1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,三维热传导方程,热传导问题三类边界条件,Laplace,方程与,Laplace,算子,微分方程,(,化简,),分类方法,数理方程3,第1页,高斯公式(曲面积分与三重积分联络),取,P=u,x,Q=u,y,R=u,z,则,P,x,=u,xx,Q,y,=u,yy,R,z,=u,zz,第2页,其中,k,是导热系数,u,(,x,y,z,t,),是导热体中温度,付里叶热传导定律,:,在,d,t,时段内,经过面积元,d,s,流入体积元,热量,d,Q,与沿面积元外法线方向,温度改变率,成正比,也与,d
2、s,和,d,t,成正比,经过曲面进入导热体总热量:,其中:,第3页,经过曲面进入导热体总热量,:,温度升高所需热量,:,Q,1,=,Q,2,记,a,2,=,k,/(,c,),第4页,一维热传导方程,:,u,t,=a,2,u,xx,二维热传导方程,:,u,t,=a,2,u,xx,+u,yy,三维热传导方程,:,u,t,=a,2,u,xx,+u,yy,+u,zz,热传导方程初边值问题,(,第一类边界条件,),u=u,(,x,y,z,t,),u=u,(,x,y,t,),u=u,(,x,t,),第5页,初始条件,:,u,(,x,y,z,0)=,(,x,y,z,),u,t,=a,2,u,xx,+u,y
3、y,+u,zz,II.,第二类边界条件,:,III.,第三类边界条件,:,I.,第一类边界条件,:,(,已知边界,温度,),(,边界上有,热流,进入,),(,边界上有,热交换,),第6页,L,长细杆边界上有,热流进、出,u,(,x,t,),L,O,1,.,在,x=L,处有热流,q,流出,u,x,|,x=L,=q,/,k,2,.,在,x=L,处有热流,q,流入,u,x,|,x=L,=q,/,k,3,.,在,x=,0,处有热流,q,流出,u,x,|,x=L,=q,/,k,4,.,在,x=,0,处有热流,q,流入,u,x,|,x=L,=q,/,k,这里 为沿热流方向方向导数,边界上有,热交换,第7页
4、拉普拉斯,方程与,拉普拉斯,算子,三维热传导方程,:,u,t,=a,2,u,xx,+u,yy,+u,zz,热传导问题中,假如物体内部没有热源,物体外围温度不随时间改变,经过相当长时间以后,物体内部温度将不再改变,趋于稳定状态。,u,t,=,0,u,xx,+u,yy,+u,zz,=0(Laplace,方程,),记,(Laplace,算子,),则有,第8页,正方形区域上第一边值问题,准确解,:,O,1,x,1,y,第9页,方程通解举例,(,未知函数为二元函数,),u,(,x,y,)=,f,(,y,),u,(,x,y,)=,g,(,x,),u,(,x,t,)=,f,(,x at,),1.,2.,4
5、u,(,x,y,)=,f,(,x,)+,g,(,y,),3.,验证,:,第10页,u,(,x,t,)=,g,(,x+at,),5.,6.,u,(,x,t,)=,f,(,x at,)+,g,(,x+at,),第11页,二阶线性偏微分方程,(,两个自变量,),分类,经过自变量非奇异变换简化,主部,，进而分类求解,。,主部,二次曲线分类回顾:,a,11,x,2,+,2,a,12,x,y+a,22,y,2,+,b,1,x+b,2,y+,C,=0,0,椭圆,0,称微分方程为双曲型,3.,若,a,12,2,a,11,a,22,0,称微分方程为椭圆型,2.,若,a,12,2,a,11,a,22,=,0,称微分方程为抛物型,称,a,12,2,a,11,a,22,为判别式,a,11,u,xx,+2,a,12,u,xy,+a,22,u,yy,+,b,1,u,x,+,b,2,u,y,+,cu=f,二阶偏微分方程分类,u,xx,+u,yy,=,0,u,tt,=a,2,u,xx,u,t,=a,2,u,xx,双曲型,抛物型,椭圆型,第13页,习题,2.2（P.26）1、4,思索题,曲线微元ds和曲面微元ds有何区分？,付里叶热传导定律中温度改变率有哪些表现形式,？,对比二阶方程分类与二次曲线分类方法,可逆线性变换应该含有什么条件？,第14页,
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