O,为,BE,的速度瞬心。,v,B,因此,以,E,为基点，点,B,的加速度为,a,B,a,BE,a,n,BE,由于点,E,作匀速直线运动，故,a,E,=0,将式,a,投影到沿,BE,方向的轴上，得,因此,8.5,运动学综合应用举例,O,E,45,v,B,A,D,l,l,v,B,由于滑块,B,可以沿杆,OA,滑动，因此应利用点的合成运动方法求杆,OA,的角速度和角加速度。,取滑块,B,为动点，动系固结在杆,OA,上，点的速度合成定理为,式中,v,a,=,v,B,牵连速度,v,e,是,OA,杆上与滑块,B,重合的点的速度，其方向与,v,a,同向,v,e,相对速度,v,r,沿,OA,杆向上。,v,r,显然有：,v,a,=,v,e,，,v,r,=0,即：,v,e,=,v,B,=v,于是得杆,OA,的角速度,OA,8.5,运动学综合应用举例,O,E,45,B,A,D,l,l,滑块,B,的绝对加速度,a,a,=,a,B,a,a,其牵连加速度有法向及切向两项，牵连法向加速度为,由于滑块,B,的相对运动是沿,OA,杆直线运动，因此其相对加速度,a,r,也沿,OA,方向。,a,r,因此有,因为此瞬时,v,r,=0,，故,a,c,=0,在此矢量式中，各矢量方向已知，未知量为,a,r,及,a,e,，将式,b,投影到,BD,轴上，得,8.5,运动学综合应用举例,杆,OA,的角加速度为,O,E,45,B,A,D,l,l,8.5,运动学综合应用举例,例,21,在图所示平面机构中，杆,AC,在导轨中以匀速,v,平移，通过铰链,A,带动杆,AB,沿导套,O,运动，导套,O,与杆,AC,距离为,l,。图示瞬时杆,AB,与杆,AC,夹角为。,求：此瞬时杆,AB,的角速度及角加速度。,B,A,l,解：,1,、动点：铰链,A,动系：套筒,O,绝对运动：,直线运动,(AC),相对运动：直线运动,(AB),牵连运动：定轴转动,(,轴,O),x,y,v,e,v,r,8.5,运动学综合应用举例,B,A,l,x,y,8.5,运动学综合应用举例,另解：,1,、取坐标系,Oxy,2,、,A,点的运动方程,3,、速度、加速度,8.5,运动学综合应用举例,求：此瞬时,AB,杆的角速度及角加速度。,例,22,如图所示平面机构，,AB,长为,l,，滑块,A,可沿摇杆,OC,的长槽滑动。摇杆,OC,以匀角速度,绕轴,O,转动，滑块,B,以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时,OC,铅直，,AB,与水平线,OB,夹角为。,解：,1,、杆,AB,作平面运动，基点为,B,。,2,、动点：滑块,A,动系：OC,杆,绝对运动：未知,相对运动：直线运动（,OC,）,牵连运动：定轴转动（轴,O,）,8.5,运动学综合应用举例,沿 方向投影,8.5,运动学综合应用举例,8.5,运动学综合应用举例,求：该瞬时槽杆,AE,的角速度、角加速度及滑块,B,相对,AE,的加速度。,例,23,如图所示平面机构中，杆,AC,铅直运动，杆,BD,水平运动，,A,为铰链，滑块,B,可沿槽杆,AE,中的直槽滑动。图示瞬时,AB=60mm,，,=30,8.5,运动学综合应用举例,解：,1,、动点：滑块,B,动系：杆,AE,绝对运动：直线运动（,BD,）,相对运动：直线运动（,AE,）,牵连运动：平面运动,3,、将（,c,）代入（,a,）,2,、杆,AE,作平面运动 基点：,A,8.5,运动学综合应用举例,沿 方向投影,沿 方向投影,解得,：,8.5,运动学综合应用举例,4,、将（,d,）代入（,b,）,沿 方向投影,沿 方向投影,解之：,本章结束,