线性空间与线性变换内积空间.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课程概述,矩阵论,课程是专门为工科研究生开设的数学课程。,矩阵论,的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成。,矩阵论,介绍的理论是现代数学的重要基础。,矩阵论,是工科研究生必备的核心基础知识，是工科研究生的必修课。,I.,先修课程,矩阵论,主要以大学,线性代数,为先修课程，可以同济大学数学系编著的,线性代数,教材书为参考书。,矩阵论,还以大学,高等数学,为先修课程，可以同济大学数学系编著的,高等数学,教材书为参考书。,本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。,II,.,主要内容,课程主要包括以下六项内容：,(1),线性空间与线性变换；,(2),内积空间；,(3),矩阵的标准形；,(4),矩阵分解；,(5),范数理论及其应用；,(6),矩阵分析及其应用。,第,1,章：线性空间与线性变换,内容,：,线性空间的一般概念,重点：空间结构和其中的数量关系,线性变换,重点：其中的矩阵处理方法,特点,：,研究代数结构具有线性运算的集合。,看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。,研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。,学习特点：具有抽象性和一般性。,一,.,集合与映射,集合,集合,：作为整体看的一堆东西,.,集合的元素,：组成集合的事物,.,设,S,表示集合，,a,表示,S,的元素，记为,a,S,读为,a,属于,S,；用记号,a,S,表示,a,不属于,S,.,集合的表示：,(1),列举法,5,1.1,线性空间,(Linear Spaces),例如,空集合,：不包含任何元素的集合，记为,子集合,：设 表示两个集合，如果集合,都是集合 的元素，即由 ，,那么就称 的子集合，记为,相等,：即,(2),特征性质法,6,集合的交：,集合的并：,集合的和：,例如,数域,数域,：是一个含,0,和,1,且对加，减，乘，除（,0,不为除数）封闭的,数集,.7,例如：有理数域,Q,，实数域,R,，复数域,C,.,映射,映射,：设,S,与,S,是两个集合，一个法则（规则）,，它使,S,中的每个元素,a,都有,S,中一,个确定的元素,a,与之对应，记为,称为集合,S,到,S,的,映射,，,a,称为,a,在映射,下的,象,，而,a,称为,a,在映射,下的一个,原象,.,8,变换,：,S,到,S,自身的映射,.,例如：将方阵映射为数,将数映射为矩阵,可看成变换。,其中,相等,：设 都是集合,S,到 的映射，如果对于 都有 ，则称,相等，记为,.,9,乘法,：设 依次是集合,S,到 ，的,映射，乘积 定义如下,是,S,到 的一个映射,.,注,：，（是 的映射）,二、线性空间的概念,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Example,R,3,=,x=,（,x,1,，,x,2,，,x,3,）,T,：,x,i,R,=,空间中所有向量,定义向量的加法，数与向量的乘积。,运算封闭,八条运算律成立,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Definition:(,线性空间或向量空间,),要点：,集合,V,与数域,F,向量的加法和数乘向量运算,（,运算之后的结果跑不出去,）,八条运算律,（,能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美,）,常见的线性空间,F,n,=,X=,（,x,1,，,x,2,，,，,x,n,）,T,：,x,F运算,：向量加法和数乘向量,F,m,n,=A=,a,ij,m,n,：,a,ij,F,；,运算,：矩阵的加法和数乘矩阵,R,m,n,；,C,m,n,。,Ft,n,=,f(x,)=,a,0,+,a,1,x+,a,2,x,2,+.+,a,n-1,x,n-1,：,a,i,R,运算,：多项式的加法和数乘,C,a,，,b,=f,（,x,）：,f,（,x,）在,a,，,b,上连续,运算,：函数的加法和数乘,Example：,V=R,+,，,F=R,，,a,b,=,ab,，,a=a,F=R,或,C,不是线性空间的集合,V,=,X=,（,x,1,，,x,2,，,1,）,T,：,x,i,R,运算,：向量加法和数乘向量,要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。