模糊数学-8(模糊聚类、模糊映射与变换)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,*,吉林大学计算机科学与技术学院,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,含糊数学 8,孙舒杨,Email.sysun,1,吉林大学计算机科学与技术学院,第1页,上次课堂作业,设,请问至多几次平方能够抵达传递闭包？,请给出传递闭包t(R),2,吉林大学计算机科学与技术学院,第2页,3-9 聚类分析,3,吉林大学计算机科学与技术学院,第3页,聚类分析,所谓聚类分析，就是用数学方法对事物进行分类,应用十分广泛,含糊数学产生之前，聚类分析是,数理统计多元分析,一个分支,现实分类问题含有含糊性，比如“环境污染分类”、“岩石分类”等,用到含糊聚类分析,4,吉林大学计算机科学与技术学院,第4页,分类问题,设U=u,1,u,2,u,n,为待分类全体对象，其中每个待分类对象由一组,数据表征,以下：,问题转化为：怎样建立对象u,i,与u,j,之间相同关系,5,吉林大学计算机科学与技术学院,第5页,何谓数据表征,比如，要对一些环境单元进行分类，判断它们污染程度,每个环境单元包含四个要素：空气、水分、土壤、作物,环境单元污染情况由,污染物在四个要素中含量超程度,来描述,北京市东南郊环境污染治理，获北京市科技结果一等奖,6,吉林大学计算机科学与技术学院,第6页,现有5个污染单元，,U=,它们污染数据以下:,=(5,5,3,2),=(2,3,4,5),=(5,5,2,3),=(1,5,3,1),=(2,4,5,1),7,吉林大学计算机科学与技术学院,第7页,步骤1：建立含糊相同关系,怎样建立对象u,i,与u,j,之间相同关系？,有许多方法，应用时依据实际情况，选择一个方法来求u,i,与u,j,相同关系R(u,i,u,j,)=r,ij,在“环境污染”例子中，怎样给出含糊相同矩阵？,8,吉林大学计算机科学与技术学院,第8页,建立相同矩阵,建立含糊相同矩阵注意事项：,r,ij,0,1,自反,对称,“环境”例中，采取“绝对值减数法”,问：,得到相同矩阵维数是多少？,9,吉林大学计算机科学与技术学院,第9页,含糊相同矩阵,10,吉林大学计算机科学与技术学院,第10页,步骤2：相同关系,等价关系,步骤1得到矩阵普通满足自反性和对称性,将含糊相同矩阵改造成含糊等价矩阵,平方法,求传递闭包,11,吉林大学计算机科学与技术学院,第11页,至多计算多少次？,含糊相同矩阵5,5,k=log,2,5+1=2+1=3,最坏情况下，R,R,2,R,4,R,8,，计算到R,8,12,吉林大学计算机科学与技术学院,第12页,13,吉林大学计算机科学与技术学院,第13页,14,吉林大学计算机科学与技术学院,第14页,15,吉林大学计算机科学与技术学院,第15页,含糊等价矩阵,16,吉林大学计算机科学与技术学院,第16页,R传递闭包t(R)=R,4,对于t(R)，依次取截关系,17,吉林大学计算机科学与技术学院,第17页,1,利用 1时截关系，将X分成5个等价类：,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,18,吉林大学计算机科学与技术学院,第18页,0.8,利用 0.8时截关系，将X分成4个等价类：,x,1,x,3,x,2,x,4,x,5,19,吉林大学计算机科学与技术学院,第19页,0.6,利用 0.6时截关系，将X分成3个等价类：,x,1,x,3,x,2,x,4,x,5,20,吉林大学计算机科学与技术学院,第20页,0.5,利用 0.5时截关系，将X分成2个等价类：,x,1,x,3,x,4,x,5,x,2,21,吉林大学计算机科学与技术学院,第21页,0.4,利用 0.4时截关系，将X分成1个等价类：,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,22,吉林大学计算机科学与技术学院,第22页,动态聚类图,由1变到0，R,分类由细到粗,x1,x2,x3,x4,x5,=1,=0.8,=0.4,=0.6,=0.5,23,吉林大学计算机科学与技术学院,第23页,其它建立相同矩阵方法,非常多！