2.3.1离散型随机变量均值和方差(3课时)(选修2-3)习题全市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课.pptx

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,1,2.3 离散型随机变量的均值和方差,1/96,设离散型随机变量 可能取值为,为随机变量,概率分布列,，简称为,分布列,.,取每一个值 概率 则称表,对于离散型随机变量，确定了它分布列，就掌握了随机变量取值统计规律.,在实际应用中，我们还经常希望,直接经过数字,来反应随机变量某个方面特征，最惯用有,期望与方差,.,2/96,思索一:,4,5,6,7,8,9,10,0.02,0.04,0.06,0.09,0.28,0.29,0.22,某射手射击所得环数 分布列以下：,在,100次射击之前,试预计该射手,100,次射击平均环数.,分析：,平均环数=总环数,100,所以,总环数约等于,（40.02+50.04+60.06+100.22)100.,故100次射击平均环数约等于,40.02+50.04+60.06+100.22=8.32.,3/96,普通地：,对任一射手,若已知他所得环数 分布列，即已,知 则能够预计他任意,n,次射击,平均环数是 记为,我们称 为此射手射击所得环数,期望,，它刻划了所,得环数随机变量 所取平均值。,4/96,引例,1,：某商场为满足市场需求要将单价分别为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,，,36,元,/kg,3,种糖果按,3,：,2,：,1,百分比混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果质量都相等，怎样对混合糖果定价才合理？,定价为,能够吗？,5/96,x,18,24,36,p,1/2,1/3,1/6,181/2+241/3+361/6 =23,=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36),样本平均值,权数,加权平均,6/96,则称 为随机变量,X,均值,或,数学期望,数学期望又简称为,期望,。,X,P,普通地,若离散型随机变量,X,概率分布为,它反应了离散型随机,变量,取值平均水平,。,1,离散型随机变量均值定义,7/96,归纳求离散型随机变量均值,(,期望,),步骤,：,、确定离散型随机变量可能取值。,、写出分布列，并检验分布列正确是否。,、求出均值,(,期望,),。,8/96,引例,2,、随机抛掷一个均匀骰子，求所得骰子,点数,X,均值,X,1,2,3,4,5,6,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：随机变量,X,取值为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,其分布列为,所以随机变量,X,均值为,E,（,X,）,=1 1/6+2 1/6,+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5,你能了解,3.5,含义吗？,变式,：将所得点数,2,倍加1,作为得分数，即,Y=2X+1,，试求,Y,均值？,9/96,X,1,2,3,4,5,6,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：随机变量,Y,取值为,3,，,5,，,7,，,9,，,11,，,13,其分布列为,所以随机变量,Y,均值为,E,（,Y,）,=31/6+51/6,+71/6+91/6+111/6+131/6=8,=2E,（,X,）,+1,Y,3,5,7,9,11,13,变式,：将所得点数,2,倍加,1,作为得分数，即,Y=2X+1,，试求,Y,均值？,10/96,离散型随机变量均值,线性,性质,11/96,例题分析,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中,得0分已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球,一次得分,X,期望.,解：依题意，P(,X,=1)=0.7，P(,X,=0)=0.3，,E,X,=1P(,X,=1)0P(,X,=0),=10.700.3,=0.7,普通地，假如随机变量,X,服从两点分布，那么,E,X,=1,p,+0(1-,p,)=,p,于是有,若,X,服从两点分布，则E,X,=,p,X,1,0,P,0.7,0.3,则X分布列为：,12/96,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚 2次球得分,X,期望.,解：依题意可知，,XB,(2，0.7),该运动员得分期望为思索：你能找出该期望值1.4与这个二项分布,XB(2,0.7),之间规律吗？