1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10-3,可降阶高阶微分方程,1,第1页,复习,1.微分方程概念,微分方程;,阶;,定解条件.,解;,通解;,特解;,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,微分方程.,3.齐次方程,解法：,作变量代换,2.可分离变量方程 求解方法:,2,第2页,4.一阶线性齐次微分方程,5.一阶线性非齐次微分方程,（1）普通式,（2）通解公式,（1）普通式,（,2）通解公式,解法？,3,第3页,10-3 可降阶高阶微分方程,高阶微分方程定义：,二阶及二阶以上微分方程.,可降阶高阶微分方程：,能够经过
2、代换将它化为较低,阶方程来解，,这种类型方程称为,可降阶方程,.,对应解法称为,降阶法.,普通形式：,特点：,解法：,接连积分,n,次，得通解,4,第4页,解,所以原方程通解为,5,第5页,特点：,不显含未知函数,y,.,解法：,代入原方程,得,这是一阶微分方程.,解,代入原方程,得,积分,两边积分得:,6,第6页,解,代入原方程,分离变量,得,积分得,对它两端积分,得,原方程通解为,7,第7页,特点：,不显含自变量,x,.,解法：,代入原方程,得,这是一阶微分方程.,解,8,第8页,解,9,第9页,解,分离变量得,两端积分,得,则得,于是有,因为,所以取正一支.即,10,第10页,因为,所以
3、取正一支.即,分离变量并两边积分得,从而所求特解为,注意：,在求特解过程中，,出现任意常数后，,马上用初值条件,代入，,能够使运算简化.,数时，可依据已知条件定出其中一支.,当出现几支函,确定任意常数，,11,第11页,高阶线性微分方程及其通解结构,第四节,二、,n,阶线性微分方程通解结构,一、二阶线性微分方程通解结构,第十章,12,第12页,式叫二阶线性齐次微分方程,式叫二阶线性,非,齐次微分方程,n,阶线性微分方程普通形式为,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,一、二阶线性微分方程通解结构,二阶线性微分方程定义,13,第13页,回顾:,一阶线性方程,齐次通解Y,非齐次特解,y*,二阶
4、线性微分方程,式叫二阶线性齐次微分方程,式叫二阶线性,非,齐次微分方程,14,第14页,1.二阶齐次线性微分方程解结构:,15,第15页,说明:,不一定,是方程(1)通解.,就是它通解.,为处理通解判别问题,下面引入函数线性相关与,线性无关概念.,16,第16页,定义:,比如,线性无关.,线性相关.,尤其地：,17,第17页,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关,充要条件:,常数,思索:,相关,18,第18页,就是它通解.,推论:,19,第19页,证实,2.线性非齐次线性微分方程解结构,推论：,20,第20页,说明:,只须,求它一个特解,和,两个线性无关特解,则,通解为,齐次通解Y+,非齐次特解,y*,非齐次通解,y,=,比如,方程,有特解,且,故方程通解为,又知,方程,有特解,所以 通解为,21,第21页,设非齐次方程(2)右端,是几个函数之和，,若,而,与,分别是方程,特解，,那么,就是原方程特解.,定理4.,解叠加原理,定理 5.,是对应齐次方程,n,个线性无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程特解,则非齐次方程通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,22,第22页,通解是().,例1.,提醒:,都是对应齐次方程解,二者线性无关,.(反证法可证),23,第23页,例2.,解:,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,24,第24页,
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