主要分为3类,相同系数法,距离法（绝对值减数法就是距离法之一）,主观法,在后面附录中给出,24,吉林大学计算机科学与技术学院,第24页,聚类分析步骤,建立初始矩阵,利用某个建立相同矩阵方法，建立相同矩阵,利用平方法，相同矩阵,等价矩阵,若相同矩阵维数较大，需要屡次自乘，工作量大,25,吉林大学计算机科学与技术学院,第25页,直接聚类法,建立含糊相同矩阵R后，无需求出其传递闭包t(R),直接从R出发，能够求得一样聚类图,x1,x2,x3,x4,x5,=1,=0.8,=0.4,=0.6,=0.5,26,吉林大学计算机科学与技术学院,第26页,直接聚类法步骤,取,=1(最大值)，对每个x,i,确定其相同类x,i,1,将满足r,ij,=1x,i,和x,j,放在一类，组成相同类,x,1,1,=x,1,x,2,1,=x,2,x,3,1,=x,3,x,4,1,=x,4,x,5,1,=x,5,27,吉林大学计算机科学与技术学院,第27页,取,=0.8(次大值)，对每个x,i,确定其相同类x,i,R,将满足r,ij,=1x,i,和x,j,放在一类，组成相同类,x,1,0.8,=x,3,0.8,=x,1,x,3,x,2,0.8,=x,2,x,4,0.8,=x,4,x,5,0.8,=x,5,28,吉林大学计算机科学与技术学院,第28页,直接聚类法,取,=0.6(第三大值)，对每个u,i,确定其相同类,依这类推,29,吉林大学计算机科学与技术学院,第29页,相同矩阵直接聚类vs.等价矩阵聚类,看上去没有区分,有区分！,对于一个固定,，等价矩阵聚类得到等价类没有公共元素！,相同矩阵聚类得到,相同类则有公共元素,，这是因为不含有“传递性”,30,吉林大学计算机科学与技术学院,第30页,直接聚类法,直接聚类法把有公共元素相同类归并为一类,31,吉林大学计算机科学与技术学院,第31页,课堂作业,32,吉林大学计算机科学与技术学院,第32页,著名聚类例子,日本学者Tamura给出，在含糊数学中广泛使用,有三个家庭，共16人。每个家庭人数为4-7人。,每人提供一张照片，共计16张,由若干素不相识中学生对照片两两进行比较，按相貌相同程度进行评分，分数在0,1上。每对照片相同程度由全部些人对他们评分平均值确定。,要求：把三个家庭区分开来（即对这16个人进行聚类），可使用直接聚类法,33,吉林大学计算机科学与技术学院,第33页,得到相同矩阵,34,吉林大学计算机科学与技术学院,第34页,要建立下面四个对象相同矩阵，请给出合理建立公式,35,吉林大学计算机科学与技术学院,第35页,第四章,含糊映射与综合评判,36,吉林大学计算机科学与技术学院,第36页,4-1 投影与截影,37,吉林大学计算机科学与技术学院,第37页,经典关系投影,定义.R,P(X,Y)是X到Y一个普通关系，,令R,X,=x|存在(x,y)R(即存在yY使得xRy）P(X)，则称R,X,为,R在X中投影,R,Y,=y|存在(x,y)RP(Y)，则称R,Y,为,R在Y中投影,38,吉林大学计算机科学与技术学院,第38页,经典关系投影例1,学生集合 U=张三，李四，王五，陈六，外语选修课程集合 V=英，法德，日，韩,R=(张三,英),(张三,法),(李四,德),(王五,日),(王五,英),R在U中投影是什么？R在V中投影是什么？