解析函数的孤立奇点与留数市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解析函数孤立奇点与留数,留数是区分解析点与孤立奇点主要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分内在联络。,一.孤立奇点及其分类:,1.定义,若,f,(,z,),在,z,0,不解析,但在,z,0,某一去心邻域0|,z,z,0,|,内解析,则称,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点,.,由定义可知，若,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点,，则意味着在,z,0,某个领域里只有,z,0,一个奇点。,并非全部奇点都孤立，比如：,第1页,1).若,无负幂项,则称,z,0,为,f,(,z,),可去奇点,；,2).,若,只有有限个负幂项,则称,z,0,为,f,(,z,),极点,；,若,c,-,m,0,而,c,n,=0(,n-m,),则称,z,0,为,f,(,z,),m,级极点,2.,分类,由,Laurent,级数中,负幂项个数,来分类,设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点,则,f,(,z,),在,0|,z,z,0,|,内,解析，,Laurent,展式为,第2页,3),.若,有没有穷多个负幂项,则称,z,0,为,f,(,z,),本性奇点。,判别：,(1)假如,z,0,为,f,(,z,),可去奇点,(2),z,0,为,f,(,z,),极点,(3),z,0,为,f,(,z,),本性奇点,：,z,0,为,f,(,z,)m,级极点,c,-m,为有限复常数;,第3页,二.零点与极点关系,(1),定义:,若解析函数,f,(,z,),能表示成,f,(,z,)=(,z,z,0,),m,(,z,),其中,(,z,0,),0,且,(,z,),在,z,0,处解析,m,为某一正整数,则称,z,0,为,f,(,z,),m,级零点,.,(2),性质,(,a),假如,f,(,z,),在,z,0,处解析,那么,z,0,为,f,(,z,),m,级零点,f,(,n,),(,z,0,)=0 (,n,=0,1,2,m,1),f,(,m,),(,z,0,),0.,(,b),z,0,为,f,(,z,),m,级极点,z,0,为,m,级零点.,第4页,例1,求以下函数奇点，并指出其类型：,第5页,第6页,三,.,函数在无穷远点性态,(1),分类:,则称,为,f,(,z,),孤立奇点,.,令,t,=1/,z,则,t,=0,是,(,t,)=,f,(1/,t,),孤立奇点.,我们要求:若,t,=0,是,(,t,)=,f,(1/,t,),可去奇点,(,m,级极点,本性奇点),则称,z,=,是,f,(,z,),可去奇点,(,m,级极点,本性奇点,).,若,f,(,z,),在,z,=,去心邻域,R,|,z,|+,内解析,第7页,(2),判定,若,f,(,z,),在,R,|,z,|+,内解析,则在此圆环内有,(*,),第8页,第9页,关于无穷远点孤立奇点分类能够转化为,原点情况或者利用已知函数展开式来判定，,当然这个展开式,必须是无穷远点去心邻域内,Laurent,展式。,第10页,例2,.,z,=,是,可去奇点.,z,=,是,g,(,z,)=(,z,1)(,z,2),=,z,2,3,z,+2,二级极点.,第11页,四.留数,内，,f,(,z,),Laurent,展式为:,设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点,在,z,0,去心邻域,第12页,无穷远点处留数,第13页,留数计算法：,第14页,2.从证实过程不难看出，即使极点级数小于,m,也可看成级数为,m,来计算。这是因为表示式,系数 中可能有一个或几个为零而已，这不影响证实结果。,第15页,例3,求以下函数奇点并计算留数：,第16页,第17页,比如：,0,|,z,1|+,所以,z,=1,是,f,(,z,),本性奇点,且,Res,f,(,z,),1=,c,-1,=0.,思索：,可去奇点留数是否必为零？,留数为零,(,有限远奇点,),是否一定是可去奇点？,函数,以,为可去奇点,但,c,-1,=1,故,Res,f,(,z,),=,1,0.,第18页,五.留数定理,设函数,f,(,z,),在区域,D,内除去有限个孤立奇点,z,1,z,2,z,n,外处处解析,L,是,D,内包围诸奇点任意一,条逆时针简单闭曲线,则,由,复合闭路定理,可得,留数定理1,利用这个定理，可将求沿封闭曲线L,积分，,转化为求被积函数在,L,中各孤立奇点处,留数。,第19页,假如函数,f,(,z,),在,扩充复平面,内除去有限个孤立奇,点外处处解析,那么,f,(,z,),在全部奇点(包含,点,),留数总和等于零.,留数定理,2,第20页,利用留数计算复积分,例,4,.,计算,L,为圆周|,z,|=2,取逆时针方向.,第21页,例,5,.,(1),计算积分,n,为正整数.,第22页,六.用留数计算一些实积分,其中,R,(cos,x,sin,x,),为,cos,x,sin,x,有理函数.,其中,z,k,(,k,=1,2,n,),为,f,(,z,),在|,z,|0,且,a,1.,第24页,注,:,若,R,(cos,x,sin,x,),为,x,偶函数,则,依然可令,z,=,e,i,x,将,化为单位圆周上积分.,第25页,第26页,例,7,.,应用留数计算实积分,例,8,.,计算积分,第27页,第28页,例13,.计算积分,(,m,0).,例14,.计算积分,第29页,