31-一维波动方程初值问题省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,Autumn,Instructor:,Y.Huang,ylhuang,Room 721,Shangxian Building School of Mathematics&Statistics,NUIST,Partial Differential Equations,第1页,3.1,一维波动方程初值问题,无界弦自由振动,波传输,无界弦受迫振动和齐次化原理,半界弦振动和延拓法,端点固定有界弦振动,解先验预计,第2页,1.,一维波动方程初值问题,基本思绪,：,无界弦,自由振动,(,),：经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解，代入初始条件得特解（达朗贝尔公式）；,无界弦,受迫振动,(,),：由叠加原理分解为：齐次问题,+,零初值非齐次问题（由齐次化原理得解）；,半界弦,振动,(,),：以某种方式延拓,f,及初始函数，转成无界弦振动问题，求出解后限制在半界区域上。,第3页,1.1,无界弦自由振动,在弦微小横振动问题中，假如弦未受到任何外力作用，而且只研究其中一小段，那么在不太长时间里，两端影响都来不及传到，不妨认为两端都不存在，弦是“无限长”，则可提出以下定解问题,其中 分别表示初始位移和初始速度。,第4页,(1),泛定方程通解,由泛定方程可得其特征方程为,即特征线满足方程,故特征线为,作变换,则,第5页,代入泛定方程可得标准型,两边依次关于 积分，得通解,其中,F,G,为两个可微任意单变量函数。,代回原变量，得,泛定方程通解,第6页,(2),定解问题特解,达朗贝尔公式,利用初始条件来确定通解中任意函数,F,和,G,：,则,其中 为任意一点，,c,为常数。,故有,第7页,则得初值问题特解,称为,达朗贝尔公式,(,DAlembert,),或,无界弦自由振动问题达朗贝尔解,.,例,1,.,求解初值问题,第8页,解,.,此时 ，故由,DAlembert,公式有,注：,有些例子即使不能直接应用,由,DAlembert,公式，但可利用与推导,DAlembert,公式相同方法求解。,例,2,.,求解初值问题,第9页,解,.,泛定方程特征方程为,即特征线满足方程,故特征线为,作变换 则原方程可化为,其通解为,第10页,即,故有,即,所以可得初值问题特解为,利用初始条件可得,第11页,例,3,.,求解有阻尼波动方程初值问题,解,.,泛定方程含有阻尼项，不能直接用,DAlembert,公式，但可将阻尼作用表示为其解中带一个随时间成指数衰减因子。,即令,为待定常数,，于是有,第12页,代入泛定方程得,取 原定解问题化为,由,DAlembert,公式可,得,第13页,从而原问题解为,注：,当 时，,由,DAlembert,公式,(3.3),定义函数,u,(,x,t,),称为初值问题3.1),古典解,。当 不满足该条件时，由公式,(3.3),定义函数,u,(,x,t,),常称为初值问题,(3.1),广义解,。,第14页,(3),达朗贝尔解适定性,Th 3.1,假设 ，则对任意给定,T,0,，初值问题,(3.1),DAlembert,解在区域 上是适定。,证,.,从,DAlembert,公式推导可见，只要 ，,DAlembert,解是满足初值问题,(3.1),，即,DAlembert,解是,存在,。,唯一性,.,若有 含有相同初始条件，则,满足零初始条件下,初值问题,(3.1)(,即取,),，进而由,DAlembert,公式可得,第15页,稳定性,.,设有两组初始条件 且它们相差很小,实际上，由,DAlembert,公式，有,只要,记 表示对应于这两组初始条件解，,要证：在有限时间内，当初始条件有了微小改变时，其解也只有微小改变。,第16页,例,4,.,求解初值问题,其中,解,.,此时 下求广义解。由,DAlembert,公式，有,计算可得其解详细情况以下：,第17页,(1),当 时，有,第18页,(2),当 时，有,第19页,(3),当 时，有,注：,例,4,中 所以,DAlembert,解,u,(,x,t,),不是一个古典解，仅是形式解。