1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.,双曲抛物型方程,初条：,准确解为,初值问题,此乃线性,Burgers,方程,，,为,N-S,方程模型方程,1,第1页,4.1 差分格式,1.迎格调式,(c0),(c0),精度：稳定条件：,2.蛙跳（leapfrog）格式,精度：稳定条件：,仅对对流项,2,第2页,3.时间前差，空间中心差分显格式,精度：稳定条件：,4.Lax-Wendroff格式,精度：稳定条件：,3,第3页,5.Crank-Nicholson格式,精度：稳定条件：恒稳,6.全隐格式,精度：稳定条件：恒稳,可对对流项及扩散项分别采取
2、不一样格式,4,第4页,非线性Burgers方程,为,N-S,方程一个很好模型方程,对于特殊选定初始值和边界条件，及尤其函数,f,，可得准确解,设,f,=,u,2,/2，定解域为 0,x,L,t,0,边界值,u,(,0,t,),=u,0,u,(,L,t,),=0,定常问题准确解：,其中,自行尝试各种格式,5,第5页,时间微商差分迫近,上述差分方法中在对时间偏微分时，只分为,1,单步二层格式（前向差分）一阶精度,2,蛙跳格式 （中心差分）：二阶精度,3,若维持相关欧拉格式空间微商差分形式不变（简记为L,d,），则我们可引入龙格库塔(Runge-Kutta)格式，其时间差分精度为4阶,（只是内存占
3、用量大）,6,第6页,范例,若对空间微商采取中心差分，即,则龙格库塔格式为,稳定条件：,7,第7页,守恒型与非守恒型,作为源方程方程组能够有不一样解析形式，如欧拉形式与拉格朗日形式，守恒形式与非守恒形式，积分形式与特征形式等。不一样形式源方程在解析分析中完全等效，但在数值计算方面则不尽然,。,对任一物理量,U=U,(,x,t,)，若能写成,则称U为守恒型变量，F为其通量（密度），形如此方程者为守恒型方程,8,第8页,质量守恒,动量守恒,能量守恒,磁通守恒,涡旋守恒,9,第9页,差分格式,从守恒型方程出发设计格式含有总体守恒特征，故称为守恒型格式，如该方程可写为,半格点值由插值得到,若体系与外界
4、无交换，则,10,第10页,差分格式子类,半格点插值公式选取 若干子类,1.欧拉显格式,二阶,四阶,2.欧拉全隐格式,精度：,11,第11页,3.Lax格式,4.蛙跳梯形格式,蛙跳步,梯形步,相当于,12,第12页,5.Lax-Wendroff格式,(等价于半步长Lax半步长蛙跳),格式4、5时间精度均为二级。,尤其是碰到激波时，守恒格式能使激波关系较为准确地满足，所以在激波计算中应首先考虑使用守恒型格式,。,13,第13页,5.,说明,对流方程差分格式,耗散性和色散性对于对流方程差分格式稳定性含有主要影响，而理想（磁）流体方程含有与对流方程相同形式，同属于双曲型方程，故设计格式时须注意耗散性
5、及色散性,在稳定条件满足情况下，迎格调式、Lax格式及全隐格式含有一阶耗散，属强耗散格式，L-W格式含有三阶耗散，龙格库塔格式含有五阶耗散，属弱耗散格式，色散效应起主导作用。蛙跳、跳点和C-N格式耗散余项为0，属无耗散格式，在碰到激波等强间断时，弱（无）耗散格式色散性会造成波头振荡和计算失稳，须引入人为耗散。,14,第14页,隐式与显式,隐格式稳定性好（步长仅受非线性效应及计算精度约束），而显格式则在步长上有强约束条件，有时会使步长太短而无法实现。但对波动过程及瞬变现象，物理量改变时间尺度较小，故显格式步长限制有时并不十分严重，且显格式含有编程简单及适宜并行处理优点，也经常被采取。,对扩散项，
6、当耗散系数较大或空间步长较小时，应优先考虑隐格式。,将前面介绍单一方程差分格式对整个方程组进行统一处理是结构偏微分方程组差分格式最简单路径,。,15,第15页,6.,守恒型方程组单步显格式,考虑方程组,其中,U,为未知函数，,F,为通量项，,S,为非齐次项（能够是,U,函数），三者均,m,维矢量,上式可写为非守恒形式 其中 为 矩阵,上式中F 可分解为与速度 相关对流项,F,T,和诸应力项耗散,项,F,D,常见单步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎格调式,16,第16页,Lax,格式,精度：稳定条件：,式中 为矩阵A最大本征值,该格式可推广到二、三维，对应稳定条件为,对流体，为声速,17,第17页,Lax-Wendroff,格式,精度：稳定条件：,普通A是U线性函数，故,其色散正比于,k,4,，故适合研究长波,作业：,这儿应该是F还是U?,18,第18页,迎风,格式,精度：稳定条件：,推广到高维问题时效果很差，故普通只用于一维问题,Lax,方法及迎格调式虽精度低，但却含有强耗散和弱色散，故实际使用时稳定性及可靠性很好。,迎格调式能保持物理量（如密度、温度、压力等）非负性,19,第19页,作业,确认第18页中Lax-Wendroff格式里面F是正确，还是应该改为U；,找一个简单方程，如行波方程，采取不一样格式进行模拟并比较其耗散与色散特征。,20,第20页,
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