,20.7=1.4,13/96,二项分布数学期望：,P,n,k,1,0,X,=,np,(,p+q,),n,-1,=,np,若,X,B(,n,，,p,)，则E,X,np,14/96,离散型随机变量均值性质,(1),线性性质,若,XB(n,，,p),，则,E(X)=np,(2),两点分布均值,(3),二项分布均值,若,XB(1,，,p),，则,E(X)=p,15/96,1、随机变量分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1)则E=,.,2、随机变量分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E=,.,5.8,4,79,10,P,0.3,a,b,0.2,E=7.5,则,a,=,b,=,.,0.4,0.1,16/96,2,.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中概率为0.7，则他罚球1次得分期望为,1,.（1）若 E()=,4.5,则 E()=,.,（2）E(E)=,.,0.7,-4.5,0,这是一个特殊二项分布(两点分布)随机变量期望,那么普通地,若,B,(,1,，,p,)，则,E,=?,P,17/96,姚明投篮命中率为,0.8,，假设他每次命中率相同，他在某次训练中连续投篮，则他投,20,次平均投中次数期望,是_,练习三,16,18/96,练,四,.,(上海理),某学校要从5名男生和2名女生,中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量,表示选出志愿者中女生人数,则数学期望,E,(,)=_(结果用最简分数表示).,解析,可能取值为0,1,2,19/96,1、本节课学习了离散型随机变量期望及公式：,（1）,E,(,a,+,b,)=,aE+b,;,（2）若,B,（,n,p,），则,E,=,np,2、会依据离散型随机变量分布列求出期望。,20/96,21,2.3 离散型随机变量的均值和方差,21/96,温故而知新,1,、离散型随机变量,X,均值,（数学期望）,2,、均值性质,3,、两种特殊分布均值,（1）,若随机变量,X,服从两点分布，则,（2）,若 ，则,反应了离散型随机变量取值平均水平.,22/96,23,23/96,解：设X,1,表示甲选正确题数、X,2,表示乙选正确题数,它们都满足二项分布：,X,1,B(20，0.9)X,2,B(20，0.25),所以：EX,1,=n p=200.9=18,EX,2,=n p=200.25=5,甲所得分数均值为：185=90,乙所得分数均值为：55=25,24/96,解：设Y,1,表示甲所得分数、Y,2,表示乙所得分数,则Y,1,=5X,1,Y,2,=5X,2,所以：EY,1,=E(5X,1,)=5EX,1,=90,EY,2,=E(5X,2,)=5EX,2,=25,X,x,1,x,2,x,20,P,p,1,p,2,p,20,Y,5x,1,5x,2,5x,20,P,p,1,p,2,p,20,25/96,随机变量均值 样本平均值？,比如取糖果问题，将每次取出糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有改变，样本平均值也会跟着改变；而随机变量均值是常数。,思索,甲同学一定会得90分吗？,90表示随机变量X均值；,详细考试甲所得成绩是样本实际平均值；,26/96,27,27/96,28,28/96,29,29/96,30,30/96,思索1.某商场促销决议：,统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可赢利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可赢利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨概率为40%商场应选择哪种促销方式？,解:因为商场内促销活动可获效益2万元,设商场外促销活动可获效益,万元,则,分布列,P,10,4,0.6,0.4,所以,E,=100.6(-4)0.4=4.4,因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销.,31/96,思索,2,.,有场赌博，规则以下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场,赌博,对你是否有利?,对你不利!,劝君莫参加赌博.,32/96,彩球游戏,准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不一样外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢规则为：,6个全红 赢得100元,5红1白 赢得50元,4红2白 赢得20元,3红3白 输100元,2红4白 赢得20元,1红5白 赢得50元,6个全白 赢得100元,你动心了吗?,思索,3,：,33/96,课堂训练,1.