D第五章空间向量与解析几何.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节,向量代数,第三节,空间平面及其方程,第一节,空间,直角坐标系,第五章 空间向量与解析几何,第五节 曲面及其方程,第四节,空间直线及其方程,一、空间点的直角坐标,二、两点间的距离,第一节 空间直角坐标系,面,面,面,1,、空间直角坐标系共有八个卦限,一、空间点的直角坐标,2,、空间的点,有序数组,特殊点的表示,:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二、两点间的距离,空间两点间距离公式,特殊地：若两点分别为,解,原结论成立,.,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点的卦限,.,一、向量的概念,二、向量的运算,第二节 向量代数,三、向量的坐标,四、向量的数量积,五、向量的向量积,向量：,既有大小又有方向的量,.,向量表示：,模长为,1,的向量,.,零向量：,模长为,0,的向量,.,|,向量的模：,向量的大小,.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量,.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量,.,负向量：,大小相等但方向相反的向量,.,向径：,空间直角坐标系中任一点,与原点构成的向量,.,1,、加法,：,（,平行四边形法则或三角形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,二、向量的运算,加法运算律：,（,1,）交换律：,（,2,）结合律：,（,3,）,2,、减法,3,、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（,1,）结合律：,（,2,）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,.,例,1,化简,解,例,2,试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形,.,证,与 平行且相等,结论得证,.,思考题,已知平行四边形,ABCD,的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量,.,1,、空间两向量的夹角的概念：,类似可定义,向量与一轴或空间两轴,的夹角,.,特别，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在,0,与 之间任意取值,.,三、向量的坐标,2,、空间一向量在轴上的投影,关于向量的,投影定理（,1,）,证,定理,1,的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4),相等向量在同一轴上投影相等；,向量在,轴上的投影,向量在,轴上的投影,向量在,轴上的投影,3,、向量的坐标,按基本单位向量的,坐标分解式,：,在三个坐标轴上的,分向量,：,向量的,坐标,：,向量的,坐标表达式,：,特殊地：,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,解,设,为直线上的点，,由题意知：,非零向量 的方向角,：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角,.,4,、方向余弦,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向,.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,解,解,思考题,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量,.,定义,四、两向量的数量积,数量积也称为,“,点积,”,、,“,内积,”,.,结论,两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积,.,关于数量积的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（,1,）交换律,：,（,2,）分配律,：,（,3,）若 为数,：,若 、为数,：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,实例,五、两向量的向量积,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为,“,叉积,”,、,“,外积,”,.,向量积符合下列运算规律：,（,1,）,（,2,）,分配律：,（,3,）,若 为数：,证,/,/,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,例如，,解,解,三角形,ABC,的面积为,解,第三节,空间平面及其方程,一、平面方程,二、平面的位置关系,一、平面方程,1,、点法式方程,：,与平面垂直的非零向量,称为为平面 的法向量。平面 有无穷多个法向量。,2,、一般式方程,：,平面的点法式方程可化,为 ，,把常数项 记作 ，,得 。,3,、截距式方程,：,二、平面的位置关系,两平面的夹角 的余弦,。,可知：,平面,和,平面,垂直的充要条件,平面,和,平面,平行的充要条件,即,第四节,空间直线及其方程,一、空间直线方程,二、,两直线的夹角以及直线与平面的夹角,1,、,方向向量,：,一个平行于已知直线的非零,向量,.,一、空间直线的方程,2,、,直线方程：,过空间一点可以且只能作一,条直线与已知直线平行。所以直线上一,点和它的一个方向向量为已知时，直线,的位置就确定了。,（,1,）参数方程,（,2,）标准方程,点向式方程,（,3,）,两点式方程,3,、,直线的一般方程：,我们已经知道一直,线可以由过它的两个平面来决定，因,此由这两平面方程组成的方程组,称为空间直线的一般式方程。,二、,两直线的夹角以及直线与平面的夹角,两条直线的方向向量的夹角称为,两直线的,夹角,。,夹角的余弦,直线,直线,两直线垂直的充要条件：,两直线平行的充要条件：,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,1,、曲面方程的定义：,曲面的实例：,第五节,曲面及其方程,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,研究空间曲面有,两个基本问题,：,（,2,）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（,1,）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,3,、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的轴,播放,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,将 代入,得方程,例,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,播放,定义,4,、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线,.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的,特征,：,（其他类推）,椭圆柱面,/,轴,双曲柱面,/,轴,抛物柱面,/,轴,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,