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解非线性方程组的数值方法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第九章 解非线性方程组数值方法,1,多变元微积分,2,不动点迭代,3,N

2、ewton,法,4,割线法,5,拟,Newton,法,6,下降算法,第1页,1,多变元微积分,Gateaux,导数,Frechet,导数,高阶导数,Riemann,积分,第2页,定义1,对给定 若极限 (,1.1,),存在,则说,f在x沿方向,是,Gateaux,可微,。并将(,1.1,)记作 ,即,上式亦即,称为f在x沿,方向,是,Gateaux,导数。,若,f,在,x,沿任何方向都是,Gateaux,可微,则说,f,在,x,是,Gateaux,可微,算子(映射),称为,f,在,x,Gateaux,导数。,第3页,定理1,映射 在xGateaux导数Df(x)是齐次算子,即,第4页,定理2,

3、若 在 到达极大值或极小值,且 存在,则 (零算子),第5页,定义2,设 都是赋范空间。若存在线性算子 使得,则称 为映射f在x,Frechet导数,,且说,f,在,x,是,Frechet可微,。算子,称为,fFrechet导数,它对于 ,确定了,是由 到 一切线性算子组成赋范线性空间。,第6页,定理3,假设 在x为Frechet可微,则f在x必为Gateaux可微,且,第7页,定理4,设 在 是Frechet可微,则f在x连续,第8页,定义3,假设有一个向量 ,若对任给,存在 使得对任意分法P,当,时,有,则称J为f在0,1上Riemann积分,记作,即,第9页,定义4,假设 都是赋范空间。

4、给定 若积分,存在,则称它为f从 到,Riemann积分。,第10页,定理5,设 给定 若存在,使得,则,此处,假设上述积分都存在。,第11页,定理6,设 在凸集 中每一点都是Frechet可微,且 在 上连续,则,第12页,定理7,设 在凸集 上处处Frechet可微,且存在常数 使得,则对一切 有,第13页,2,不动点迭代,第14页,定理一,设 有一个不动点 ,若存在一个开球,使得,则对任意初始近似 ,由迭代公式(2.5)产生序列 含有以下性质:,(1)对一切 ;,(2);,(3)序列 最少为线性收敛。,第15页,定理二(压缩映射原理),设D为 中一个闭集,,为压缩映射,即它满,足条件:,

5、则以下结论成立:,(1)对任意 ,由(2.5)产生迭代序列 都有,(2)在D上有唯一不动点 ,且,(3),即 最少线性收敛;,(4)有预计式,第16页,3,Newton,法,Newton法,修正Newton法,第17页,算法9.1 应用Newton法求非线性方程组解,(对给定初始近似x),输入 方程组阶数n;初始近似x=;误差容限TOL;最大迭代次数m.,输出 近似解 x=或迭代次数超出m信息.,step1 对k=1,m做step2-5.,step2 计算f(x)和f(x).,step3 解nn阶线性方程组f(x)y=-f(x).,step4 x x+y.,step5 若|y|0 D,使得对一

6、切 (x*),由Newton法(2.3)产生迭代序列 是完全确定,(x*),k=1,2,且 收敛于x*.,第19页,定理2(Kantorovich),假设给定了 中一个开集D,为一凸集,且 D.设对于给定 ,存在正常数,r,,,h,它们含有以下性质:,h=/21,R=/(1-h).,第20页,(续1),若 在D中连续,在 上处处Frechet可微,且含有以下性质:,(1);,(2)存在,且 ;,(3),则,(1)从 出发,,第21页,(续2),都是完全确定,且对,(2)极限 存在,且,(3)Newton法最少为二阶收敛;,(4)对k=0,1,2,第22页,4,割线法,两点序列割线法,(n+1)

7、序列割线法,第23页,5,拟,Newton,法,Broyden方法,DFP方法和BFS方法,第24页,算法9.2,应用Broyden方法球非线方程组f(x)=0近似解,输入,方程组阶数n;初始近似;误差容限TOL;最大迭代次数,输出,近似解 或方法失败信息。,Step1,Step2,Step3,Step4 当 时,做step5-14.,step5,第25页,(续),step6,step7,step8,若p=0,则输出(Method failed);停机.,step9,step10,step11,step12,step13,若 ,则输出(x);停机.,step14,Step15 输出(Maximum number of iterations exceeded);,停机.,第26页,6,下降算法,最速下降法,带松弛因子Newton法,第27页,

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