1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,直线方向向量,与平面法向量,1/24,研究,从今天开始,我们将深入来体会向量这一工具在立体几何中应用,.,2/24,为了用向量来研究空间线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面,“,方向,”,。那么怎样用向量来刻画直线和平面,“,方向,”,呢？,一、直线方向向量,A,B,直线,l,上向量 以及与 共线向量叫做直线,l,方向向量,。,3/24,因为垂直于同一平面直线是相互平行,所以，能够用垂直于平面直线方
2、向向量来刻画平面“方向”。,二、平面法向量,平面法向量：,假如表示向量,有向线段所在直线垂直于平面,，则称这个向量垂直于平面,记作,，假如,，那 么 向 量,叫做,平面,法向量,.,A,l,给定一点,A,和一个向量,那么过点,A,以向量 为法向量平面是完全确定,.,几点注意：,1.,法向量一定是非零向量,;,2.,一个平面全部法向量都相互平行,;,3.,向量 是平面法向量，向量 是,与平面平行或在平面内，则有,4/24,5/24,由两个三元一次方程组成方程组解是不惟一，为方便起见，取,z=1,较合理。其实平面法向量不是惟一。,6/24,平面法向量不惟一，合理取值即可。,7/24,例,3.,在空
3、间直角坐标系内，设平面 经过,点 ，平面 法向量为 ，,为平面 内任意一点，求,满足关系式。,解：由题意可得,8/24,因为方向向量与法向量能够确定直线和平面位置，所以我们应该能够利用直线方向向量与平面法向量表示空间直线、平面间,平行、垂直、夹角,等位置关系,.,那么怎样用直线方向向量表示空间两直线平行、垂直位置关系以及它们之间夹角呢？怎样用平面法向量表示空间两平面平行、垂直位置关系以及它们二面角大小呢？,9/24,三、平行关系：,10/24,例,4,如图，已知矩形,和矩形,所在平面相互垂直，点,分别在对角线,上，且,求证：,A,B,C,D,E,F,x,y,z,M,N,简证：因为矩形,ABCD
4、和矩形,ADEF,所在平面相互垂直，所以,AB,，,AD,，,AF,相互垂直。以 为正交基底，建立如图所表示空间坐标系，,设,AB,AD,AF,长分别为,3,a,，,3,b,，,3,c,，,则可得各点坐标，从而有,又平面,CDE,一个法向量是,因为,MN,不在平面,CDE,内,所以,MN,/,平面,CDE,11/24,四、垂直关系：,12/24,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,CD,中点，求证：,D,1,F,例,5.,在正方体,中，,E,、,F,分别是,BB,1,，,平面,ADE,证实：设正方体棱长为,1,，为单位正交,基底，建立如图所表示坐标系,D,-,
5、xyz,，,则可得：,所以,13/24,巩固性训练,1,1.,设 分别是直线,l,1,l,2,方向向量,依据下,列条件,判断,l,1,l,2,位置关系,.,平行,垂直,平行,14/24,巩固性训练,2,1.,设 分别是平面,法向量,依据,以下条件,判断,位置关系,.,垂直,平行,相交,15/24,1,、设平面 法向量为,(1,2,-2),平面 法向量为,(-2,-4,k),若 ，则,k=,；若 则,k=,。,2,、已知 ，且 方向向量为,(2,m,1),，平面法向量为,(1,1/2,2),则,m=,.,3,、若 方向向量为,(2,1,m),平面 法向量为,(1,1/2,2),且 ，则,m=,.,巩固性训练,3,16/24,1,如图，正方体 中，,E,为 中点，,证实：,/,平面,AEC,练习,:,用空间向量来处理以下题目,2,、在正方体,AC,中，,E,、,F,、,G,、,P,、,Q,、,R,分别是所在棱,AB,、,BC,、,BB,A,D,、,D,C,、,DD,中点，,求证：,平面,PQR,平面,EFG,。,B,D,平面,EFG,A,B,C,D,A,B,C,D,F,Q,E,G,R,P,17/24,l,1,l,2,18/24,l,1,19/24,20/24,l,1,l,2,21/24,l,22/24,23/24,；,
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