现代控制理论线性定常连续系统状态方程的解省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

自动控制原理,第二章 线性定常连续系统状态方程解,第1页,线性定常连续系统状态方程解,准备知识A1,准备知识A2,一.线性定常连续系统齐次方程解(零输入响应),二.状态转移矩阵,三.线性定常系统非齐次方程解,第2页,准备知识A1,1.利用状态和状态方程来定义系统线性性质.,用符号,表示状态 和输入 激励出输出 和状态 ,并称其为输入-状态-输出对.,第3页,定义:一个系统,当且仅当对于任何两个允许对,和任何实数 和 所组成输入-状态-输出对.,第4页,也是允许,则称该系统是线性,不然该系统是非线性.简而言之,满足迭加原理系统为线性系统.,第5页,2.对定义讨论,(1)若设 并有,则假如是线性系统话,按定义,则 .,第6页,从而,假如系统是线性系统话,则必有,当 时,系统响应亦为零这也是线性系统一个必要条件.,第7页,(2)式(1)中,若 称式(1)关系为可加性。,若 则称式(1)关系为齐次性。,第8页,(3)式(1)中,若设 ,及假定,则,或,第9页,所以系统响应对 是由两个状态-输入对所激励,称由 激励响应为零输入响应,只是由 产生。,称由 激励响应为零状态响应,只是由 产生。,第10页,这么对于线性系统来讲,能够独立地考虑其零输入响应和零状态响应,而系统全部响应,则是它们和.,依据线性系统性质:若,第11页,则,传函法描述是零状态响应,第12页,3.对于线性定常连续系统动态方程来讲,零输入响应为 :,-齐次方程,零状态响应为 :,-非齐次方程.,第13页,线性系统响应能够分解为.,第14页,定义:零输入响应:,线性系统零输入响应 定义为只有初始状态作用即 ,而无输入作用即 时系统响应.,第15页,注意:,数学上,零输入响应 就是无输入自治状态方程(齐次方程)状态解.,物理上,零输入响应代表系统状态自由运动，特点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输入影响.,第16页,定义:零状态响应:,线性系统零状态响应 定义为只有输入作用,即 而无初始状态作用,即,时,系统响应.,第17页,注意:数学上,零状态响应 即为零初始状态下强迫方程,状态解.,物理上,零状态响应 代表系统状态由输入u所激励强迫运动,第18页,准备知识A2,不加证实地给出以下定理和定义.,(1),定理1,.全体解集合,形成在实数域上,n,维向量空间.,(2),定义1,.矩阵函数 中,当且仅当,n,个列分别是,n,个线性无关解时,称 为,基本矩阵,即 ,且 非奇.,第19页,(3)定理2.,每一个基本矩阵,对(-,)中全部,t,而言,是非奇.,(4)定义2.,设 是 任一基本矩阵,对全部,(-,),中 称,是 状态转移矩阵.,第20页,一.线性定常连续系统齐次方程解(零输入响应),1.讨论,显然 是矩阵微分方程,在解该方程之前先观察纯量微分方程 解,其中,第21页,在解 时,先假定解,代入方程得到,第22页,假如所求解是方程真实解，那么上述方程对任意t都成立，所以使t幂次项各系数相等就可得到:,第23页,显然 ,从而方程解 可写为,其中指数函数,第24页,仿上述纯量微分方程解法,对于矩阵微分方程 其中 ,则,称 是按矩阵A定义矩阵指数函数,并可证实,若A是,n,n,方阵时，则有：,并对于有限时间是绝对收敛.,第25页,结论：零输入响应线性定常连续系统零输入响应,即系统齐次方程解,并含有以下形式:,第26页,推论:,(1).零输入响应运动特征.,对于线性定常连续系统,其零输入响应是由其齐次方程解属性决定，状态空间中x(t)随时间演化轨道(几何表征)，属于由偏离系统平衡状态初始状态 引发自由运动.,第27页,一个经典例子是:人造卫星在末级火箭脱落后运行轨道,以脱落时刻运行状态为初始状态自由运动即零输入响应.,第28页,(2).零输入响应形态.,对线性定常连续系统,零输入响应即自由运动轨迹形态,当且仅当由系统矩阵指数函数 唯一地决定.