二项式定理通项公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二.通项公式,第1页,二项式定理复习,1.,二项展开式：,第2页,这个公式叫做二项式定理,等号后面式子叫做(a+b),n,二项展开式,其中 C,n,k,(k=0,1,2,n)叫做二项式系数。,二项展开式中第k+1项为C,n,k,a,n-k,b,k,叫做二项展开式通项,通项公式:T,K+1,=C,n,k,a,n-k,b,k,第3页,2.二项展开式特点,(1)项数：展开式有共n+1项(2)系数：都是组合数，依次为C,n,0,C,n,1,，C,n,2,，C,n,3,，C,n,n,(3)指数特点：1)a指数 由n 0 (降幂),2)b指数由0 n (升幂)3)a和b指数和为n,第4页,3.,二项式定理几个变式：,(a-b),n,(1+x),n,=1+C,n,1,x+C,n,2,x,2,+C,n,k,x,k,+C,n,n,x,n,第5页,4.扬辉三角：,1,1,表中每行两端都是1，而且除1以外每一个数都等于它肩上两数和.,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 2 1,1,第6页,通项公式应用:T,k+1,=C,n,k,a,n-k,b,k,一利用二项式定理和展开式通项公式能够求一些特殊项，如含某个幂项、常数项、有理项、最大项等问题。在这里要分清,二项展开式中各项“二项式系数”与“系数”区分，这是两个不一样概念，“二项式系数”仅指C,n,0,、C,n,1,、C,n,r,C,n,n,这些组合数而言，不包含字母a、b所表示式子中系数。,通项C,n,k,a,n-k,b,k,是展开式中第k+1项，而不是第k项。,第7页,解:在(1-2x),7,展开式中,第四项为,T,4,=C,7,3,(-2x),3,=-280 x,3,第四项二项式系数是C,7,3,=35；,第四项系数是C,7,3,(-2),3,=-280.,例1：求(1-2x),7,展开式中,第四项二项式系数和第四项系数。,注意某项,二项式系数和,项,系数区分。,第8页,注意：,展开式中第 r+1 项二项式系数 与第 r+1项系数不一样。,.,依据题意，得 9 2r=3,r=3,注意：,展开式中第 r+1 项二项式系数 与第 r+1项系数不一样。,注意：,展开式中第 r+1 项二项式系数 与第 r+1项系数不一样。,第9页,在实际应用过程中，这个公式很有作用，我们,能够用这个展开式来求一些复杂数近似值。,依据准确度要求，从第三项起各项都能够省去，所以,第10页,例4：,在二项式 展开中式，,前三项系数成等差数列，求展开式中所 有有理项。,分析：本例是经典特定项问题，包括到前三项和有理项，能够用通项公式来处理。,第11页,例4：在二项式 展开中式，前三项系数成等差数列，求展开式中全部有理项。,解：二项展开式通项公式是:,前三项r=0,1,2，,得系数为:t,1,=1,t,2,=,t,3,=,由已知得:t,1,+t,3,=2t,2,1+得n=8.,通项公式:k=0,1,2,8,T,K+1,为有理项，16-3k是4倍数，k=0,4,8,有理项有三项，依次为:T,1,=x,4,T,5,=35x/8,T,9,=1/256x,2,第12页,例5.,已知(),n,(nN),展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。(1)求展开式各项系数和；(2)求展开式中含x 项。(3)求展开式中系数最大项和系数最小项。,x,x,2,2,2,3,第13页,例5.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。(1)求展开,x,x,2,2,2,3,式各项系数和；(2)求展开式中含 x 项。(3)求展开式中系数最大项和系数最小项。,分析：,要灵活、正确应用二项展开式 通项公式。(1)先依据通项公式得到第五项与第三项 系数，再由已知条件求出n值。由“赋值法”求各项系数和。,第14页,例5.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。(1)求展开,x,x,2,2,2,3,式各项系数和；(2)求展开式中含 x 项。(3)求展开式中系数最大项和系数最小项。,(2)依据通项公式先出求含x 项是展开式中第几项，然后把它代入通项公式。,(3)这个二项展开式在奇数项系数是正，偶数项系是负，所以只须考虑系数绝对值最大。,2,3,第15页,例5.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。