,第20页,1.2,波传输,(1),达朗贝尔解物理意义,为方便起见，记,显然 都是方程 解，且,首先考查,给定,t,不一样值，就得到弦在各时刻振动状态。,当,t,=0,时，对应是初始状态；,第21页,因时间段 内波形右移了距离了 故,a,为波移动速度。,这种形如 解所描述弦振动规律称为,右传输波,或,右行波,。,经时间 之后，表明在,(,x,u,),平面上 时刻波形相对于初始时刻波形向右平移了距离,伴随时间推移，波形继续向右移动，而形状保持不变。,第22页,所以，,DAlembert,解,(3.3),表明初值问题,(3.1),解是由 和,确定左、右行波 叠加,(,其中 是 一个原函数,),。这就是,DAlembert,解,(3.3),物理意义。这种结构解方法称为,行波法,。,类似地，保持波形,F,(,x,),以速度,a,向左移动，称为,左传输波,或,左行波,。,注,：行波法基于波动特点，引入了坐标变换简化方程；,优点：求解方式易于了解，求解波动方程十分方便；,缺点：通解不易求，有不足。,第23页,由,DAlembert,公式得,例,5,.,（初始位移引发波动）一根无限长弦初始位移为,从静止开始运动，求其在任意时刻位移。,解,.,定解问题为,第24页,例,6,.,（初始速度引发波动）一根无限长弦初始位移为,0,以初始速度 开始振动，求其在任意时刻位移。,解,.,定解问题为,其中,由,DAlembert,公式得,第25页,其中,第26页,(2),依赖区域、决定区域、影响区域,由,DAlembert,公式,可知，初值问题解,u,在点 值由函数 在点,和 值以及函数 在区间 上值唯一确定。区间 称为点,依赖区间,。,第27页,在,x,轴上任取一区间,c,d,过点,(,c,0),和,(,d,0),分别作直线,x,=,c,+,at,和,x,=,d,-,at,组成一个三角形区域,K,。,K,内任一点,(,x,t,),依赖区间都落在,c,d,内，故,u,(,x,t,),在,K,内任一点,(,x,t,),值都完全由初值函数 和 在区间,c,d,上值来确定，而与此区间外数据无关。,这个区域,K,称为区间,c,d,决定区域,。即在区间,c,d,上给定初值 和 ，就能够确定解在决定区域,K,内值。,第28页,过点,(,c,0),和,(,d,0),分别作直线,x,=,c-at,和,x,=,d+at,。经过,t,时刻后，受到区间,c,d,上初值扰动影响区域是,此区域内任一点,(,x,t,),依赖区域都全部或有一部分落在,c,d,内，故解在这种点值与初始函数在区间,c,d,上值相关。此区域外任一点依赖区间都不会和区间,c,d,相交，故解在这种点值与初始函数在区间,c,d,上值无关。,第29页,注,：两条直线,(,常数,),对一维波动方程解起着主要作用，这两条直线称为波动方程特征线，所以,行波法又称为特征线法,。,这个区域,D,称为区间,c,d,上影响区域。简言之，影响区域是那些使得解值受到区间,c,d,上初始函数值影响点所组成集合。,第30页,1.3,无界弦受迫振动和齐次化原理,当弦受到外力,f,(,x,t,),作用而产生振动时，有以下非齐次方程初值问题,由线性叠加原理可知，若,v,(,x,t,),w,(,x,t,),分别为初值问题,第31页,解，则,u,(,x,t,)=,v,(,x,t,),+w,(,x,t,),是初值问题,(3.4),解。,初值问题,(3.5),解可由,DAlembert,公式,(3.3),直接给出，所以，为求解,(3.4),只需求解,(3.6),。,对问题,(3.6),若能设法将非齐次项消除，即将方程变为齐次方程，便可一样由,DAlembert,公式,(3.3),得到解第32页,1.3.1,冲量原理,(,齐次化原理,),对问题,(3.6),中 是单位质量弦上所受外力，这是从初始时刻,t,=0,一直延续到时刻,t,连续作用力。