第2讲-系统的数学模型2市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,三江学院机械工程学院,第,*,页,控制工程基础,Basis of Control Engineering,任课教师：李建民,电 话：,15345183439,教学方式：讲授为主,学习方式：听课,+,自学,三江学院机械工程学院,第1页,第二章 系统数学模型,教学要求：（教材第二章）,主要内容：,Laplace,变换；,微分方程模型；,系统模型线性化,；传递函数模型、框图和信号流图模型及其化简。,基本要求：,掌握控制模型建立、线性化、化简方法。,预期收获：见教材第,30,页,三江学院机械工程学院,第2页,2.1,引 言,控制,是使,被控对象,按照人们,预定方式,工作,控制目标：,y(t),r(t),控制器,被控对象,预期输出,r(t),实际输出,y(t),比较器,测量装置,误差,e(t),控制量,u(t),被测变量,测量值,控制要求：,快、准、稳,三江学院机械工程学院,第3页,2.1,引 言,比较器：,减法器（负反馈）；加法器（正反馈）,控制器,被控对象,预期输出,r(t),实际输出,y(t),误差,e(t),控制量,u(t),+,-,测量装置：,测量,系统输出,y(t),，,用于反馈。,y(t),e(t)=r(t)-y(t),研究控制系统，要从研究被控对象入手,三江学院机械工程学院,第4页,2.1,引 言,被控对象,:,有什么共同特点？,三江学院机械工程学院,第5页,2.1,引 言,被控对象,:,有什么共同特点？,动,三江学院机械工程学院,第6页,2.1,引 言,数学上怎么来描述,运动,呢？,动者：改变也。,数学上用微分来描述运动,位置,速度,加速度,比如：,三江学院机械工程学院,第7页,2.1,引 言,被控对象,描述：,微分方程（,Maxwell,）,被控,对象,输出,x(t),输入,u(t),微分方程及其解法理论,是整个控制工程理论基础。,三江学院机械工程学院,第8页,2.2,拉普拉斯变换,本讲主要讲课内容：,微分方程解思绪,拉普拉斯变换定义,常见函数拉普拉斯变换,拉普拉斯变换性质,拉普拉斯逆变换,三江学院机械工程学院,第9页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,1.,微分方程解思绪（,Laplace,研究,）,被控,对象,输出,x(t),输入,u(t),匀速运动方程，即,（,1,）,设,x(t),表示位置，则,那么，系统输出,x(t),为：,其中,为常数。,三江学院机械工程学院,第10页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,对于匀速运动：,解：方程两边同时积分,三江学院机械工程学院,第11页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,被控,对象,输出,x(t),输入,u(t),其中，,为常数。则，匀加速运动方程为：,（,2,）,仍设,x(t),表示位置，当,三江学院机械工程学院,第12页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,对于匀加速运动：,解：,方程两边同时积分,对得到方程，再次积分,三江学院机械工程学院,第13页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,一,阶微分方程,（,3,）,我们很轻易得到它解：,三江学院机械工程学院,第14页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,解：结构法,假设,x(0)=1,，令,显然：,x(t),看成是函数,e,t,定义：,三江学院机械工程学院,第15页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,e,t,物理含义是微分方程解，,无理数,e,能够看成是我们这个宇宙本质参数。,三江学院机械工程学院,第16页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,二,阶微分方程,（,4,）,很轻易得到它解：,三江学院机械工程学院,第17页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,那么，采取结构法则非常困难，需要一个求解微分方程普通性解法。,对于求解普通微分方程，如：,.,三江学院机械工程学院,第18页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,解：,显然，对于微分方程同时包含,x(t),及,x(t),微分项时，采取 形式积分，将形成嵌套，,无法正确解出,x(t),。