5.3数学归纳法证明不等式2-(人教A版选修4-5)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,第四讲 数学归纳法证明不等式,第1页,在数学研究中，人们会碰到这么情 况，对于任意,正整数n,或大于某个数n,0,任意,正整数n,，,都有某种关系成立。,对这类问题证实我们将使用又一个主要数学推理方法-数学归纳法,与正整数相关命题,比如：,1,4+2,7+310+n(3n+1)=n(n+1),2,(,nN+,),n,2,1+nx (x-1,nN,+,).,第2页,n=5,a,5,=25,问题情境一,问题,1,:,大球中有,5,个小球，怎样验证它们都是绿色？,完全归纳,法,不完全归纳法,模 拟 演 示,问题,3,:已知：,1,3=2,1,3,5=,3,1,3,5,7=4,1,+,3,5,7,9=,5,可猜测：,1+35,（1）,n,（2n1）,问题2,：若a,n,=(n,2,-5n+5),2,，,则,a,n,=1。对吗？,1,1,1,1,当,n=1,a,1,=;,n=2,a,2,=;,n=3,a,3,=;,n=4,a,4,=;,（1）,n,n,第3页,问题情境二：数学家费马利用不完全归纳法得出费马猜测事例,猜测：,都是质数,法国数学家费马（Pierre de Fermat）,(161665年)。,十七世纪最卓越数学家之一，,他在数学许多领域中都有极大贡献，,因为他本行是专业律师为了表彰他数学造诣，,世人冠以“业余王子”之美称，,第4页,归纳法：由一系列有限,特殊事例,得出,普通结论,推理方法。,（结论一定可靠，但需逐一查对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发觉问题，形成猜测）,（1）完全归纳法：考查,全体,对象，得到普通结论推理方法。,（2）不完全归纳法,考查,部分,对象,得到普通结论推理方法。,归纳法分为,完全归纳法,和,不完全归纳法。,归纳法,怎样处理不完全归纳法,存在问题呢？,必须寻找一个用,有限,个步骤，就,能处理完,无限,多个对象方法。,第5页,问题情境三,多米诺骨牌,操作试验,第6页,数学归纳法,我们常采取,数学归纳法,来证实：由不完全归纳法得到一些与正整数相关数学命题正确性.,（1）证实当n取第一个值n,0,(比如n,0,=1)时命题成立,（2）假设当n=k(k N,k n,0,)时命题成立,证实当n=k+1时命题也成立。,这种证实方法叫做,数学归纳法,k=2,k+1=2+1=3,k=3,k+1=3+1=4,k=10,k+1=10+1=11,第7页,下面我们来证实前面问题3中猜测正确性,证实:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,当n=1时，式,（,*）,成立,(2)假设当n=k时，式,（,*）,成立，,即,1+35,（,1）,k,（2k1）（1）,k,k,在这个假设下再考虑当n=k+1时，式,（,*）,左右两边,是否成立.,例1、用数学归纳法证实：当nN,+,时，,1,+,3,5,（1）,n,（2n1）（1）,n,n （,*）,第8页,当n=k+1时,等式左边,1+35,（1）,k,（2k1）,（1）,k1,2(k+1)1,（1）,k1,2(k+1)1,（1）,k1,(k+1),右边,所以当n=k+1时等式,（,*）成立。,由（1）（2）可知，,1+35,（1）,n,（2n1）（1）,n,n,利用,假设,凑结论,从n=k到n=k+1有什么改变,（1）,k,k,（1）,k1,k2(k+1)1,第9页,下面框图表示了数学归纳法基本过程：,（1）验证：n=n,0,（n,0,N,+,）,时命题成立。,（2）证实：假设n=k,（kn,0,）时命题成立，,则n=k+1时命题也成立。,对全部n,（n,0,N,+,，nn,0,）命题成立,奠基,假设与递推,第10页,数学归纳法,是一个证实与正整数相关数学命题主要方法。,主要有两个步骤、一个结论:,第一步：验证当n取第一个值n,0,（如 n,0,=1或2等）时结论正确,第二步：,假设n=k(kN,，,且k n,0,)时结论正确，,证实n=k+1时结论也正确,结论：,由（1）、（2）得出结论正确,找准起点,奠基要稳,用上假设,递推才真,写明结论,才算完整,数学归纳法主要步骤:,第11页,例2用数学归纳法证实,144,1,1）,此时n,0,=,_,左_ 右=,_,2假设n=k时命题成立，即,当n=k时，等式左边共有,_,项，,第(k1)项是,_,。,k,(K1)3(k1)1,1(11),2,=4,1,4+2,7+310+n(3n+1)=n(n+1),2,1,4+2,7+310+k(3k+1)=k(k+1),2,第12页,3）当n=k+1时，命题形式是,4）此时，左边增加项是,5)从左到右怎样变形？