三偏微分方程的数值离散方法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,（三）偏微分方程数值离散方法,3.1 有限差分法,3.2 有限体积法,(有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）,1,第1页,3.1,有限差分法,3.1.1 模型方程差分迫近,3.1.2 差分格式结构,3.1.3 差分方程修正方程,3.1.4 差分方法理论基础,3.1.5 守恒型差分格式,3.1.6 偏微分方程全离散方法,2,第2页,3.1.1 模型方程差分迫近,3,第3页,3.1.2 差分格式结构,4,第4页,3.1.3,差分方程修正方程,差分方程所准确迫近微分方程称为修正方程,对于时间发展方程，利用展开方程逐步消去带时间高阶导数，只留空间导数。,Warming-Hyett,方法：,差分方程,(2),写成算子形式：,5,第5页,3.1.3,差分方程修正方程,(,续,),6,第6页,3.1.3,差分方程修正方程,(,续,),7,第7页,3.1.4 差分方法理论基础,相容性，稳定性，收敛性,等价性定理,Fourier,稳定性分析,8,第8页,3.1.4,差分方法理论基础（续）,Fourier(Von Neumann)稳定性分析,9,第9页,3.1.4,差分方法理论基础（续）,Fourier(Von Neumann)稳定性分（续）,称为CFL条件 (CourantFriedrichs,Levy),10,第10页,3.1.5 守恒型差分格式,流体力学方程组描述物理量守恒性；守恒律组：,定义,11,第11页,3.1.5 守恒型差分格式（续）,守恒性质：,非守恒差分格式普通没有对应于原始守恒律“离散守恒律”。,12,第12页,3.1.5 守恒型差分格式（续）,守恒型差分格式,Lax-Wendroff,定理：,假如守恒型差分格式,是和守恒律,相容，且当初间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微函数，则这个收敛函数就是守恒律一个弱解。,推论：守恒型差分各式收敛解能自动满足间断关系。,用途,:(,加上熵条件）能够得到正确激波，研究中大量使用,比如：,Lax-Friedrichs,格式，,Lax-Wendroff,格式，,Mac Cormack,格式,13,第13页,3.1.6 偏微分方程全离散方法,对差分格式普通要求：,有精度、格式稳定、求解效率高,特殊要求,物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性,(,正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等,),主要指非定常方程时间离散,14,第14页,3.1.6,偏微分方程全离散方法,(,续）,两层格式,Crank-Nicolson,格式、,P-C,格式、,Lax-Wendroff,格式、,MacCormack,格式,Runge-Kutta,方法,时空全守恒：如,Godunov,格式、,central-upwind,格式、,CESE,方法,多层格式,Leap-Frog,格式、,Adams-Bashforth,格式、后三点隐格式,15,第15页,3.1.6.1,两层格式,Crank-Nicolson,格式,Predictor-Corrector,格式,Lax-Wendroff,格式,Mac Cormack,格式,Runge-Kutta,方法,16,第16页,3.1.6.1,两层格式,(cont.,）,Lax-Wendroff,格式,一步,LW,格式,17,第17页,3.1.6.1,两层格式,(cont.,）,Lax-Wendroff,格式,两步LW,格式,常系数,Jacobian,时与单步,LW,等价。但计算更简单，不包括矩阵相乘。,18,第18页,3.1.6.1,两层格式,(cont.,）,Mac Cormack,格式,(1969),两步格式,比,LW,更简单，不需要计算函数在半点上值。,LW,两步格式和,MC,各式缺点：定常解误差依赖于时间步长。,19,第19页,Mac Cormack格式结构,20,第20页,3.1.6.2,三层,格式,Leap-Frog,格式,Adams-Bashforth,格式,21,第21页,第二课后阅读提醒,傅德薰,计算流体力学,，,3.1 3.3,水鸿寿,一维流体力学数值方法,3.1,Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.6,22,第22页,作业2,1.,用,Fourier,法分析,3.1.6.1,节中,Crank-Nicolson,格式稳定性。,2.,分析前面,3.1.6,节中,Mac Cormack,格式是几阶精度。,23,第23页,3.2有限体积法,出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）,以控制体为离散量,计算体积分和面积分需要适当插值公式和积分公式(quadrature formula),适合用于任意形状网格，复杂几何形状,缺点：难以结构大于二阶以上格式,24,第24页,3.2.1 定常守恒型方程和控制体,25,第25页,3.2.2 面积分迫近,面积分用积分点值表示,(quadrature),积分点值用,CV,值表示,(interpolation),对于,Simpson,公式,对积分点插值需要四阶精度,26,第26页,3.2.4 体积分迫近,当被积函数为某种型函数时，能够得到准确积分，迫近精度取决于型函数精度。,27,第27页,3.2.4 体积分迫近,四阶精度：,2D,直角坐标网格,最终一式能够四阶精度迫近,3D,面积分,28,第28页,3.2.5 插值和微分,积分点函数值和其法向梯度,1st UDS:取上风点值,29,第29页,插值,2nd order:向积分点线性插值,等价于中心差分(CDS),30,第30页,插值,当积分点函数是线性插值时,Second order,31,第31页,插值,QUICK(quadratic upwind interpolation for convective kinematics),插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。,32,第32页,插值,高精度：,N阶精度quadrture需要N-1阶多项式插值公式。,界面上导数能够用插值公式微分求出。,33,第33页,3.2.5有限体积法边界条件,用边界条件替换面积分,入口：通常给定对流通量,(mass,momentum,energy,etc.),壁面和对称面：通量为零,边界上函数值给定：和内部,CV,值共同构建边界上导数,34,第34页,FV例子,35,第35页,3.2.6,守恒律有限体积方法,Godunov,格式,36,第36页,37,第37页,3.2.6.1 Godunov方法思想,38,第38页,一阶迎格调式(CIR格式),39,第39页,用,Godunov,思想说明,CIR,格式,=Godunov,格式,40,第40页,41,第41页,Riemann解图示,42,第42页,43,第43页,3.2.6.1 1D Euler,方程组,Godunov,格式,Godunov,格式是基于积分形式方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上间断关系,44,第44页,移动网格上积分回路,45,第45页,移动网格上,Godunov,格式,46,第46页,固定网格上,Godunov,格式,47,第47页,Lagrange,网格上,Godunov,格式,48,第48页,Euler,方程组,Riemann,问题解理想气体,5,种解,49,第49页,50,第50页,二维,Euler,方程组,Riemann,问题,51,第51页,52,第52页,仅是局部化1D RP,53,第53页,第,3,课后阅读提醒,傅德薰,计算流体力学,，,6.3,水鸿寿,一维流体力学数值方法,Godnov,格式一节,Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.4,54,第54页,作业3,傅,书,习题,3-13.,傅,书,习题,3-12.,55,第55页,