,三江学院机械工程学院,第19页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,显然，问题并非出在积分上，而在于积分,上、下限,上，我们考虑下面积分形式：,三江学院机械工程学院,第20页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,那么，,x(t),是什么呢？,我们更关心上述函数在,0,区间上,积分：,显然，,x(t),是一些连续时间函数，比如：,三江学院机械工程学院,第21页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,解：先看指数函数积分：,显然，对于指数函数而言,x(t),与其积分是一一,映射,三江学院机械工程学院,第22页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,解：再看,不存在,我们目标是建立,x(t),与其积分之间一一,映射,，显然单纯采取 形式，难于到达目标。怎么办？,三江学院机械工程学院,第23页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,Laplace,经过,7,年研究得到重大发觉：,x(t),与其积分 之间是一一映射。而参数,s,作用仅仅是使上述积分收敛。,比如：,三江学院机械工程学院,第24页,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,利用这个发觉，就能解线性微分方程了,解：,三江学院机械工程学院,第25页,函数,f(t),拉氏变换,当,t0,f(t)=0,拉氏积分运算符,复变量,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,2.,拉普拉斯变换定义,三江学院机械工程学院,第26页,单边、,线性,变换、可逆、不追求数学细节，如收敛条件等。,一一映射,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,能够证实：,f(t),和,F(s),将形成一一映射,三江学院机械工程学院,第27页,那么参数,S,是什么？,F(S),又是什么呢？,三江学院机械工程学院,第28页,22,拉普拉斯变换及微分方程解,(1),s,是复变量：,在求取拉普拉斯变换时，,s,唯一作用是使拉普拉斯积分收敛，能够看成常数。,比如：,三江学院机械工程学院,第29页,2,拉普拉斯变换,(2)F(s),是复函数：,比如：,三江学院机械工程学院,第30页,当 时，有,2,拉普拉斯变换,(3)f(t),是实函数，且满足：,三江学院机械工程学院,第31页,2,拉普拉斯变换,补充一个定理：尤拉定理,尤拉定理能够用泰勒展开加以证实,三江学院机械工程学院,第32页,尤拉定理证实,有：,所以：,而：,改写,所以,三江学院机械工程学院,第33页,利用拉普拉斯变换解微分方程思绪,解：,对微分方程每一项进行拉普拉斯变换：,得到关于,X(s),代数方程：,解出,X(s),再进行拉普拉斯逆变换，得到,x(t),三江学院机械工程学院,第34页,3,常见函数拉普拉斯变换,1),指数函数,2),阶跃函数,(,t,),3),斜坡函数,4),正弦函数,5),脉冲函数,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,三江学院机械工程学院,第35页,1),指数函数,3,常见函数拉普拉斯变换,A,0,t,三江学院机械工程学院,第36页,2),阶跃函数,3,常见函数拉普拉斯变换,t,0,A,单位阶跃函数,三江学院机械工程学院,第37页,3,常见函数拉普拉斯变换,t,0,A,能够把阶跃函数看成是,a=0,指数函数,三江学院机械工程学院,第38页,3),斜坡函数,3,常见函数拉普拉斯变换,t,0,At,三江学院机械工程学院,第39页,3),斜坡函数拉普拉斯变换,3,常见函数拉普拉斯变换,(1),把,s,看成常数，则考虑下面函数微分,(2),对上式积分，得,(3),整理，得,三江学院机械工程学院,第40页,4),正弦函数,3,常见函数拉普拉斯变换,t,0,A,三江学院机械工程学院,第41页,4),正弦函数拉普拉斯变换,3,常见函数拉普拉斯变换,关键是利用尤拉定理：,三江学院机械工程学院,第42页,5),脉冲函数,3,常见函数拉普拉斯变换,0,(t),函数不是物理可实现,三江学院机械工程学院,第43页,1)f(t),与 相乘,4,拉普拉斯变换性质,0,衰减正弦函数,衰减余弦函数,三江学院机械工程学院,第44页,4,拉普拉斯变换性质,证实：由,Laplace,变换定义，有,所以：,三江学院机械工程学院,第45页,2),实微分定理,4,拉普拉斯变换性质,一一映射,实,复,三江学院机械工程学院,第46页,函数,f,(t),微分拉普拉斯变换为：,式中,f,(0),是,f,(t),在,t=0,时值。