华中科技大学数理方程——格林函数法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

HUST 数学物理方程与特殊函数,第4章格林函数法,第四章 格林函数法,分离变量法主要适合用于求解各种有界问题，而,傅立叶变换法则主要适合用于求解各种无界问题，,这两种方法所得到解普通分别为无穷级数和,无穷积分形式。格林函数法给出解则是有,限积分形式，十分便于理论分析和研究。,第1页,格林函数又称为,点源函数,或,影响函数,。顾名思,义，它表示一个点源在一定边界条件和(或)初值条,件下所产生场或影响。因为任意分布源所产生,场均可看成许许多多点源产生场叠加，所以格林,函数一旦求出，就可算出任意源场。格林函数法以,统一方式处理各类数学物理方程，既能够研究常微,分方程，又能够研究偏微分方程；既能够研究齐次方,程又能够研究非齐次方程；既能够研究有界问题，又,能够研究无界问题。它内容十分丰富，应用极其广,泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯,方程边值问题。,第2页,4.1 格林公式及其应用,4.1.1 基本解,对拉普拉斯方程,其球坐标形式为：,(4.1.1),求方程(4.1.1)球对称解,(即与,和,无关解),则有：,其通解为：,为任意常数)。,若取,则得到特解,称此解为三维Laplace,方程,基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着主要作用.,第3页,对二维拉普拉斯方程,其极坐标形式为:,(4.1.2),求方程(4.1.2)径向对称解,(即与,无关解),则有：,其通解为：,为任意常数)。,若取,则得到特解,称此解为二维,Laplace方程,基本解,.,第4页,4.1.2,格林公式,由高斯公式,则得到,格林第一公式,：,令,将以上两公式相减，得到,格林第二公式,：,调和函数,：含有二阶偏导数而且满足拉普拉斯方程连续函数。,第5页,4.1.3 调和函数积分表示式,由Green公式可导出调和函数积分表示。因为函数：,除在,点外处处满足三维Laplace方程,，于是有,定理：若函数,在,上有一阶连续偏导数，且在,内调和，则,调和函数在区域内任一点值能够经过积分表示式用这个函数在区域边界上值和边界上法向导数来表示。,第6页,若函数,在,上有一阶连续偏导数，且在,内满足Poisson方程 ，则一样有,4.1.4 调和函数性质,性质1,.,设,是区域,内调和函数，它在,上有一阶连续偏导数，则,其中,外法线方向。,是,证实 只要在Green公式中取 即证。,注：此性质表明调和函数法向导数沿区域边界积分为零。,对稳定温度场，流入和流出物体界面热量相等，不然就,不能保持热动态平衡，而使温度场不稳定。,第7页,思索：Laplace方程Neumann问题有解必要条件是什么？,性质2,(平均值定理)设函数,在区域,内调和，,是,内任意一点，若,是以,为中心，,a,为半径,球面，此球完全落在区域,内部，则有,证实：由调和函数积分表示：,及由性质1，有,第8页,上式称为调和函数球面平均值公式。,又因为，在,上有,，所以,性质3,(极值原理)设函数,在区域,内调和，,它在,上连续且不为常数，则它最大值与最小值,只能在边界上到达。,推论1,设在,内有,在,上连续且在边界,上有,，则在,内有,推论2,Dirichlet问题,解是唯一。,第9页,第10页,第11页,4.2 格林函数,因为调和函数有积分表示:,又因为Dirichlet边值问题,解唯一,故希望,将此问题解用积分表示出来。但因为在积分表示示中，,u,在边界上值即使已知,而,在边界上值却不知道.那么,能否作为边界条件加上 值呢？,因为,此时解已经是唯一了.那么只有想方法去掉,为此，引入格林函数概念。,显然这是行不通，,(4.2.1),第12页,格林函数物理背景,原点处点电荷电量 ，,点电荷密度,处点电位,即 处点电荷电量,点电荷密度,处点电位,第13页,4.2.1 格林函数定义,设在,内有,在,上有一阶连续,偏导数，则由格林第二公式有,(4.2.2),将（4.2.1）和(4.2.2)两式加起来：,(4.2.3),选择调和函数,v,满足,于是有：,(4.2.4),第14页,记,(4.2.5),则有,(4.2.6),称,为,Laplace,方程格林函数。