第5章第4节平面曲线的曲率.ppt

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,*,5.4.,平面曲线的曲率,知难而进,引言,:,上一节利用函数导数为工具,研究函数,升降性、极值性、最值性及凹凸性,等性态，使我们对于函数的认识和把握更加全面和准确,.,认识总是在不断深化,为了使研究更进一步深入,本节讨论如何利用导数来刻画平面曲线的弯曲程度,-,平面曲线的曲率,问题,.,这种问题在科学研究和工程技术中有广泛的应用,.,5/18/2026,1,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,主要内容,1.,曲线的曲率定义,2.,弧长的微分概念,3.,曲率的计算,4.,曲率圆与曲率半径,5/18/2026,2,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,对于不同的曲线,其弯曲程度一般不同,.,例如：,A,B,A,B,一、曲率的定义,以上两段不同曲线段在,长度相等,的情况下,切线变化不同,弯曲程度,不同,.,观察,:,5/18/2026,3,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,A,A,B,B,o,曲线的弯曲程度与其,切线方向变化的夹角,的大小及其,弧长,有关,.,结论：,两段圆弧的切线方向,改变同一角度,但弧长小的曲线弯曲程度大,观察,:,如何具体刻画,?,5/18/2026,4,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,y,x,o,A,如,上图，,称,B,任意弧段,AB=R,，,有,为曲线段,AB,的,平均曲率,，它刻画了一段曲线的平均弯曲程度,.,O,A,B,R,如,下图，,对于半径为,R,的圆，,切线的变化相对于弧长的平均变化率,平面几何,Def,5/18/2026,5,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,对于,直线,来说,其切线方向不变,即,有,同一条曲线的不同点处,曲线弯曲的程度可能不同,.,Def:,曲线在,A,点的,曲率,为,其中 为点,A,及其邻点,B,之间弧长,为,AB,上切线,方向变化,的角度,.,曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度,.,5/18/2026,6,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,x,y,o,x,A,如图,，设曲线的弧长,s,由点,A,起算,.,任取,MN,=,，,有,由此得,当 充分小时，在一些假定之下,(,如,曲线有连续导数,),，,二、弧长的微分,p,5/18/2026,7,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,从而即得,弧长微分的公式,或,以直代曲,5/18/2026,8,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,关于,的具体表示式,：,直角坐标方程,参数方程,极坐标方程,计算公式,5/18/2026,9,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,三、曲率的计算,先计算,考虑曲线 在,M,点的切线,有,两边求微分，得,曲线方程为直角坐标方程情况下,5/18/2026,10,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,不难得出，曲线参数方程和极坐标方程情况下的计算公式为：,计算,公式,5/18/2026,11,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,四、曲率半径与曲率圆,由上述公式计算知,对半径为,R,的,圆,圆周上任一点的曲率是常数,Def,:,一般地曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的,曲率半径,，记作,几何意义：,如图，在,A,点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取,一点,O,，,使得,OA,=(,曲线在,A,点的曲率半径,).,以,O,为圆心，,为半径作一个圆，称之为曲线在,A,点的,曲率圆,.,A,o,曲率中心,圆的特点,5/18/2026,12,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,曲率圆与曲线在,A,点具有以下关系,:,有共同的切线，即圆与曲线在点,A,相切；,有相同的曲率；,圆和曲线在点,A,具有相同的一阶和二阶导数,.,讨论,y,=,fx,),在某点,x,的性质时，若此性质仅,与,x,y,有关，则只要讨论曲线在,x,点的,曲率圆,的性质，即可知这,曲线在,x,点附近的性质,.,以上关系表明：,5/18/2026,13,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,例,1.,求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径,.,解：,x,y,O,可见,5/18/2026,14,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,法线：,x,=0.,切线：,y,=0 ,例,2.,求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程,.,解：,由例,1,知,5/18/2026,15,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,例,3.,铁道的弯道分析,5/18/2026,16,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,缓,5/18/2026,17,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,证明,:,如图,在缓冲段上,根据实际要求,以直代曲,5/18/2026,18,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,5/18/2026,19,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,例,4,：,解,如图,受力分析,视飞行员在点,o,作匀速圆周运动,O,点处抛物线轨道的曲率半径,习题,5/18/2026,20,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,得曲率为,曲率半径为,即,:,飞行员对座椅的压力为,641.5,千克力,.,5/18/2026,21,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,运用微分学的理论,研究曲线和曲面,的性质的数学分支,微分几何学,.,基本概念,:,弧的微分,曲率,曲率圆,.,曲线弯曲程度的（刻画）描述,曲率,;,曲线弧的近似代替曲率圆,(,弧,).,小结,作业,:,P236 1,、,2,（,2,）、（,4,）、,3,5/18/2026,22,宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来,