,由线性叠加原理，可将连续作用力,f,(,x,t,),所引发振动,(,即初值问题,(3.6),解,),，视为一系列前后相继瞬时作用力,所引发振动 叠加，即,第33页,我们先来分析瞬时作用力 所引发振动。,从物理角度考虑，力对系统作用对于时间累积是给系统一定冲量。所以在短时间间隔 内 对系统作用可表示为冲量 ，这个冲量使得系统动量有一改变量,(,因 是单位质量弦所受外力，故动量改变量在数值上等于速度改变量,),。,若将 时间内得到速度改变量看成是在 时刻一瞬间集中得到，而在 其余时间则认为没有冲量作用,(,即没有外力作用,),，则在 时间内，瞬时力,所引发振动定解问题可表示为,第34页,为便于求解，设 则有,由上述分析可看出，欲求解问题,(3.6),只需求解,(3.7),，而,即,第35页,这种,用瞬时冲量叠加代替连续作用力,来处理定解问题,(3.6),方法，称为,冲量原理,，可归结为以下定理。,定理,1.,(,齐次化原理,),设 若,是初值问题,(3.7),解，则由积分,(3.8),所定义函数,w,(,x,t,),是初值问题,(3.6),解，其中 是参数。,证,.,由,(3.8),和含参变量积分求导公式，有,第36页,代入3.6),中泛定方程和定解条件均满足。,注：,变限积分求导公式,若,f,(,x,y,),及其偏导数 都在 上连续，,为定义在,a,b,上其值域含于,c,d,中可微函数，则函数,在,a,b,上可微，且,第37页,1.3.2,纯受迫振动解,对于问题,(3.7),令 则有,由,DAlembert,公式,(3.3),有,第38页,注,:(3.10),被积函数区域为 平面上过点,(,x,t,),向下两特征线与,s,轴所围三角形区域。,代入,(3.8),有,纯受迫振动,(3.6),解,第39页,例,1.,求解初值问题,解,.,此处,a,=2,f,(,x,t,)=2,x,由,(3.10),有,第40页,1.3.3,普通受迫振动解,定理,2.,假设函数,则初值问题,(3.4),存在唯一解,一维非齐次波动方程初值问题解,Kirchhoff,公式,深入地，对于任意,T,0,(3.4),解在区域 上是稳定。,第41页,例,2.,求解初值问题,解,.,第42页,命题,1.,假设函数,且关于变量,x,是,偶,/,奇,/,周期为,T,函数，则初值问题,(3.4),解,u,(,x,t,),关于,x,也是,偶,/,奇,/,周期为,T,函数。,证,.,只对奇函数给出证实，其它情形类似可证。,设,u,(,x,t,),是初值问题,(3.4),解，定义,w,(,x,t,)=-,u,(-,x,t,),则有,从而有,第43页,即,w,(,x,t,),满足初值问题,(3.4),中泛定方程。又,即,w,(,x,t,),满足初值问题,(3.4),中初始条件。,再由定理,2,关于解唯一性，得,w,(,x,t,)=,u,(,x,t,),，,即,-,u,(-,x,t,)=,u,(,x,t,),，,u,(,x,t,),为奇函数。,第44页,例,3.,求解初值问题,解,.,由,Kirchhoff,公式得,第45页,1.4,半界弦振动和延拓法,1.4.1,端点固定情况,(1),齐次端点条件,考虑定解问题,为了利用,DAlembert,公式求解，把初始条件和,f,延拓到,第46页,设此时定解问题为,则在 上，有,其中，对 有,第47页,问题是，对,x,0,怎样定义,或者说，怎样把 延拓到,x,0,.,1.6,解先验预计,先验预计是各类数学物理方程或更普通偏微分方程理论中一个惯用方法，其基本点是：,先假定所讨论定解问题有解存在，然后导出应该满足预计,。,第67页,先验预计本身提供了关于解有界性、渐进性等信息，由此可得到对应定解问题解唯一性和稳定性，并可结合其它分析方法导出一些定解问题存在性。,对一维波动方程解，可导出一些简单预计式：,例,8.,设,u,(,x,t,),满足定解问题,(3.1),且 则对任何,成立,第68页,证,.,由,DAlembert,公式，有,由 模三角不等式，有,第69页,即,即,第70页,作业,习题三（书,P.67,）,第,1(1,4);3(1);4;12;15,题,第71页,