甲、乙两名射手一次射击中得分为两个相互独立,与,且,，,分布列为,1,2,3,P,0.3,0.4,0.3,1,2,3,P,0.3,0.1,0.6,甲、乙两人谁射击水平高？,随机变量,34/96,2.,一次小测验由,3,道题目组成，每道题,10,分，学生甲做,对题目个数分布列为,0,1,2,3,P,0.1,0.5,0.3,0.1,(1),甲做对题目个数期望,(2)写出学生甲得分,分布列,(3),甲得分期望,35/96,36/96,注意,概念,步骤,期望概念,区分期望与对应数值算术平均数。,求期望三个步骤,归纳小结 提炼升华,37/96,某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则要求：每小题回答正确得,100,分，回答不正确得,100,分假设这名同学每小题回答正确概率均为,0.8,，且各题回答正确是否相互之间没有影响,(1),求这名同学回答这三个问题总得分,X,概率分布和均值；,(2),求这名同学总得分不为负分,(,即,X,0),概率,备用题：,38/96,解析,(1),X,可能取值为,300,、,100,、,100,、,300.,P,(,X,300),0.2,3,0.008,，,P,(,X,100),3,0.2,2,0.8,0096,，,P,(,X,100),3,0.2,0.8,2,0.384,，,P,(,X,300),0.8,3,0.512.,所以,X,概率分布为,X,300,100,100,300,P,0.008,0.096,0.384,0.512,39/96,E,(,X,),(,300),0.008,(,100),0.096,100,0.384,300,0.512,180.,(2),这名同学总得分不为负分概率为,P,(,X,0),0.384,0.512,0.896.,40/96,分析,(1),求,X,可能取值，即是求得分，答对,0,道题得,300,分，答对,1,道题得,100,200,100,分，答对两道题得,2,100,100,100,分，答对,3,道题得,300,分；,(2),总分不为负分包含：总分为,100,分和总分为,300,分两种情况,41/96,42,2.3 离散型随机变量的均值和方差,42/96,43,43/96,44,44/96,45,45/96,46,(3),若,X,服从两点分布,B,(1,，,p,),，则,D,(,X,),p,(1,p,),46/96,47,47/96,48,48/96,49,49/96,50,50/96,51,51/96,52,52/96,53,练习：,53/96,54,54/96,例,4,已知随机变量,X,分布列是,试求,D,(,X,),和,D,(2,X,1),分析,已知分布列求方差，可先求出均值，再套用公式计算,X,0,1,2,3,4,P,0.2,0.2,0.3,0.2,0.1,55/96,解析,E,(,X,),0,0.2,1,0.2,2,0.3,3,0.2,4,0.1,1.8.,D,(,X,),(0,1.8),2,0.2,(1,1.8),2,0.2,(2,1.8),2,0.3,(3,1.8),2,0.2,(4,1.8),2,0.1,1.56.,对于,D,(2,X,1),，可用两种方法求解,方法,1,：,2,X,1,分布列以下表：,E,(2,X,1),2.6.,D,(2,X,1),(,1,2.6),2,0.2,(1,2.6),2,0.2,(32.6),2,0.3,(5,2.6),2,0.2,(7,2.6),2,0.1,6.24.,2,X,1,1,1,3,5,7,P,0.2,0.2,0.3,0.2,0.1,56/96,方法,2,：利用方差性质,D,(,aX,b,),a,2,D,(,X,),D,(,X,),1.56.,D,(2,X,1),4,D,(,X,),4,1.56,6.24.,点评,求随机变量函数,Y,aX,b,方差，一是先求,y,分布列，再求其均值，最终求方差；二是应用公式,D,(,aX,b,),a,2,D,(,X,),求,57/96,已知,X,是一个随机变量，随机变量,X,5,分布列以下表：,试求,D,(,X,),X,5,2,1,0,1,2,P,0.2,0.1,0.1,0.4,0.2,58/96,解析,X,5,分布列已知，,E,(,X,5),(,2),0.2,(,1),0.1,0,0.1,1,0.4,2,0.2,0.3,，,D,(,X,),D,(,X,5),(,2,0.3),2,0.2,(,1,0.3),2,0.1,(0,0.3),2,0.1,(1,0.3),2,0.4,(2,0.3),2,0.2,2.01.,59/96,例,5.,已知某运动员投篮命中率,p,0.6.,(1),求一次投篮命中次数,X,期望与方差；,(2),求重复,5,次投篮时，命中次数,均值与方差,分析,(1),投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数,X,服从两点分布,(2),重复五次投篮投中次数,服从二项分布,60/96,解析,(1),投篮一次命中次数,X,分布列为,则,E,(,X,),0,0.4,1,0.6,0.6,，,D,(,X,