1、单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第四节,隐函数微分法,第1页,一、一个方程所确定隐函数及其导数,定理,1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证实从略，,仅就求导公式推导以下：,含有连续偏导数,;,某邻域内,可唯一确定一个,在点,某一邻域内满足,满足条件,导数,第2页,两边对,x,求导,在,某邻域内,则,第3页,若,F,(,x,y,),二阶偏导数也都连续,二阶导数,:,则还可求隐函数,第4页,例,1,.,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可
2、导隐函数,解,:,令,连续,;,由 定理,1,可知,导隐函数,则,在,x=,0,某邻域内方程存在单值可,且,并求,第5页,第6页,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,=0,注意此时,导数另一求法,利用隐函数求导,第7页,定理,2.,若函数,某邻域内含有,连续偏导数,;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),定理证实从略,仅就求导公式推导以下,:,满足,在点,满足,:,某一邻域内可唯一确,第8页,两边对,x,求偏导,一样可得,则,第9页,例,2,.,设,解法,1,利用隐函数求导,再对,x,求导,第10页,解法,2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导
3、第11页,例,3.,设,F,(,x,y,),含有连续偏导数,解法,1,利用偏导数公式,.,确定隐函数,则,已知方程,故,第12页,对方程两边求微分,:,解法,2,微分法,.,第13页,二、方程组所确定隐函数组及其导数,隐函数存在定理还能够推广到方程组情形,.,由,F,、,G,偏导数组成行列式,称为,F,、,G,雅可比 行列式,.,以两个方程确定两个隐函数情况为例,即,雅可比,第14页,定理,3.,某一邻域内含有连续偏,设函数,则方程组,单值连续函数,且有偏导数公式,:,在点,某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,满足,:,导数；,第15页,定理证实略,.,仅推导偏导数公式以下：,第16页,有隐函数组,则,两边对,x,求导得,设方程组,在点,P,某邻域内,解公式,故得,系数行列式,第17页,一样可得,第18页,例,4.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,由题设,故有,第19页,练习,设,求,第20页,提醒,:,第21页,习题,分别由以下两式确定,:,又函数,有连续一阶偏导数,1.,设,解,:,两个隐函数方程两边对,x,求导,得,解得,所以,第22页,2.,设,是由方程,和,所确定函数,求,解法,1,分别在各方程两端对,x,求导,得,第23页,
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