若,上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题,且在,上含有一阶连续偏导数解存在时，解能够表示为,在,(4.2.7),存在,第15页,对Poisson方程Dirichlet问题,上存在含有一阶连续偏导数解，则解能够,假如在,表示为,由此可见,求解Dirichlet问题,关键是求Green函数(4.2.5),其中,v,满足一个特殊Dirichlet问题：,(4.2.8),称由函数,v,确定格林函数为,第一边值问题格林函数,。,第16页,4.2.2 格林函数性质,1.格林函数,在除去点,外处处满足,Laplace方程，当,时，,其阶数与 相同。,2.在边界上，格林函数恒等于零：,3.在区域 内成立不等式：,（用极值原理证实）,4.,（由格林第二公式证实）,5.,第17页,4.3 格林函数应用,用镜象法求特殊区域上函数。,4.3.1 上半空间内Green函数及Dirichlet问题,求解上半空间,内Dirichlet问题,先求上半空间,内Green函数,（4.3.1）,，即求解问题,第18页,在区域外找出区域内一点关于边界象点，在这两个点放置适当电荷，这两个电荷产生电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成电位就是所要求格林函数。,第19页,于是，半空间上格林函数为,(4.3.2),从而，问题(4.3.1)解可表示为:,因为平面,z,=,0,上外法线方向即,oz,轴负向,所以,即,所以，问题(4.3.1)解为:,第20页,例2,求解以下定解问题,解：,第21页,4.3.2 球域上Green函数及Dirichlet问题,其中，,（4.3.3）,，即求解问题,求解球域上Dirichlet问题,是以坐标原点,O,为球心，,R,为半径球域。,先求球域上Green函数,第22页,第23页,球内格林函数,M,0,点处点电荷电量 ，,M,1,点处点电荷电量,第24页,第25页,从而，问题(4.3.3)解可表示为：,因,其中,是,与,夹角，于是：,（4.3.4）,此公式称为球域上泊松积分公式。假如用球坐标表示，则有,（4.3.5）,其中,是点,球坐标，,是,上动点坐标,，,第26页,是,与,夹角。因为,所以,(4.3.6),第27页,例1.设有二分之一径为,R,均匀球，上半球面温度保持为,。求球内温度稳定分布。,下半球面温度保持为,解：考虑定解问题,由球域上泊松积分公式(4.3.5)，得,第28页,因为此积分计算很困难，下面我们只考虑一些特殊位置,温度分布。比如，求温度在球铅垂直径,（直径上,半部）和,（直径下半部分）上分布。,当,时，,(见(4.3.6)式)，故有：,第29页,当,时，,故有,在以上两个公式中，当,时，球温度为 .,第30页,4.3.3 四分之一空间格林函数,第31页,4.4 试探法及Poisson方程求解,4.4.1 试探法,对一些定解问题,依据问题物理意义和几何特征，可假设解含有某种特殊形式，将这种形式解代入方程进行试探直至求出特解。这种方法称为试探法。,第32页,例1.设有二分之一径为,R,无限均匀圆柱体已知圆柱内无热源,圆柱,面上温度分布为,试求圆柱内温度稳定分布.,解：因柱面上温度与,z,无关,则域内温度也应与,z,无关,故原问题,可简化为求解圆域上,Laplace,方程第一边值问题,采取极坐标,我们考虑问题:,由(4.4.2),设,(4.4.1)得,代入,再由(4.4.2)得,由,任意性得:,第33页,例2 求圆柱域,内电位,u,使在柱面上有给定电场强度,法向分量,即,解:由边界条件知，问题可化为平面问题：,由边界条件(4.4.4),设,显然,满足方程(4.4.3)及条件(4.4.4)，于是问题解为：,第34页,例3,求由两同心球面导体,和,组成电容器内,电位，使内球面,保持常电位,外球面接地。,解:采取球坐标，考虑定解问题,由边界条件知，球内电位分布仅与,r,相关，即电位,函数是球对称，而电位与,r,成反比，故可设,第35页,显然,满足(4.4.5),这是因为,是三维,Laplace,方程,基本解。由(4.4.6),于是(4.4.5)(4.4.6)解为：,第36页,假如知道Poisson方程一个特解，则经过函数代换，,4.4.2,Poisson,方程求解,就可将Poisson方程边值问题化成Laplace方程边值问题。,例1 求,特解。,解:设其特解为,则,于是，其解有没有穷多个，如,等等。,第37页,例2 求以下问题解,解:显然方程有一个特解,故令,则,由极值原理，上述问题解为,故原问题解为：,第38页,4.4.3,Dirichlet,外问题与,Neumann,外问题介绍,Dirichlet,内问题,Dirichlet,外问题,Neumann,内问题,Neumann,外问题,因为外问题在无穷区域上提出，需附加条件：,其中，,。从数学角度来讲，此条件,能够确保外问题解是唯一。,第39页,