高数(上)期中复习省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

河海大学理学院高等数学,高 等 数 学(上),第1页,期中复习,基本概念,基本定理,基本方法,第2页,1.概念罗列,函数(有确定对应规则),自变量,定义域及求法,有(上,下)界,无界,奇,、,偶函数,单调(增,、,减)函数,复合函数,直接函数与反函数(关于y=x对称),基本初等函数及对应图形,初等函数;,极限,左右,极限,单侧极限,无穷大与无穷小,无穷小阶(高阶,低阶,同阶,数量阶),等价无穷小,连续(3定义),间断,间断点分,类,导数,高,阶,导数,相关改变率,微分(线性主部).,极值,驻点,最值(极值与最值区分);,第3页,7种自变量改变,(1)自变量n,;,(2),自变量xx,0,；,(3),自变量xx,0,+0,；,(4),自变量xx,0,-0,；,(5)自变量x,；,(6)自变量x,+,；,(7)自变量x-,。,-双侧,-双侧,单侧,单侧,2.,极限,定义,第4页,7种自变量改变精准定义,(1)自变量n,(2)自变量xx,0,(3)自变量xx,0,+0,(4)自变量xx,0,-0,(6)自变量x,+,(5)自变量x,(7)自变量x-,第5页,5种函数改变,(3)函数f(x)即f(x)无穷大,；,(4)函数f(x),+,即f(x)正无穷大,；,(5)函数f(x)-即f(x)负无穷大,。,(1)函数f(x)极限A,;,(2)函数,0即无穷小,;,第6页,5种函数改变精准定义,1)函数f(x)A,(2),无穷小,(3)f(x)无穷大,(4)f(x)正无穷大,(5)f(x)负无穷大,第7页,极限,7,个,定义,及无穷大与无穷小对应定义,组合例子：,当 时,有,设 f(x)在|x|充分大时有定义.假如,对于 X 0,当|x|X 时,恒有,则称 是 f(x)当 x 时极限,记作,或,第8页,设,在 某一去心邻域内有定义.,假如对于 当 时，,有,或,设,在 某一去心邻域内有定义.,假如对于 当 时，,有,或,第9页,1.,用倒推法导出希望,条件,(不是,结果,或,事实,)；,证极限是从 出发导出,N(或,或X,),。,技巧是放大。,证,是从 出发导出,N(或,或X,),技,巧是縮小。,2.套定义复述。即：,用定义证极限(或,)步骤,：,当 时,有,(共35个可能),第10页,例,设,，用定义证实:,;2、,。,1、,第11页,3.基本定理,极限及无穷小性质,无穷小与极限关系,极限性质:惟一,有界,保号,局部服从全体.,极限四则运算与复合运算性质(参加变量极限一定要存在);,连续函数经,+,-,*,/,与复合运算后仍连续;,闭区间上连续函数(两类)性质:有界,介值.,可导必连续,连续不一定可导.,左右,极限,左右,连续,左右导数.,可导充要条件是可,微.dy=y,dx.,4个微分中值定理.,第12页,4.,极限,求法,:,若函数连续:,初等函数在定义区间内连续.,四则运算,有理函数在 计算公式,去0 因子,及有理化;,变量代换,有界与无穷小之积是无穷小.,无穷大与无穷小(除0外)互为倒数关系.,两准则;,两极限;,等价无穷小替换(注:只用于乘除,加减不能用),洛必达法则,第13页,5.,导数,求法,定义(导数是切线斜率)多用于抽象,函数或分段函数在固定点.,初,等函数求导,基本,初,等函数求导公式,求导(+-*/)运算法则,复合函数求导公式,反函数求导公式;,隐函数求导方法,对数求导法,参数方程求导公式,高阶导数公式.,第14页,隐函数求导关键点:,方程两端同时关于x求导,碰到y时,将y看成中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y,最终解出y.,对数求导注意点:,要充分,地使用对数性质,将,对数性质发挥至极致.,适合用于(1)幂指函数;(2)多因子乘积.,参数方程求导注意点:,y,y是t函数,对t求导后一定,要及时除以x,t,.,第15页,（3）,莱布尼茨（Leibniz）公式,高阶导数公式,第16页,求高阶导数方法小结,抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求(高阶),导数,多用定义求得.,详细函数低阶导数要由一阶导数,二阶导数,依序算出.,简单函数类高阶导数求至3,4阶后,尽可能把它们,变换成同一形式,用不完全归纳法得普通规律.或套,公式(1)做.简单函数类指f(x)=x,a,e,x,a,x,sinx,cosx,Lnx等,和中间变量为线性函数复合而成.,不太复杂函数高阶导数,先化成简单函数类线,性组合,而后用高阶导数线性运算法则即公式(2)做.,尤其是多项式和简单函数类乘积高阶导数,用,Leibniz公式.,第17页,6.,微分中值定理,条件,:满足：,（1）,在闭区间,a,b,上连续；,（2）,在开区间,(a,b),内可导；,（3）,结论,:,在开区间,(a,b),内最少有一点 ，使,微分中值定理,特点,第18页,罗尔中值,定理适合用于,相关方程根,(牵涉到一个函数);,拉格朗日中值定理适合用于,相关函数改变量;,拉格朗日中值定理推论,(导数为零函数是常数),适合用于,恒等式;,柯西中值,定理适合用于,方程根,(牵涉到两个函数),;,泰勒中值定理,包括函数高阶导数.,第19页,例 设 f(x)在 0,1 上连续,(0,1)内可导 .,f(0)=1,f(1)=0.证实:最少存在一点,(0,1),使得,这类：辅助函数 F(x)=x,f(x),例 设 f(x)可导,证实 f(x)任意两个零点之,间一定有 零点.,这类：辅助函数 F(x)=e,kx,f(x),第20页,7.洛必达法则(24个),使用说明:,(1)可重复使用,但每次使用前,必须检验是否,型或 型;,(2)若有可约去因子,或有非零极限因子,要先行约去或提出.有时,也要与无穷小替换、,变量代换等方法联合使用(要简化和整理)，,目标是为了求导数简单;,(3)条件是充分而非必要.,第21页,