,线性空间的一般性的观点：,线性空间的简单性质（共性）：,（,1,）,V,中的零元素是惟一的。,（,2,）,V,中任何元素的负元素是惟一的。,（,3,）数零和零元素的性质：,0,=0,，,k0=0,，,k=0 =0,或,k=,0,（,4,）,=,（,1,）,数0,向量0,三、向量组的探讨（,Review),向量的线性相关与线性无关：,向量,可由,1,，,2,，,，,s,线性表示;（其工作可由多人合力完成）,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,任何一个向量不能由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,0,只有系数都为0,向量组,1,，,2,，,，,s,线性相关,其中一个向量可以由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,必须有非零系数,三、向量组的探讨（,Review),向量组的极大线性无关组：,1,，,2,，,，,s,为向量组,A,的一个部分组,（,精英组合,）,满足,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,（,彼此工作不可替代,）,任意,A,的向量可以由,1,，,2,，,，,s,线性表示,（,公司的任何人的工作可由精英组合完成,）,向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数,四、线性空间的基和维数,抽象的线性空间的元素称之为向量,(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和,R,n,一样：,定义形式和向量空间,R,n,中的定义一样。,有关性质与定理和,R,n,中的结果一样。,因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组-即为基(basis),四、线性空间的基和维数,基,(basis),：线性空间的极大无关组；,维数,(dimension),：基中向量的个数；,常见线性空间的基与维数：,F,n,，自然基,e,1,，,e,2,，,e,n,，,dim,F,n,=n,R,m,n,，自然基,E,ij,，,dim,R,m,n,=,m,n,。,F,t,3,，,自然基,1,，,t,，,t,2,，,dimF,t,3,=3,Ca,，,b,，,1,，,x,，,x,2,，,x,3,x,n-1,Ca,b,，,dim,Ca,，,b=,约定：,本书主要研究有限维线性空间。,五、坐标,坐标的来历：,设,1,，,2,，,，,n,是空间,V,的一组基，,V,可以由基,1,，,2,，,，,n,唯一线性表示,=,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,则,x,1,，,x,2,，,，,x,n,是,在基,i,下的坐标。,例1,：,求,R,2,2,中向量 在基,E,ij,下的坐标。,要点：,坐标与基有关,坐标的表达形式,例,2,设空间,Fx,4,的两组基为：,1,，,x,，,x,2,，,x,3,和,1,，（,x-1,）,1,，（,x-1,）2,，（,x-1,）,3,求,f,（,x,）,=2+3x+4x,2,+x,3,在这两组基下的坐标,。,归纳,：,有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的 元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。,*例,3,设,R,2,2,中向量组,A,i,1,讨论,A,i,的线性相关性,.,2求向量组的秩和极大线性无关组,.,3把其余的向量表示成极大线性无关组的,线性组合,.,六、基变换和坐标变换,讨论：,不同的基之间的关系,同一个向量在不同基下坐标之间的关系,1 基变换公式,设空间中有两组基：,过渡矩阵,C,的性质：,C,为可逆矩阵,C,的第,i,列是,i,在基,i,下的坐标,则,过渡矩阵,2,坐标变换公式,已知,空间中两组基：,满足,:,:;,讨论,X,和,Y,的关系,X=CY,例,已知空间,R,中两组基,（,I,）,E,ij,（,II,）；,求从基（,I,）到基（,II,）的过渡矩阵,C,。,求向量 在基（,II,）的坐标,Y,。,例,1.1.8 P8,线性空间,V,与,F,n,的同构,坐标关系,V F,n,V,的,基,1,，,2,，。