概率论基础第四章ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章,随机变量的数字特征与特征函数,概率论,随机变量的数学期望,随机变量的方差,随机变量的矩与中位数,随机变量间的协方差与相关系数,随机变量的特征函数,熵与信息,小结与练习,二、数学期望的定义,离散型随机变量,Def,设离散型随机变量的概率分布为,连续型随机变量,Def,设连续型随机变量的概率密度为,，若广义积分,随机变量数学期望所反应的意义,例,4.1,已知随机变量,X,的分布律为,4,5,6,1/4,1/2,1/4,求数学期望,解：,由数学期望的定义,例,4.2,已知随机变量,X,的分布律为,0,1,求数学期望,解：,由数学期望的定义,例,4.3,已知随机变量,。求数学期望,例,4.4,已知随机变量,。求数学期望,例,4.5,已知随机变量,。求数学期望,例,4.6,已知随机变量,。求数学期望,随机变量函数的数学期望,1.,一元随机变量函数的情况,设,是随机变量,X,的函数，,离散型,连续型,该公式的重要性在于,:,当我们求,E,g,(,X,),时,不必知道,g,(,X,),的分布，而只需知道,X,的分布就可以了,.,这给求随机变量函,数的期望带来很大方便,.,例,4.7,解：,因为,随机变量函数的数学期望,随机变量的方差,Variance,随机变量方差的定义,设 是一随机变量，如果 存在，则称为,的方差，记作 或,方差的计算公式,与,有相同的量纲,均方差（标准差）,离散型,设,离散型,随机变量,X,的概率分布为,连续型,设,连续型,随机变量,X,的分布密度为,f,(,x,),方差的统计意义,随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。,例,4.8,已知随机变量,X,的分布律为,0,1,求方差,解：,例,4.9,已知随机变量,。求方差,例,4.10,已知随机变量,。求方差,例,4.11,已知随机变量,。求方差,例,4.12,已知随机变量,。求方差,方差的性质,1.,设,c,是常数，则,D,(,c,),=,0,；,2.,若,a,，,b,是常数，则,Chebysherv,不等式,1.,多元随机变量函数的数学期望,离散型,连续型,随机向量的特征数,例,4.13,例,4.14,设,X,与,Y,相互独立，它们的概率密度函数分别为,2.,随机变量数学期望预方差的性质,(1),E,(,X,+,Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),；,(2),设,X,，,Y,相互独立，则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),；,请注意,:,由,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),不一定能推出,X,Y,独立,证明：,这里只对连续情况证明,(1)(2),相互独立时,(3),当随机变量,利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。,例,4.15,设随机变量,X,B,(,n,p,),，,求二项分布的数学期望。,X,B,(,n,p,),，,则,X,表示,n,重贝努里试验中的“成功”,次数。,解：,例,4.16,独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为,p,1,和,p,2,.,证明：产生故障的仪器数目的数学期望为,p,1,+,p,2,设产生故障的仪器数目为,X,则,X,的所有可能取值为,0,1,2,解,:,所以，,产生故障的仪器数目的数学期望,解：,随机变量间的,的,协方差与相关系数,Covariance and Correlation coefficient,随机变量间协方差与相关系数,Def,协方差的定义,相关系数的定义,Def,随机变量间协方差的计算,离散型,连续型,注意：,协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协,方差有单位，而相关系数无单位。,例,4.17,0,1,2,3,1,0,3/8,3/8,0,3/4,3,1/8,0,0,1/8,1/4,1/8,3/8,3/8,1/8,解：,边际分布如表,例,4.18,解：,边际概率密度为,随机变量间协方差与相关系数的性质,性质,5,6,说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。,证明,:,随机变量间线性无关的概念,Def,例,4.19,-1,0,1,1/3,1/3,1/3,解：,0,1,-1,1/3,0,0,0,1/3,1,1/3,0,这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。,随机向量的数学期望与,协方差矩阵,随机变量的条件数学期望与应用,一、条件数学期望的概念,Conditional expectation,1.,Def,设随机变量的条件分布存在，则条件数学期望定义,如下,2.,随机变量的条件数学期望的意义,反映了随机变量,的平均值对随机变量,的依赖,显然，,是,的函数，记其为,，即有,称其为,对,的回归函数或回归方程。,例,4.20,设二维随机向量,，求在,条件下随机变量,X,的条件数学期望。,解：,由例题,3.42,知,条件下随机变量,X,的条件分布为,所以，,条件下随机变量,X,的条件数学期望。,注意：,条件数学期望具有数学期望的所有性质二、条件数学期望的数学期望（重期望）,如果把条件数学期望,中的,换成,并记为,，则其为随机变量，其数学期望称,为,重期望,，即,定理,（重期望公式）,设,为二维随机向量，且,存在，则有,证明,：只对连续性情况证明,设,的概率密度为,令,，则有,重期望公式的应用,这公式提供了一个在大范围求平均的一种思想方法，,即所谓的,两次平均法,例,4.21,一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门,与一个经,3,小时路程可到达安全区的坑道连接；第二个门,与一个经,5,小时路程可回到原处的坑道连接；第三个门与,一个经,7,小时路程可回到原处的坑道连接。假定该矿工等,可能在三个门种选择，求他平均需要多少时间才能到达安,全区。,解,：设该矿工需要,小时到达安全区，则,的可能取值,显然有,由题设知,记矿工平均需要时间为,由重期望计算式,解的,解得,例,4.22,设电力公司每月可供给某工厂的电量,（单位：万千瓦），该厂每月实际需要电量,（单位：万千瓦）。如果工厂从电力公司得到足够的电力,则每万千瓦电力可创造,30,万元的利润，如工厂从电力公司,得不到足够的电力，不足部分通过其他途径解决，但每万,千瓦电力可创造,10,万元的利润，求该工厂每月的平均利润,.,解,：设该工厂每月的利润为,，则有,重期望公式知该工厂的约平均利润为,随机变量的特征函数,一、随机变量特征函数的定义与计算,Def,设,是一个随机变量，则称,为随机变量,的特征函数，其中,i,为虚单位。,特征函数的计算,设离散型随机变量的概率分布为,则随机变量的特征函数为,设连续型随机变量的概率密度为,则随机变量的特征函数为,例,4.23,例,4.24,例,4.25,例,4.26,二、随机变量特征函数的性质,例,4.27,例,4.28,例,4.29,例,4.30,三、特征函数的性质续,三、逆转公式与唯一性定理,例,4.31,