(1)求展开式各项系数和,x,x,2,2,解：,(),n,展开式中通项为,x,x,2,2,T,k+1,=C,n,k,(),nk,(),k,=(2),k,C,n,k,(),n5k,x,x,2,2,x,T,5,=T,4+1,=2,4,C,n,4,x,2,n,10,T,3,=T,2+1,=2,2,C,n,2,x,2,n,5,第五项系数与第三项系数分别为,2,4C,n,4,、2,2,C,n,2,;,第16页,例5.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。(1)求展开式各项系数和,x,x,2,2,由题意得：2,4,C,n,4,2,2,C,n,2,=101,n,2,5n24=0；,解得 n=8 或 n=3(舍)。,令x=1，代入,(),8,x,x,2,2,令x=1,得(1-2),8,=1,所以各项系数和为1。,第17页,例5.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。,x,x,2,2,2,3,(2)求展开式中含 x 项。,解：,展开式通项为：,2,85k,T,k+1,=(2),k,c,8,k,x,则条件 =，解得k=1,2,85k,2,3,展开式中含x 项为,T,2,=(2),1,C,8,1,x =16 x 。,2,3,2,3,2,3,第18页,例5.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。,x,x,2,2,(3)求展开式中系数最大项和系数最小项。,解：,展开式中第r项、第r+1项、第r+2项系数绝对值分别为C,8,r-1,2,r-1,、C,8,r,2,r,、C,8,r+1,2,r+1,若第r+1项系数绝对值最大，则有,C,8,r1,2,r1,C,8,r,2,r,C,8,r,2,r,C,8,r+1,2,r+1,解得 5r6，,第19页,例4.,已知(),n,(nN)展开式中第五项系数与第三项系数比为10:1。,x,x,2,2,(3)求展开式中系数最大项和系数最小项。,即系数绝对值最大为第6或7项，因为 第6项为负、第7项为正，,所以，展开式中系数最大项是：,系数最小项是T,6,=1792 。,T,7,=1792 ；,x,11,1,x,9,x,第20页,例6,:(1)求(1-x),3,(1+x),10,展开式中x,5,系数；,(2)求(x+2),6,展开式中常数项,分析：本题两小题都不是二项式展开，但能够转化为二项式展开问题，,（1）能够视为两个二项展开式相乘；,（2）能够经过代数式变形转化为二项式,第21页,解：（1）(1-x),3,(1+x),10,展开式中x,5,能够看成以下几个方式得到，然后合并同类项：,用(1-x),3,展开式中常数项乘以(1+x),10,展开式中x,5,项，能够得到C,10,5,x,5,；,用(1-x),3,展开式中一次项乘以(1+x),10,展开式中x,4,项可得到(-3x)(C,10,4,x,4,)=-3C,10,4,x,5,；,用(1-x),3,展开式中x,2,乘以(1+x),10,展开式中x,3,项可得到3x,2,(C,10,3,x,3,)=3C,10,3,x,5,；,用(1-x),3,展开式中x,3,乘以(1+x),10,展开式中x,2,项可得到(-x,3,)(C,10,2,x,2,)=-C,10,2x,5,；,得x,5,项为:(C,10,5,-3C,10,4,+3C,10,3,-C,10,2,)x,5,=-63x,5,第22页,(2)求(x+2),6,展开式中常数项,解：,通项公式：T,r+1,=,当r=6时，得常数项为：T,7,=C,12,6,=924,第23页,分析：(1+x-x,2,),6,不是二项式，,经过1+x-x,2,=(1+x)-x,2,或1+(x-x,2,)把它看成二项式展开,解：方法一：(1+x-x,2,),6,=(1+x)-x,2,6,=(1+x),6,-6(1+x),5,x,2,+15(1+x),4,x,4,-其中含x,5,项为：,含x,5,项系数为6,例5,：求1+x-x,2,),6,展开式中x,5,系数,第24页,方法二：(1+x-x,2,),6,=1+(x-x,2,),6,=1+6(x-x,2,)+15(x-x,2,),2,+20(x-x,2,),3,+15(x-x,2,),4,+6(x-x,2,),5,+(x-x,2,),6,其中含x,5,项为:6x,5,x,5,项系数为6,第25页,方法3：本题还可经过把(1+x-x,2,),6,看成6个1+x-x,2,相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积一项，x,5,项可由以下几个可能得到,5个因式中取,x,，一个取1得到,3个因式中取x，一个取-x,2,，二个取1得到,1个因式中取x，二个取-x,2,，三个取1得到;,合并同类项为:,x,5,项系数为6,第26页,