,n,由此建立一个一一对应关系,V,，,X,F,n,，（）,=X,（,1,+,2,）,=,（,1,）,+,（,2,）,（,k,）,=k,（）,在关系下，线性空间,V,和,F,n,同构。,同构的性质,定理,1.3,:,V,中向量,1,，,2,，,n,线性相关,它们的坐标,X,1,X,2,X,n,在,F,n,中线性相关。,同构保持线性关系不变。,应用,：,借助于空间,F,n,中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。,1.,2,子空间,概述：,线性空间,V,中，向量集合,V,可以有集合的运算和关系：,W,i,V,，,W,1,W,2,，,W,1,W,2,，,问题：,这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？,1,、子空间的概念,定义：,设非空集合,W,V,，,W,，如果,W,中的元素关于,V,中的线性运算为线性空间，则称,W,是,V,的子空间,。,判别方法：,Important Theorem,W,是子空间,W,对,V,的线性运算封闭子空间本身就是线性空间。,子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法,子空间和非子空间的例子：,V=x=(,x,1,，,x,2,，,0,R,3,，,V=x=(,x,1,，,x,2,，,1,R,3,，,矩阵,A,R,mn,，,齐次线性方程组,AX=0,的解集合：,S,=,X,：,AX=0,R,n,，,非齐次线性方程的解集合：,M,=,X,：,AX=,b,R,n,，,重要的子空间：,生成子空间,设向量组,1,，,2,，,，,m,V,，由它们的一切线性组合生成的子空间：,Span,1,，,2,，,，,m,=L(,1,，,2,，,，,m,),=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,|,ki,生成子空间的重要的性质：,1,）如果,1,，,2,，,，,m,线性无关，则其为生成子空间,Span,1,，,2,，,，,m,的一组基；,2,）如果,1,，,2,，,，,r,是向量组,1,，,2,，,，,m,的最大线性无关组，则,Span,1,，,2,，,，,m,1,，,2,，,，,r,是,Span,1,，,2,，,，,m,的一组基,2,、,子空间的“交空间”与“和空间”,讨论：,设,W,1,V,，,W,2,V,，且都是子空间，则,W,1,W,2,和,W,1,W,2,是否仍然是子空间？,（1）,交空间,交集：,W,1,W,2,=,W,1,而且,W,2,V,n,（,F,）,W,1,W,2,是子空间，被称为“交空间”,（2）和空间,和的集合：,W,1,W,2,=,=X,1,X,2,X,1,W,1,，,X,2,W,2,W,1,W,2,W,1,W,2,W,1,W,2,是子空间，被称为“和空间”，,W,1,W,2,不一定是子空间，,W,1,W,2,W,1,W,2,例,设,R,3,中的子空间,W,1,=Le,1,，,W,2,=Le,2,求和空间,W,1,W,2,。,比较：集合,W,1,W,2,和集合,W,1,W,2,。,如果,W,1,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,k,，,则,W,1,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,1,2,，,，,k,3,、维数公式,子空间的包含关系,：,dim,W,1,W,2,dim,W,i,dim,W,1,W,2,dim,V,n,（,F,）。,维数定理,：,dim,W,1,dim,W,2,=,dim,（,W,1,W,2,）,dim,（,W,1,W,2,）,证明：,4,、子空间的直和,分析,：,如果,dim,（,W,1,W,2,）,0,，则,dim,（,W,1,W,2,）,dim,W,1,dim,W,2,所以：,dim,（,W,1,W,2,）,=,dim,W,1,dim,W,2,dim,（,W,1,W,2,）,=0,W,1,W,2,=0,直和的定义,：,若,dim,（,W,1,W,2,0,，则和为直和,W=W,1,W,2,=W,1,W,2,，,子空间的“和”为“直和”的充要,条件,：,Theorem,设,W=W,1,W,2,，则下列各条等价：,（,1,）,W=W,1,W,2,（,2,）,X,W,，,X=X,1,X,2,的表,是惟一的,（,3,）,W,中零向量的表示是惟一的,（,4,）,dim,W,=,dim,W,1,dim,W,2,例,P13 1.2.6,例,设在,R,nn,中，子空间,W,1,=A,A,T,=A,，,W,2,=B,B,T,=,B,，,证明,R,nn,=W,1,W,2,。