,1,4+2,7+310+k(3k+1),+(k+1)3(k+1)+1,=(k+1)(k+1)+1,2,(k+1)3(k+1)+1,第13页,证实：,（,1）当n=1时，左边144，右边12,2,4，等式成立。（2）假设 n=k时 命题成立，即,1,4+2,7310+k(3k+1)=k(k+1),2,这就是说，当n=k+1时等式也成立。,依据（1）和（2），可知等式对任何nN,都成立,当n=k+1时,左边=,1,4+2,7+310+k(3k+1),+(k+1)(3(k+1)+1),=k(k+1),2,+(k+1)(3(k+1)+1),=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1,=(k+1)k,2,+4k+4=(k+1)(k+1)+1,2,右边,第14页,练习巩固,1,.用数学归纳法证实：,在验证,n=1,成立时，左边计算所得结果是,2,2.某个命题与正整数,n,相关，假如当 时命题成立，那么可推得当 n=k+1 时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）,A当n=6时该命题不成立 B当n=6时该命题成立,C当n=4时该命题不成立 D当n=4时该命题成立,C,第15页,3.,以下用数学归纳法证实对吗？,证实：当n=1时，左边,右边,等式成立。,假设n=k时等式成立，有,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。,依据可知，对nN,，等式成立,。,第16页,注意:,用上假设,递推才真,第二步证实中没有用到假设，这不是数学归纳法证实,既然不对，怎样更正？,三注意：1、有时,n,0,不一定等于1,2、项数不一定只增加一项。,3、一定要用上假设,分析,第17页,4,.,用数学归纳法证实,122334n(n1),练习巩固从n=k到n=k+1有什么改变,利用,假设,凑结论,证实:,2)假设n=k时命题成立,即,122334k(k+1),1)当n=1时，左边=12=2,右边=2.命题成立,n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当 ，命题正确,。,第18页,明确初始值n,0,，验证真假。（必不可少）,“假设n=k时命题正确”，写出命题形式。,证实“n=k+1时”命题成立。,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式差异，搞清左端应增加项。,注意用上假设，,要作结论,用数学归纳法证实恒等式注意事项：,第19页,数学归纳法,是一个证实与正整数相关数学命题主要方法。,主要有两个步骤、一个结论:,（1）证实当n取第一个值n,0,（如 n,0,=1或2等）时结论正确,（2）假设n=k(kN,，,且k n,0,)时结论正确，,证实n=k+1时结论也正确,由（1）、（2）得出结论正确,归纳小结,第20页,（1）数学归纳法是一个完全归纳法证实方法它适合用于,与正整数相关,问题。,（2）,两个步骤，一个结论缺一不可,，不然结论不能成立。,（3）在证实递推步骤时，必须,使用归纳假设,。,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘记,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,数学归纳法,穷举法,可能错误,怎样防止？,课堂小结,第21页,数学归纳法是一个完全归纳法,，,它是在可靠基础上，利用命题本身含有传递性利用,“有限,”,伎俩，来处理,“无限,”,问题。它克服了完全归纳法繁杂、不可行缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到普通、由有限到无穷,。,数学归纳法关键,思想,课堂小结,第22页,（1）思索题：,问题,1,中,大球中有很多个小球，怎样证实它们都是绿色？,模 拟 演 示,作业,（2）书本作业,P,50,.,习题,4.1,1，2,（3）补充作业,:,用数学归纳法证实：,假如a,n,是一个等差数列，那么a,n,=a,1,+(n-1)d对于一切nN*都成立。,（4）预习书本P,49,例1和例2,第23页,哥德巴赫猜测,德国数学家哥德巴赫经过观察,发觉一个有趣现象：,任何大于5整数,都能够表示为三个质数和.,他猜测这个命题是正确,但他本人无法给予证实.,1742年6月6日,哥德巴赫去讨教当初颇负盛名瑞士数学家欧拉,欧拉经过重复研究,发觉:,问题关键在于证实任意大于2偶数能表示为两个质数和.,于是,欧拉对大于2偶数逐一加以验算,最终欧拉猜测上述结论是正确。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：,“任何大于2偶数都是两个质数和，,即使我还不能证实它，但我确信无疑这是完全正确定理。”,这就是著名哥德巴赫猜测.,第24页,谢谢！,谢谢！,谢谢！,谢谢！,第25页,