常微分方程总复习市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程总复习,第1页,内容总结,绪论,一阶常微分方程初等解法,一阶常微分方程初值问题解基本理论,高阶线性方程,一阶线性微分方程组,非线性微分方程（稳定性）,第2页,绪论,内容总结,微分方程、常微分方程、初值问题（Cauchy问题）、方程解、通解、特解、积分曲线、线素、线素场、微分方程和解几何意义，几个常见微分方程模型。,第3页,基本要求,1、熟练掌握微分方程全部基本概念；2、会针对一些简单背景建立微分方程模型并求解。,第4页,一阶常微分方程初等解法,内容总结,变量可分离方程、齐次方程、齐次扩展类型、一阶线性方程、Bernoulli方程、恰当方程、积分因子、一阶隐方程（四种可解类型）、变量代换。,基本要求,1、熟练掌握全部基本可解类型（必考）；2、会使用一阶线性方程通解公式证实相关结论；3、会解简单积分方程.,第5页,一阶常微分方程初值问题解基本理论,内容总结,一阶初值问题存在及唯一性定理、解延拓定理、解对初值连续依赖性定理（连续性定理）、解对初值可微性定理.,基本要求,1、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握Picard逐次迫近法基本过程（五个命题）。,第6页,2、掌握解延拓定理（会完整叙述，搞清不一样区域形态下延拓最终情况）；3、会阐述解对初值连续依赖性定理和连续性定理；4、会阐述解对初值可微性定理，会写出解对初值偏导数公式.,第7页,高阶线性微分方程,内容总结,n阶线性微分方程形态、齐次方程、非齐次方程,齐次方程解叠加性、函数线性相关性、Wronsky行列式（W行列式判定函数相关性）、齐线性方程基本解组和通解结构.,非齐次线性方程解叠加原理、非齐方程通解结构解、常数变易法,复值函数定义、分析性质、运算法则；复指函数定义性质、Euler公式,第8页,常系数线性方程基本解组求法（尤其主要）,Euler方程,常系数非齐次线性方程求解、两种特殊非齐次项、待定系数法和复值函数法,几个特殊高阶方程降阶、二阶线性方程降阶（重点）,二阶线性方程幂级数解法（了解）,第9页,基本要求,熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程通解结构,熟练掌握常系数齐线性方程求解（包含Euler方程）,熟练掌握含有特殊类型非齐次项非齐次线性方程求解（待定系数法、复值函数法）,熟练掌握二阶线性方程降价公式（得到一个非零解前提下求出另一个线性无关解）,幂级数解法（了解即可）,第10页,一阶线性微分方程组,内容总结,一阶线性微分方程组形态，矩阵表示，高阶线性方程转化为等价线性方程组,齐线性方程组通解结构，基解矩阵，通解表示，基解矩阵相关性质,非齐线性方程组通解结构，常数变异公式，通解公式，特解公式,矩阵指数，矩阵指数性质,常系数齐线性方程组基解矩阵计算（重点）,第11页,常系数非齐次线性方程组求解,基本要求,熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程通解结构,熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵求解（重点）,熟练掌握较简单常系数非齐次线性方程求解,第12页,试卷结构,填空题20分1、基本概念；2、基本结论,计算题5060分各种类型微分方程求解（79题）,应用题10分左右常微分方程建模并求解,证实题10分左右,第13页,微分方程复习,第14页,1、基本概念,微分方程,凡含有未知函数导数或微分方程叫微分方程,微分方程阶,微分方程中出现未知函数最,高阶导数阶数称为微分方程阶,微分方程解,代入微分方程能使方程成为恒等式函数称为微分方程解,第15页,1、基本概念,线性微分方程：,当微分方程中所含未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程,在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数系数全是常数，则称这么微分方程为,常系数线性微分方程,第16页,通解,假如,微分方程解中含有任意常数，而且任意常数个数与微分方程阶数相同，这么解叫做微分方程通解,特解,确定了通解中任意常数以后得到解，叫做微分方程特解,初始条件,用来确定任意常数条件.,初值问题,求微分方程满足初始条件解问题，叫初值问题,1、基本概念,第17页,(1)可分离变量微分方程,2、一阶微分方程解法,第18页,第19页,第20页,2、一阶微分方程解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,第21页,齐次方程,（其中h和k是待定常数）,不然为非齐次方程,(3)可化为齐次方程,解法,化为齐次方程,2、一阶微分方程解法,第22页,(4)一阶线性微分方程,方程称为齐次,方程称为非齐次.,齐次方程通解为,1、,2、一阶微分方程解法,2、非齐次微分方程通解为,第23页,第24页,(5)伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,2、一阶微分方程解法,解法,经过变量代换化为线性微分方程,第25页,例3,第26页,3、可降阶高阶微分方程解法,解法,型,接连积分n次，得通解,第27页,3、可降阶高阶微分方程解法,特点,型,解法,代入原方程,得,第28页,3、可降阶高阶微分方程解法,第29页,3、可降阶高阶微分方程解法,第30页,特点,型,解法,3、可降阶高阶微分方程解法,第31页,例6,解,代入方程，得,故方程通解为,3、可降阶高阶微分方程解法,第32页,（1）二阶齐次方程解结构:,4.线性微分方程解结构,第33页,（2）二阶非齐次线性方程解结构,第34页,例7,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,第35页,（）原方程为,由解结构定理得方程通解为,第36页,、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程特征方程根确定其通解方法称为特征方程法.,第37页,特征方程为,、二阶常系数齐次线性方程解法,第38页,特征方程为,特征方程根通解中对应项,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,、二阶常系数齐次线性方程解法,第39页,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法.,第40页,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,第41页,二、经典例题,例1,解,原方程可化为,第42页,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,二、经典例题,第43页,例2,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解为,设原方程特解为,二、经典例题,第44页,原方程一个特解为,故原方程通解为,二、经典例题,第45页,由,解得,所以原方程满足初始条件特解为,二、经典例题,第46页,例3,解,特征方程,特征根,对应齐方通解为,设原方程特解为,二、经典例题,第47页,由,解得,二、经典例题,第48页,故原方程通解为,由,即,二、经典例题,第49页,解,例4,则由牛顿第二定律得,二、经典例题,第50页,解此方程得,代入上式得,二、经典例题,第51页,测 验 题,第52页,测 验 题,第53页,测 验 题,第54页,测 验 题,第55页,测 验 题,第56页,测 验 题,第57页,测 验 题,第58页,测 验 题,第59页,测验题答案,第60页,测验题答案,第61页,