,13,线性变换,(Linear Transformations),一、,线性变换的概念,线性变换的来历；,Definition,：,（,i,）,T,是,V,上的映射：,T,：,V,V,。,(ii)T,具有线性性：,T,（,）,=T,（,）,T,（,）,(,保持加法的三角形法则,),T,（,k,）,=,kT,（,）,(,保持比例关系,),2,线性变换的性质：,（,i,）,T,(,0,),=0,（,ii,）,T,(,),=,T,(,),（,iii,）,3 线性变换的象空间和零空间,设线性变换,T,：,V,V,，,象空间 Im,(,T,),=,：,V,，,=T,(,),零空间 Ker(,T,),=,：,V,，,T,(,),=0,定义：,T,的秩=,dim,R,（,T,）；,T,的零度=,dim,N,（,T,）,线性变换保持线性相关性不变！,例,(P018),R,n,中的变换,T,：设,A,R,nn,是一个给定的 矩阵，,X,R,n,，,T,(,X,),=AX,。,(1)T是线性变换；,(2)Ker(T)是AX=0的解空间；,(3)Im(T)=Spana1,a2,.,an,其中a1是矩阵A的列向量；,(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n,4,线性变换的运算,设,T,1,，,T,2,都是空间,V,中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：,（,i,）,T,1,T,2,V,，,（,T,1,T,2,）（,）,=T,1,（,）,T,2,（,）,（,ii,）,T,1,T,2,V,，,(,T,1,T,2,),（,）,=T,1,（,T,2,（,）,（,iii,）,k,T,V,，,（,k,T,）（,）,=,k,（,T,（,）,（,iv,）,若,T,1,是可逆变换，,T,1,T,1,(,),=,当且仅当,T,(,),=,。,定义,二、线性变换的,矩阵,1,线性变换的矩阵与变换的坐标式,Purpose:,将抽象的线性变换与矩阵对应起来,T的矩阵,二、线性变换的矩阵,1,线性变换的矩阵与变换的坐标式,V,上线性变换的特点分析：,定义变换,T,确定基中向量的象,T,（,i,）。,定义,T,（,i,）,确定它在基下,i,的坐标,A,i,。,定义变换,T,确定矩阵,A=A,1,，,A,2,，,，,A,n,例,已知,定义映射,T,：,(1)证明T是V上的线性变换；,(2)求V的一组基，并求T在这组基下的矩阵。,2,线性变换运算的矩阵对应：,设,V,上的线性变换,T,1,，,T,2,，它们在同一组基下的矩阵：,T,1,A,1,；,T,2,A,2,（,i,）（,T,1,T,2,）,（,A,1,A,2,）,（,ii,）（,T,1,T,2,）,A,1,A,2,（,iii,）（,kT,）,kA,（,iv,）,T,1,A,1,3,不同基下的变换矩阵,两组基,1,，,2,，,n,，,1,，,2,，,n,，,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,C,T,（,1,2,n,）,1,2,n,）,A,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,B,同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的,B=C,1,AC,1,2,3,*例（,P025,，例,1.4.6,）,*例,设单位向量,u=,（,2/3,，,-2/3,，,-1/3,）,，定,R,3,上的线性变换,P,（,x,）,=,x,-,（,x,，,u,）,u,，,求,P,在自然基,e,1,，,e,2,，,e,3,下的变换矩阵。,求,P,在标准正交基,u,，,u,2,，,u,3,下的变换矩阵。,2.1,内积与欧氏空间,Inner Product&Euclidian Spaces,内积的作用：,研究高维空间中的几何问题,1,Example:R,3,上的内积定义,2,内积的公理化定义,Definition,：要点,内积,(,，,),是二元运算：,V,V,R,(,，,),的公理性质,(,，,),是任何满足定义的运算。