),(0,0.6),2,0.4,(1,0.6),2,0.6,0.24.,(2),由题意，重复,5,次投篮，命中次数,服从二项分布，即,B,(5,0.6),由二项分布期望与方差计算公式，有,E,(,),5,0.6,3,，,D,(,),5,0.6,0.4,1.2.,X,0,1,P,0.4,0.6,61/96,点评,求离散型随机变量期望与方差关键步骤是以下两点：,(1),写出离散型随机变量分布列；,(2),正确应用均值与方差公式进行计算,(,要熟练掌握两点分布、二项分布期望与方差公式,),62/96,一次数学测验由,25,道选择题组成，每个选择题有,4,个选项，其中有且仅有一个选项是正确，每个答案选择正确得,4,分，不作出选择或选错不得分，满分,100,分某学生选对任一题概率为,0.6,，求此学生在这一次测验中成绩均值与方差,练习：,63/96,解析,设该学生在这次数学测验中选择正确答案个数为,，所得分数,(,成绩,),为,，则,4,.,由题知,B,(25,0.6),，,E,(,),25,0.6,15,，,D,(,),25,0.6,0.4,6,，,E,(,),E,(4,),4,E,(,),60,D,(,),D,(4,),4,2,D,(,),16,6,96.,该学生在这次测验中成绩均值与方差分别是,60,与,96.,64/96,一、选择题,1,甲，乙两个运动员射击命中环数,，,分布列以下表其中射击比较稳定运动员是,(,),A.,甲,B,乙,C,一样,D,无法比较,环数,k,8,9,10,P,(,k,),0.3,0.2,0.5,P,(,k,),0.2,0.4,0.4,课堂练习,65/96,答案,B,解析,E,(,),9.2,，,E,(,),9.2,E,(,),，,D,(,),0.76,，,D,(,),0.56,D,(,),，乙稳定,66/96,2,设随机变量,X,B,(,n,，,p,),，且,E,(,X,),1.6,，,D,(,X,),1.28,，则,(,),A,n,8,，,p,0.2,B,n,4,，,p,0.4,C,n,5,，,p,0.32,D,n,7,，,p,0.45,答案,A,67/96,68/96,答案,C,69/96,二、填空题,4,某射手击中目标概率为,p,，则他射击一次击中目标次数,X,均值是,_,，方差是,_,答案,p,1,p,70/96,5,随机变量,X,分布列以下表：,其中,x,、,y,、,z,成等差数列，若,E,(,X,),，则,D,(,X,),值是,_,X,0,1,2,P,x,y,z,71/96,72/96,三、解答题,6,设在,15,个同类型零件中有,2,个是次品，每次任取,1,个，取出后不再放回，共取,3,次若以,X,表示取出次品个数，求,X,均值和方差,分析,首先求出各种情况概率，写出概率分布，注意零件取后不放回,73/96,74/96,75/96,机动练习,117,10,0.8,=,=,=,=,p,p,n,B,X,n,1.6,DX,8,EX,),(,1,则,，,、已知,=,=,+,=,h,x,x,h,D,D,则,，且,、已知,13,8,1,3,2,76/96,3.若随机变量,服从二项分布，且,E=6，D=4,则此二项分布是,。,设,二项分布为,B(n,p),则,E,=np=6,D,=np(1-p)=4,n,=18,p,=1/3,77/96,4,随机变量,X,分布列以下：,其中,a,，,b,，,c,成等差数列若,E,(,X,)，则,D,(,X,)值是,_,X,1,0,1,P,a,b,c,78/96,解析：,a,b,c,1.,又2,b,a,c,，,故,b,由,E,(,X,),故,a,D,(,X,),答案：,79/96,对随机变量,X,均值(期望)了解：,(1)均值是算术平均值概念推广，是概率意义上平均；,(2),E,(,X,)是一个实数，由,X,分布列唯一确定，也就是说随,机变量,X,能够取不一样值，而,E,(,X,)是不变，它描述是,X,取值平均状态；,(3),E,(,X,)公式直接给出了,E,(,X,)求法,80/96,(衡阳模拟)一厂家向用户提供一箱产品共10件，其中有,n,件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这么：一次取一件产品检验(取出产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就马上停顿抽检，而且用户拒绝接收这箱产品,(1)若这箱产品被用户接收概率是 ，求,n,值；,(2)在(1)条件下，记抽检产品件数为,X,，求,X,分布列和数学期望,81/96,（1）利用古典概型易求.,（2）X取值为1、2、3，求出分布列代入期望,公式.,82/96,X,概率分布列为：,X,1,2,3,P,83/96,【解】,(1)设“这箱产品被用户接收”为事件,A,，n,2.,(2),X,可能取值为1,2,3.,P(A)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,84/96,例2,(河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家企业招聘面试企业要求面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，不然两人都不签,约设每人面试合格概率都是 ，且面试是否合格互不影响求：,(1)最少有三人面试合格概率；,(2)恰有两人签约概率；,(3)签约人数数学期望,85/96,解：,(1)设“最少有3人面试合格”为事件,A,，,则,P,(,A,),(2)设“恰有2人签约”为事件,B,，,“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件,B,1,；,“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件,B,2,；,则：,B,B,1,B,2,P,(,B,),P,(,B,1,),P,(,B,2,),86/96,(3)设,X,为签约人数,X,分布列以下：,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,87/96,X,0,1,2,3,4,P,88/96,举一反三,1.某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.要求答题次序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，不然中止答题.假设你答对问题A、B概率依次为 、.若你按先A后B次序答题，写出你取得奖金数额分布列及期望值E0,3,9,p,解析：,若按先A后B次序答题，取得奖金数额可取值为0,3(万元)，9（万元）.,P（=0）=,P（=3）=,P（=9）=.分布列为,89/96,题型二 求随机变量方差,【例,3,】编号1，2，3三位学生随意入座编号1，2，3三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同学生人数是X.,（1）求随机变量X概率分布列；,（2）求随机变量X期望与方差.,数学期望为E（）=,90/96,分析,（1）随机变量X意义是对号入座学生个数，全部取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;,（2）直接利用数学期望与方差公式求解.,X,0,1,3,P,解,（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X概率分布列为,(2)E(X)=,D(X)=,91/96,举一反三,2.设在15个同类型零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，而且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品个数.,（1）求X分布列；,（2）求X均值E(X)和方差D(X).,学后反思,求离散型随机变量X方差步骤：,（1）写出X全部取值；,（2）计算P（X=x,i,）;,(3)写出分布列，并求出期望E(X)；,（4）由方差定义求出D(X).,92/96,解析：,(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.,故X分布列为,(2)X均值E(X)和方差D(X)分别为,E(X)=;,D(X)=,X,0,1,2,P,93/96,题型四 期望与方差综合应用,【例4】（广东）随机抽取某厂某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品取得利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品利润（单位：万元）为.,(1)求分布列；,（2）求1件产品平均利润（即数学期望）；,（3）经技术革新后，仍有四个等级产品，但次品率降为1%,一等品率提升为70%,假如此时要求1件产品平均利润大于4.73万元，则三等品率最多是多少？,94/96,分析,求分布列时，要先求取各值时概率.,解,（1）全部可能取值有6,2,1,-21,P(=6)=0.63,.2,P(=2)=0.25,.3,P(=1)=0.1,4,P(=-2)=.5,故分布列为,7,6,2,1,-2,p,0.63,0.25,0.1,0.02,95/96,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34,.9,(3)设技术革新后三等品率为x,则此时1件产品平均利润为,E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01,=4.76-x(0 x0.29).12,依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313,所以三等品率最多为3%.14,学后反思,本题主要考查学生利用知识，迁移知识能力.处理该类实际问题关键是将实际问题化为数学问题，利用已学知识进行处理，这也是今后高考一大热点.,96/96,