,39,吉林大学计算机科学与技术学院,第39页,经典关系投影例2,X=a,b,c,Y=1,2,3,X到Y上关系R,1,描述以下，分别求其在X和Y上投影,40,吉林大学计算机科学与技术学院,第40页,投影几何解释,x,y,R,41,吉林大学计算机科学与技术学院,第41页,经典关系截影,定义.R,P(X,Y)是X到Y一个普通关系，xX,yY,令R|,x,=y|(x,y)RP(Y)，则称R|,x,为,R在x处截影,R|,y,=x|(x,y)RP(X)，则称R|,y,为,R在y处截影,42,吉林大学计算机科学与技术学院,第42页,截影几何意义,截影：先截再投影,x,y,R,43,吉林大学计算机科学与技术学院,第43页,经典关系截影例,X=a,b,c,Y=1,2,3,R是X到Y上关系，求R在x=a和y=2处截影,44,吉林大学计算机科学与技术学院,第44页,经典关系截影例,R|,x=a,=y|(a,y)R=1,3,写成向量形式，则为(1 0 1)，是什么？,R第一行,R|,y=2,=x|(x,2)R=b,写成向量形式，则为(0 1 0)，是什么？,R第2列转置,45,吉林大学计算机科学与技术学院,第45页,含糊关系截影定义,46,吉林大学计算机科学与技术学院,第46页,截影是什么？,对于U,V上一个含糊矩阵R，,对于任何u,U，R在u处截影是什么？,对于任何v,V，R在v处截影是什么？,47,吉林大学计算机科学与技术学院,第47页,截影例1,48,吉林大学计算机科学与技术学院,第48页,截影例2,49,吉林大学计算机科学与技术学院,第49页,4-2 含糊映射,50,吉林大学计算机科学与技术学院,第50页,映射定义,设A和B是两个集合，假如按照某种对应关系f，对于集合,A中任何一个元素,，在集合,B中都存在唯一,一个元素与之对应，那么，这么对应叫做集合A到集合B映射(Mapping)，记作f：AB,51,吉林大学计算机科学与技术学院,第51页,哪个是映射？52,吉林大学计算机科学与技术学院,第52页,映射,关系,定理.映射f:X,Y,可唯一确定关系R,f,P(X,Y)，,R,f,满足：,(R,f,),X,=X，即R,f,在X上投影就是X,R,f,|,x,=y|y=f(x)是单点集，即R,f,在x点处截影是Y中一个点,53,吉林大学计算机科学与技术学院,第53页,关系,映射,反之，给定关系R,P(X,Y)，若满足：,投影R,X,=X,截影R|,x,=y,x,(单点集),则R唯一确定映射f,R,:X,Y，满足R|,x,=,f,R,(x),54,吉林大学计算机科学与技术学院,第54页,映射关系几何意义,55,吉林大学计算机科学与技术学院,第55页,集值映射,定义：称映射f:X,P(Y)是从X到Y,集值映射,把X中每个点映射为Y一个子集,56,吉林大学计算机科学与技术学院,第56页,含糊映射定义,定义.称映射f:U,F(V)是U到V,含糊映射,，或表示为,u|f(u)=B,F(V),含糊映射是一个对应关系：,对于U上任一元素u，都与V上唯一确定含糊集合B对应,57,吉林大学计算机科学与技术学院,第57页,含糊映射例,58,吉林大学计算机科学与技术学院,第58页,含糊映射与含糊关系,定理1.,对于任意R,F(UV),都唯一确定一个从U到V含糊映射,，记作,f,R,:U,F(V),使得对于任意u,U，都有,f,R,(u)=R|,u,59,吉林大学计算机科学与技术学院,第59页,含糊映射与含糊关系,反之亦成立，即,对于任意,从U到V含糊映射 f:U,F(V),都唯一确定一个含糊关系，,记作,R,f,F(UV),使得对于任意u,U，都有,R,f,|,u,=f(u),60,吉林大学计算机科学与技术学院,第60页,定理1说明什么？,UV上,含糊关系,与从U到V,含糊映射,之间，有,一一对应,关系,既然一一对应，经常把含糊关系看成含糊映射,下面符号等同使用,R=R,f,=f,R,=f,61,吉林大学计算机科学与技术学院,第61页,含糊关系含糊映射例,62,吉林大学计算机科学与技术学院,第62页,4-2 含糊变换,63,吉林大学计算机科学与技术学院,第63页,例,体重论域U=40,50,60,70,80(kg),身高论域V=1.4,1.5,1.6,1.7,1.8(m),a是一个含糊概念“男少年”,a在U上含糊集合是 A=（0.8,1,0.6,0.2,0）,64,吉林大学计算机科学与技术学院,第64页,某地域身高与体重存在以下关系,不妨把含糊集合A看作是从a到U含糊关系，已知R是U到V含糊关系,假如做A与R合成，得到什么？