3二重积分的计算(极坐标)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,*三、二重积分换元法,第二节,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分计算,第1页,二 极坐标下二重积分计算,(,一,),极坐标知识回顾,1,定义,:,在平面取一点,O,称为,原点,称为,极轴,.,O,平面上任意点,P,向量,O P,与极轴为夹角为,则点,P,由数组,唯一确定,称数组,是点,P,极坐标,.,P,从原点出发作一条射线,与原点距离为,曲线上点极坐标满足方程称为曲线,极坐标方程,.,第2页,O,例,:,如图半径为,与极轴相切,且圆心与原点连线垂直于极轴,求圆极坐标方程,.,P,对圆上任意一点,设其极坐标为,则三角形,是直角三角形,且,故,故圆极坐标方程为,第3页,O,P,若平面上极坐标系与直角坐标系,关系如图,.,对平面上点,P,设其极坐标与直角坐标,分别是,和,则它们相关系,以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上,2,极坐标与直角坐标关系,第4页,法一,:,依据曲线几何特征及,与,几何含义建立方程,O,P,法二,:,依据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立,圆直角坐标方程为,圆极坐标方程为,如图,圆极坐标方程为,3,曲线极坐标方程求法,第5页,例,如图,P,法一,法二,:,圆直角坐标方程为,故,即,故圆极坐标方程为,例 如图,P,法一,法二,:,圆直角坐标方程为,故圆极坐标方程为,第6页,例 如图,直线,P,法一,法二,:,由直线直角坐标方程为,得,故直线极坐标方程为,第7页,记为,(,二,),极坐标下,型简单区域,定义,:,若区域,D,在极坐标下是由,及,其中,围成,.,则称,D,为极坐标下,型简单区域,特征,若区域,D,取值为,对,从原点出发以,为角做射线与区域边界交点至多两个,:,第8页,为何,引用极坐标计算二重积分,2,1,D,0,y,x,D,1,D,2,D,3,D,4,D,:,.,怎么计算？,需使用,极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把,D,分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,引例,.,其中,D,为,解,:,将,转化为二次积分,D,0,y,x,D,1,D,2,D,3,D,4,分割,D,为,第10页,又如,计算,其中,原函数,不是初等函数,故本题,无法用直角坐标计算,.,因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本题解法见后面,例题8,还可举例,第11页,极坐标系下面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,i,r,i,r,i+,1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i,+,i,I,=,r,i,r,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用,坐标线:,=,常数,；,r,=,常数,分割区域,D,第12页,怎样利用极坐标计算二重积分(1),1.极点不在区域,D,内部,0,A,B,F,E,D,D,:,r,r,第13页,0,A,B,F,E,D,D,:,.,1.极点不在区域,D,内部,r,第14页,0,A,B,F,E,D,D,:,.,步骤：,1,从,D,图形找出,r,上、下限,；,2,化被积函数为极坐标形式；,3,面积元素,d,x,d,y,化为,r,d,r,d,.,1.极点不在区域,D,内部,r,第15页,2.极点位于区域,D,内部,0,D,r,D,:,怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,D,:,D,0,.,2.极点位于区域,D,内部,r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,D,:,.,D,0,步骤：,1,从,D,图形找出,r,上、下限,；,2,化被积函数为极坐标形式；,3,面积元素,d,x,d,y,化为,r,d,r,d,.,2.极点位于区域,D,内部,r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,0,y,x,2,a,.,.,解,例1.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（第一象限部分）,(极点,不在,区域,D,内部),第19页,此题用直角系算麻烦，需使用,极坐标系！,2,1,D,0,y,x,D,:,变换到,极坐标系,.,.,例2.,计算,D,:,=1,和,=2,围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,例,2,续,其中,D,为,计算D,0,y,x,D,1,D,2,D,3,D,4,解,:,在极坐标系下,故,第21页,2,R,区域,边界：,x,=0,.,0,y,x,即,r=2R,sin,r=2R,sin,例3.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,0,y,x,1,2,y=x,D,.,.,例4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,0,y,x,4,r,=4 cos,r,=8 cos,8,D,1,2,例5.,计算,y,=2,x,x,=,y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,0,y,x,r,=8 cos,D,4,8,.,r,=4 cos,2,1,例5.,.,计算,I,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,例6,计算,其中,D,为由圆,所围成,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,例7.,将积分化为,极坐标形式,y,=,R x,D,1,D,2,.,.,R,0,y,x,D,.,.,.,arctan,R,.,I,=,I,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,r=R,第27页,若,f,1,则可求得,D,面积,思索:,以下各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,改变范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(极点位于区域,D,内部),第28页,例,:,判断以下区域是否是简单,区域,若是请表示出来,.,第29页,例8.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.,因为,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,注,:,利用,例8,可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用,反常,积分公式,实际上,当,D,为,R,2,时,利用,例8,结果,得,故,式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,例9,.,求球体,被圆柱面,所截得(含在柱面内)立体,体积,.,解:,设,由,对称性,可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,惯用,D,到,D,转换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标下二次积分注释,第33页,作业,P138-139 2,;,3,;,4,(2),(4),;,5,(2),(4),;,6,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,第34页,定积分换元法,三,*,、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第35页,证:,依据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,经过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第37页,所以面积元素关系为,从而得二重积分换元公式:,比如,直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第38页,例21.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成闭域.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第39页,例22.,计算由,所围成闭区域,D,面积,S,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第40页,例23.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,原象为,体积,V,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第41页,内容小结,(1),二重积分化为累次积分方法,直角坐标系情形若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第42页,则,(2),普通换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第43页,(3),计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽可能多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第44页,思索与练习,1.,设,且,求,提醒:,交换积分次序后,x,y,交换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第45页,2.,交换积分次序,提醒,:,积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第46页,解：,原式,备用题,1.,给定,改变积分次序,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第47页,2.,计算,其中,D,为由圆,所围成,及直线,解：,平面闭区域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第48页,2,-1,1,D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D,1,D,2,第49页,思索：,-1,-1,1,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第50页,