24-线性方程组的解省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,2.4 线性方程组解,一、线性方程组可解性,二、线性方程组解结构,三、矩阵方程可解性,第1页,一、线性方程组可解性,不妨设,n,元线性方程组,Ax,=,b,系数矩阵,A,行最简,形为,当,R,(,A,b,),R,(,A,),=,r,时,增广矩阵(,A,b,)行最简形为,出现方程 0,=,1,方程组无解.,当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),=,r,时,增广矩阵行最简形为,即得同解方程组,当,r,=,n,时,方程组有唯一解;,当,r,n,时,方程组有没有穷解.,综上即得,可解性定理第2页,推论1,n,元齐次线性方程组,Ax,=,0 有非零解充分必,要条件是,R,(,A,),R,(,A,)时,方程组无解;,(2)当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),=,n,时,方程组有唯一解;,(3)当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),n,时,方程组有没有穷多解.,设,n,元线性方程组,Ax,=,b.,第3页,例1,a,取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有没有穷多解.,解1,对方程组增广矩阵施行初等行变换,第4页,例1,a,取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有没有穷多解.,解1,对方程组增广矩阵施行初等行变换,第5页,例1,a,取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有没有穷多解.,解1,对方程组增广矩阵施行初等行变换,1.当,a,1,-,2 时,方程组有唯一解;,2.当,a,=-,2 时,方程组无解;,3.当,a,=,1 时,方程组有没有穷多解.,第6页,例1,a,取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有没有穷多解.,解2,(1)利用 Cramer 法则.,当,a,1,-,2 时,方程组有唯一解;,第7页,例1,a,取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有没有穷多解.,解2,(2)当,a,=-,2 时,方程组无解;,第8页,例1,a,取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有没有穷多解.,解2,(3)当,a,=,1,时,方程组有没有穷多解.,第9页,解,当,l,=-,1 或,l,=,8 时,方程组有非零解.,例2,l,取什么值时,以下齐次线性方程组有非零解：,齐次线性方程组系数行列式,第10页,当,R,(,A,),=,n,时,n,元齐次方程组,Ax,=,0 只有零解.,当,R,(,A,),=,r,其中,注意:,二、线性方程组解结构,第11页,齐次通解结构定理,则,Ax,=,0 通解可表示为向量形式,其中,注意:,设,x,1,x,n,-,r,r,=,R,(,A,)为,n,元方程组,Ax,=,0 解,且满足条件,R,(,x,1,x,n,-,r,),=,n,-,r,则,Ax,=,0 通解为,(,k,1,k,n,-,r,为任意数),称,x,1,x,n,-,r,为方程组,Ax,=,0 一个,基础解系,.,第12页,于是得同解方程组,解,化系数矩阵为行最简形：,分别令,x,3,=,3,x,5,=,0,和,x,3,=,0,x,5,=,9,得基础解系为,例3,求,一个基础解系.,第13页,非齐次通解结构定理,(,k,1,k,n,-,r,为任意数),设,x,=,h,是,n,元非齐次线性方程组,Ax,=,b,一个解(称,特解,),x,1,x,n,-,r,是,导出组,Ax,=,0 一个基础解系,则,Ax,=,b,通解为,证实,直接验证知,上式为,Ax,=,b,解.,设,x,=,h,为,Ax,=,b,任一解,则有,即,x,=,h,-,h,为,Ax,=,0 一个解,由齐次通解结构定理,存在一组数,k,1,k,n,-,r,使,即,第14页,例4,已知四元非齐次线性方程组,Ax,=,b,三个特解,且,R,(,A,),=,2,求,Ax,=,b,通解.,解,取,则,x,1,x,2,为导出组,Ax,=,0,两个解.,易知,所以,x,1,x,2,为,Ax,=,0 一个基础解系.,于是方程组,Ax,=,b,通解为,第15页,记,三、矩阵方程可解性,矩阵方程可解性定理,矩阵方程,AX,=,B,有解充分必要条件是,证实,充分性证实:,由矩阵秩性质知,因为,Ax,i,=,b,i,有解,从而,所以,也即,AX,=,B,有解.,第16页,三、矩阵方程可解性,矩阵方程可解性定理,矩阵方程,AX,=,B,有解充分必要条件是,证实,必要性证实:,由矩阵秩性质知,设,X,=,K,为,AX,=,B,解,即,AK,=,B,于是,第17页,作 业,习题,2.4:,2.4.5.6.7.,第18页,易知,证实,为方程组,Ax,=,0 解.,设,x,=,x,为方程组,Ax,=,0 任一解.,记,则有,所以,注意,可知,由可解性定理知,n,-,r,元线性方程组,By,=,x,有唯一解,即,设,x,1,x,n,-,r,r,=,R,(,A,)为,n,元方程组,Ax,=,0 解,且满足条件,R,(,x,1,x,n,-,r,),=,n,-,r,则,Ax,=,0 通解为,齐次通解结构定理,(,k,1,k,n,-,r,为任意数),第19页,得通解为,令自由未知元,第20页,