,4,拉普拉斯变换性质,三江学院机械工程学院,第47页,实微分定理证实：,(1),把,s,看成常数，考虑下面函数微分：,4,拉普拉斯变换性质,(2),对上式积分，得：,所以，有,三江学院机械工程学院,第48页,利用拉普拉斯变换解微分方程思绪,解：,对微分方程每一项进行拉普拉斯变换：,得到关于,X(s),代数方程：,解出,X(s),再进行拉普拉斯逆变换，得到,x(t),三江学院机械工程学院,第49页,3),终值定理,若,f(t),拉普拉斯变换为,F(s),而且 存在,，则,4,拉普拉斯变换性质,三江学院机械工程学院,第50页,终值定理证实,(1),由实微分定理，有,(2),把,s,看成常数，并令其趋近于,0,，有,(3),所以，有,三江学院机械工程学院,第51页,例,1,：已知时间函数,f(t),拉普拉斯变换,F(s),为,试求 值,4,拉普拉斯变换性质,三江学院机械工程学院,第52页,4),初值定理,假如,f(t),拉普拉斯变换为,F(s),，,而且 存在，则,4,拉普拉斯变换性质,三江学院机械工程学院,第53页,初值定理证实,(1),由实微分定理，有,(2),把,s,看成常数，并令其趋近于,，有,(3),所以，有,三江学院机械工程学院,第54页,例,2,：已知时间函数,f(t),拉普拉斯变换,F(s),为,试求 值,4,拉普拉斯变换性质,三江学院机械工程学院,第55页,5),复微分定理,4,拉普拉斯变换性质,一一映射,实,复,三江学院机械工程学院,第56页,复微分定理,:,假如,f(t),是能够进行拉普拉斯变换话，则除了在,F(s),极点以外，有,4,拉普拉斯变换性质,式中 。,三江学院机械工程学院,第57页复微分定理证实,:,4,拉普拉斯变换性质,（,2,）上式两边，对,s,求微分，有,（,1,）有拉普拉斯变换，有,:,（,3,）即,三江学院机械工程学院,第58页,复微分定理应用：,4,拉普拉斯变换性质,1,）,2,）,3,）,4,）,三江学院机械工程学院,第59页,例,3,：求下面函数拉普拉斯变换：,4,拉普拉斯变换性质,解法一：,三江学院机械工程学院,第60页,例,3,：求下面函数拉普拉斯变换：,4,拉普拉斯变换性质,解法二,三江学院机械工程学院,第61页,6),卷积积分,（仅要求了解）,以下积分，称为卷积积分,4,拉普拉斯变换性质,则：,三江学院机械工程学院,第62页,对于任何时间连续时间函数来说，它与拉普拉斯变换之间保持唯一对应关系。,2.2,拉普拉斯变换及微分方程解,一一对应,f(t)F(s),三江学院机械工程学院,第63页,5,拉普拉斯反变换,部分分式展开法：,把,F(s),拆解成很多简单项和，而简单项拉普拉斯逆变换轻易得到,三江学院机械工程学院,第64页,5,拉普拉斯反变换,1,）只包含,不一样极点,F(s),部分分式展开,例,4,：求以下函数拉普拉斯反变换,三江学院机械工程学院,第65页,5,拉普拉斯反变换,部分分式展开系数求法：,系数求法一：,对应系数相等,这种方法缺点在于，对于极点较多情况，计算复杂，比如,三江学院机械工程学院,第66页,5,拉普拉斯反变换,部分分式展开系数求法：,系数求法二：,留数展开,1,）两边同时乘以,s,，有,2,）令,s,为,0,，有,三江学院机械工程学院,第67页,5,拉普拉斯反变换,部分分式展开系数求法：,系数求法二：留数展开,3,）两边同时乘以,s+1,，有,4,）令,s=-1,，有,三江学院机械工程学院,第68页,5,拉普拉斯反变换,例,5,：求以下函数反拉普拉斯变换,三江学院机械工程学院,第69页,对于只包含不一样极点,F(s),部分分式展开,5,拉普拉斯反变换,三江学院机械工程学院,第70页,例,6,：求以下函数拉普拉斯反变换,5,拉普拉斯反变换,假如分子阶次大于分母阶次，则能够采取,长除法,进行化简,三江学院机械工程学院,第71页,所以：,5,拉普拉斯反变换,假如实函数,f(t),在物理上是可实现，则其,Laplace,变换,F(s),分子阶次,必小于,分母阶次,三江学院机械工程学院,第72页,例,7,：求以下函数反拉普拉斯变换,5,拉普拉斯反变换,对于特征根为复数情况，利用衰减正弦函数和衰减余弦函数来进行求逆，则更为简单。,三江学院机械工程学院,第73页,解：,5,拉普拉斯反变换,三江学院机械工程学院,第74页,5,拉普拉斯反变换,有：,有,作为对比，大家能够看一下直接求结果,三江学院机械工程学院,第75页,2),包含,多重极点,F(s),部分分式展开,例,8,：求以下函数拉普拉斯反变换,5,拉普拉斯反变换,三江学院机械工程学院,第76页,解：显然有：,5,拉普拉斯反变换,1.(1),式两边同乘以,(s+1),3,，有,2.,对,(2),式，令,s=-1,，有,三江学院机械工程学院,第77页,解：,5,拉普拉斯反变换,3.(2),式两边对,s,求微分，有,4.(3),式，令,s=-1,，有,5.(3),式两边对,s,求微分，有,三江学院机械工程学院,第78页,解：所以,5,拉普拉斯反变换,三江学院机械工程学院,第79页,第二次课 小结,Laplace,变换：,f(t),F(s),f(t),F(s),f(t),F(s),三江学院机械工程学院,第80页,第二次课 作业,一、推导,P38,页表,2.3,前,10,项,二、已知 ，求,F(s),三、已知 ，求,f(t),四、利用,Laplace,变换求解微分方程，,v,a,为常数,三江学院机械工程学院,第81页,