,讨论,(,，,1,2,),(,，,k,),3,常见的内积空间：,R,n,；,Remark,:,对于同一个线性空间，可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间,R,m,n,；,4,向量的长度,定义：,|,|,=,5,欧氏空间中向量的夹角：,定义：,0，,0，夹角,定义为：,cos,=,性质：,|,k,|,=,k,|,|,；,三角不等式(Cauchy不等式)：,，,V,|,(,，,),|,|,|,|,|,和,正交,（,，,）=0,6,线性空间的内积及其计算：,设,1,，,2,，,n,是内积空间,V,的基，,，,V,，则有,=x,1,1,x,2,2,x,n,n,=,(,1,2,n,),X,；,=y,1,1,y,2,2,y,n,n,=,(,1,2,n,),Y,(,，,),=,Y,H,AX,，,定义内积,在一个基,1,，,2,，,n,中定义内积,定义一个度量矩阵,A,。,度量矩阵,A,度量矩阵的性质：,2.2,标准正交基,Orthogonal Basis,1,正交的向量组：,定义：,1,，,2,，,n,为正交组,(,i,，,j,),=0,性质：不含零向量的正交向量组线性无关。,2,标准正交基,基,1,，,2,，,n,是标准正交基,(,i,，,j,),=,要点,：,是基，,两两正交，,每一个向量是单位向量,标准正交基的优点：,度量矩阵是单位矩阵，即,A=I,=,(,1,2,n,),X,，,=,(,1,2,n,),Y,，,(,，,),=Y,H,X,=,x,1,1,x,2,2,x,n,n,，,x,i,=,(,，,i,),和,正交,其坐标,X,和,Y,正交,坐标空间,F,n,的,内,积,标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤,：,Schmidt,正交化,标准化,例,已知,(1)证明(X,Y)是V上的内积；,(2)求W的一组标准正交基。,2.4,正交补,定义,:,设,WU,是实内积空间,V,的子空间，,(1),a,V,若,b,W,都有,(,a,b,)=0,则称,a,与,W,正交，记作,a,W,;,(2),若,a,W,b,U,都有,(,a,b,)=0,则称,W,与,U,正交，记作,W,U,;,(3),若,W,U,，并且,W,+,U,=,V,则称,U,为,W,的正交补。,注意：若,W,U,，,则,W,与,U,的和必是直和。,55,正交补的存在唯一性,定理,:,设,W,是实内积空间,V,的子空间，则,W,的正交补,存在且唯一，记该,正交补为 ，并且,56,定理,:,设,W,是实内积空间,V,的有限维子空间，则,向量的正投影,定义,:,设,W,是实内积空间,V,的子空间，,则称向量,b,为向量,a,在,W,上的正投影，,称向量长度,|,g,|,为向量,a,到,W,的距离。,W,d,b,O,a,g,垂线最短定理,定理,:,设,W,是实内积空间,V,的子空间，,a,V,b,为,a,在,W,上的正投影，则,d,W,有,并且等号成立当且仅当,b,=,d,。,W,d,b,a,最小二乘法,（,1,）,可能无解，即任意 都可能使,（,2,）,不等于零，设法找实数组 使,（,2,）,最小,这样的 为方程组,（,1,）,的最小二乘解，,此问题叫最小二乘法问题,.,1.,问题提出,，实系数线性方程组,2,.,问题的解决,设,（,3,）,用距离的,概念，（,2,）,就是,由3,）,知,找,使（,2,）,最小，等价于找子空间,中向量,使,到,它的距离,比,到,中其它向量的距离都短,.,设,为此必,这等价于,（,4,）,即,这样（,4,）,等价于,或,（,5,）,例题,四、正交变换和酉变换,讨论欧氏空间,V,中最重要的一类变换。,1,正交变换的定义；,2,正交变换的充要条件：,（,Theorem,P042,）,T,是内积空间,V,上的线性变换，则下列命题等价：,T,是正交变换,T,保持向量的长度不变,T,把,V,的标准正交基变成标准正交基,T,在标准正交基下的矩阵是正交矩阵,3 正交矩阵的性质,正交矩阵,C,：,C,T,C=I,正交矩阵的判定：,A,是正交矩阵,每个行（列）向量是单位向量；,每两行（列）正交。,常见的基本正交变换,：,平面上的旋转,几何描述：,绕坐标原点，逆时针旋转一个,角。,变换矩阵：在自然基下，,R,3,空间中的镜像变换,定义：,S,（,x,）,=,x,2,（,x,，,u,）,u,。,变换矩阵与几何意义,空间中的旋转,几何描述：绕空间中过原点的 一根直线,L,，,旋转一 个,角。,变换矩阵,五、酉空间和酉变换,把内积空间中的数域换成复数域,C,复内积空间,(,酉空间,),1,酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；,2,酉变换和正交变换,3,正规变换与正规矩阵的定义；,4,Schur,Lema,;,5,Hermite,矩阵的性质；,6,矩阵的奇异值。,推荐练习题：第一、二章,P026,：,4,；,5,；,6,；,10,；,11,；,13,；,14,P053,：,2,；,5,；,10,