不一样系统矩阵A,造成不一样形态零输入响应,即自由运动轨道.,表明 即A系统矩阵,包含了零输入响应即自由运动形态全部信息.,第29页,(3).零输入响应趋向平衡状态x=0属性.,对于线性定常连续系统,零输入响应,即自由运动轨迹最终趋向系统平衡状态x=0条件是:当且仅当矩阵指数函数 最终趋向零,即 称上述属性为系统渐近稳定.该式也是线性定常连续系统渐近稳定充分条件.,第30页,(4).零输入响应计算.,依据解,则零输入响应计算关键是计算矩阵指数函数 。,第31页,(5).零输入响应表示式更普通形式.,对线性定常连续系统,通常习惯地取初始时间 。,因为线性时不变系统分析只与相对时间相关,这种处理也不失普通性.但若因某种需要,将初始时间取为 ，此时,零输入响应更有普通形式：,第32页,(6).零输入响应几何表征.,对线性定常连续系统,齐次方程解表示式表明:在时刻 状态点 ,几何上对应于状态空间中由初始状态点 ,经线性变换,导出一个变换点.基于此,可推知,零输入响应 随时间t演化过程,几何上即为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点组成一条轨迹.,第33页,2.解性质(矩阵指数函数性质),矩阵指数函数 在线性系统分析中含有主要意义,为此可基于定义,给出 性质.,第34页,性质：,第35页,第36页,3齐次方程拉普拉斯解法.,一样先考虑纯量微分方程,将方程两端作拉氏变换,则,第37页,将这种方法推广到矩阵微分方程解,对,两边取拉氏变换，则有,或,即,第38页,从而,因为,所以,第39页,从而,普通形式,显著地 指出了 一个算法.,第40页,二状态转移矩阵,1.概念,推论1.,对线性定常系统 是 一个基本矩阵。,第41页,证实：,设 ,若 是一个基本矩阵,则,有 ,将 代入，并利用 微分性,质得到 ,且 非奇异。,故 是线性定常连续系统一个基本矩阵。,第42页,推论2.,对线性定常连续系统状态转移矩阵 可由基本矩阵 表出,第43页,推论3.状态转移矩阵唯一性,对线性定常连续系统状态转移矩阵 是唯一，且在按定义确定 时，与所选择 无关。,第44页,推论4.状态转移矩阵形式。,对 情形下，,对 情形下，,推论5.零输入响应形式。,第45页,依据零输入响应几何表征，显然 是将初始状态从 转移到t时刻x(t)。而 则是x(0)到x(t)转移.故称 是状态转移矩阵.,第46页,2.状态转移矩阵性质.,第47页,第48页,3.状态转移矩阵算法,(1)按定义计算,(2)假如A是对角阵,则,第49页,(3)若A特征值互异,即互异,则可经过变换,使 ,从而,而其中,从而,(4),第50页,三线性定常系统非齐次方程解,1.零状态响应,考虑连续线性定常系统，令系统初始状态,对应状态方程,第51页,结论零状态响应：连续线性定常系统零状态响应 ,即上述方程解含有以下表示式：,当 时,第52页,讨论：,（1）数学特征,即易证：,称矩阵指数函数和输入作用函数影响在时序上是对偶，这种对偶在数学上称为卷积分。,第53页,（2）几何特征,若令,则零状态响应,显然 是t时刻输入作用等价状态，从而零状态响应 是 （等价状态）以 为变换阵导出变换点，在几何上代表状态空间中各个时刻t输入作用等价状态变换点组成一条轨道。,第54页,（3）零状态响应运动属性,是随时间t演化轨迹，在属性上属于输入驱动下强迫运动。输入是造成零状态响应唯一激励。,第55页,（4）零状态响应对任意状态点可达属性,对零状态响应 ，假如对任意指定状态空间状态点 都存在一个输入和有限时间 ，使成立 ，那么称 含有能达性，显然能达性取决于A,B属性。,第56页,（5）零状态响应相对于任意初始时刻表示式,若更为普通地取初始时刻 ，则零状态响应为,第57页,零状态响应形式证实：,证：考虑以下显等式：,第58页,对上式从0到t积分（取 ），并注意到 ,得,两边同乘以,得,得证。,第59页,2.线性系统非齐次响应。,该问题亦是线性时不变连续系统同时作用有初始状态和输入时响应,那么依据前述结论，可得到以下结论。,（迭加原理）,第60页,结论：,连续时间线性时不变系统状态运动规律（或非齐次响应），即同时作用有初始状态和输入状态方程解，对初始时刻 情形含有,若 则,其中,第61页,