,65,吉林大学计算机科学与技术学院,第65页,得到a到V上含糊关系,即含糊概念a在身高论域上含糊集合,B=A,R=(0.8,1,0.8,0.6,0.2),能够说，含糊关系R是一个映射，这个映射将一个U上含糊集变为V上含糊集，相当于一个,变换,66,吉林大学计算机科学与技术学院,第66页,含糊变换定义,称映射T:F(U),F(V)为从U到V一个,含糊变换,把一个论域上含糊集合变换为另一论域上含糊集合,U上任何含糊集合A，经过变换T后，得到V上一个含糊集合B，B=T(A),67,吉林大学计算机科学与技术学院,第67页,含糊矩阵vs.含糊变换,若U,V均为有限论域，含糊变换T是,映射T:,1,m,1,n,若给定,R,mn,则对任意A,1m,，,都可得到,A,R=B,1,n,此时含糊矩阵,R就确定一个含糊变换，记作T,R,68,吉林大学计算机科学与技术学院,第68页,含糊变换定理,定理1.对于任意一个含糊关系RF(UV)，唯一确定从U到V,含糊变换,T,R,，,使得对于任意A,F(U)，都有,T,R,(A)=A,RF(V),69,吉林大学计算机科学与技术学院,第69页,含糊变换例1,70,吉林大学计算机科学与技术学院,第70页,例1答案,71,吉林大学计算机科学与技术学院,第71页,例1说明什么？,R是普通关系or含糊关系？,普通关系！,T,R,是普通关系导出普通变换,把普通子集变换为普通子集,把含糊集合变换为含糊集合,72,吉林大学计算机科学与技术学院,第72页,含糊变换例2,73,吉林大学计算机科学与技术学院,第73页,例2答案,74,吉林大学计算机科学与技术学院,第74页,例2说明什么？,一个真正含糊关系所导出含糊变换,不确保将普通子集变换为普通子集,普通关系导出含糊变换能够确保,75,吉林大学计算机科学与技术学院,第75页,无限论域上含糊变换例3,76,吉林大学计算机科学与技术学院,第76页,例3答案,77,吉林大学计算机科学与技术学院,第77页,78,吉林大学计算机科学与技术学院,第78页,含糊映射vs.含糊变换,含糊映射,U上一个元素，映射为V上含糊集合,一个含糊映射，导出一个含糊关系,含糊变换,U上一个含糊集合，变换为V上一个含糊集合,一个含糊关系，导出一个含糊变换,79,吉林大学计算机科学与技术学院,第79页,含糊映射vs.含糊变换,一个含糊映射f，导出一个含糊关系R,f,一个含糊关系R，导出一个含糊变换T,R,一个U到V上含糊映射f，可导出一个U到V含糊变换T,f,80,吉林大学计算机科学与技术学院,第80页,含糊映射,含糊变换例4,81,吉林大学计算机科学与技术学院,第81页,82,吉林大学计算机科学与技术学院,第82页,83,吉林大学计算机科学与技术学院,第83页,含糊变换直观意义,体重论域U，身高论域V,a是含糊概念“男少年”,a在U上含糊集合是A,经过含糊变换后，得到含糊集合B，表示含糊概念a在论域V上含糊集合,由含糊关系确定含糊变换，直观上能够解释为“,论域转换,”,84,吉林大学计算机科学与技术学院,第84页,含糊线性变换定义,定义.设A,B,F(U)，T是U到V含糊变换，即T:F(U),F(V),若T满足以下条件，则称T为,含糊线性变换,T(AB)=T(A)T(B),T(,A)=T(A),85,吉林大学计算机科学与技术学院,第85页,含糊线性变换定理,定理2.设R,F(UV),由R所确定含糊变换T,R,是,线性含糊变换,86,吉林大学计算机科学与技术学院,第86页,定理2证实,87,吉林大学计算机科学与技术学院,第87页,课上作业,88,吉林大学计算机科学与技术学院,第88页,题4-1,89,吉林大学计算机科学与技术学院,第89页,题4-4,90,吉林大学计算机科学与技术学院,第90页,题4-5,91,吉林大学计算机科学与技术学院,第91页,题4-11,设T是从U到V含糊变换，A是U上普通子集，证实,92,吉林大学计算机科学与技术学院,第92页,