数理方程1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数理方程,数 学 物 理 方 程,主讲：王 正 斌,:,wangzb,答疑：周三中午,11,：,30,13,：,00,，教,2,426,南京邮电大学、理学院、应用物理系,Equations of Mathematical Physics,Refrences,：,1.,数学物理方法,(,第三版,),，梁昆淼 编,2.,矢量分析与场论,(,第三版,),，谢树艺,3.,数学物理方程的,MATLAB,解法与可视化,彭芳麟,4.,微分方程,5.,高等数学,Warnings and Announcements,Reading this book impairs your ability to drive a car or operate machinery.,This book has been found to cause drowsiness in laboratory animals.,Caution:FLAMMABLE-Do not read while smoking or near a fire.,数理方程这门学科的由来,:,20,世纪，物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。,现在，物理学的原理、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用，而且在,生命科学、环境科学、化学化工、,信息科学,等领域也出现了很大程度上的交,叉互融。物理学已经成为自然科学发展的重要基石。,随着科学的发展，对物理学提出了更高的要求。对于,物理场,及相关物理量,的描述，引进了数学中的,偏微分方程,。对于原子描述，引进了球函数的概念，,对于半导体器件的开发，引进了粒子“扩散和输运”的概念，很多数学理论和方,法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理的亲缘关系越来越明显。,数学物理方法,就这样应运而生了。,数学角度,线性微分积分方程,线性偏微分方程,线性积分方程,波动方程,(,双曲型偏微分方程,),恒定场方程,(,椭圆型偏微分方程,),输运方程,(,抛物型偏微分方程,),非线性方程,线性方程,数理方程,数理方程分类,物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理，数学的严谨推理和周密分析方法也应为物理所借鉴,线性偏微分方程,1.1,、概述,共性,：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究,某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说，,就是用数学物理方程表达物理规律。,这种物理规律反映的是同一,类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。,个性,：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就,是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是“恒定,表面浓度扩散”；另一种是“限定源扩散”,泛定方程,：在数学上同一类物理现象的共性称为泛定方程。,初始条件,：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象的特定历,史，也就是早先某个所谓的初始状态，也即初始条件。,定解问题,：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。,在数学上，边界条件和初始条件合称为,定解条件,。把在给定的定解条件下求解数,学物理方程称为数学物理定解问题或简称为,定解问题,。,边界条件,：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环境的影响，而,周围环境影响总是通过边界才传给研究对象的，因此周围环境的影响体现于边,界所处的物理状况，这就是边界条件,。,1.2,、数学物理方程的导出,数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来（,物理问题的数学建模,）,(1),首先确定所研究的物理量,(2),根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用,(,抓住主要影响，忽略次要影响,),，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量,(3),用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数学物理方程。,数学物理方程的导出步骤为：,受迫振动方程,自由振动方程,一、波动方程,(,弦振动方程,),问题,1,：均匀弦的微小横振动,Rdx,Cdx,Gdx,Ldx,dx,x,+,x,理 想 传 输 线,电报方程,问题,2,：传输线方程,问题,3,：电磁波波动方程,Maxwell Equations,结构方程,二、输运方程,问题,1,：扩散方程,扩散,：就是由于浓度的不均匀使得物质从浓度高的地方流入浓度低的地方；,应用：制作半导体器件就是常用扩散法；,输运方程,扩散定律,：,那么浓度的不均匀程度可以用浓度梯度,表示；,扩散梯度,：在扩散问题中研究的是浓度 在空间中的分布和随时间的变化,扩散强度,：扩散运动的强度可用扩散强度,表示，也即定义为,单位时间内通过,单位横截面积,的原子或分子或质量。,问题,2,：热传导方程,类似于扩散，温度不均匀时，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这,就是热传导问题。此时要研究的是温度在空间的分布和随时间的变化,热传导定律,:,物体内存在热源时得非齐次偏微分方程,三、恒定场方程,所谓的恒定场就是场量,不随时间变化,，而只与空间变量有关系,(U(,x,y,z),。,问题,1,：静电场,静电场表明电场强度,与时间无关，那么麦克斯韦方程组,Possion,Equation,Lapalce,Equation,Possion,Equation,Lapalce,Equation,波动方程、输运方程、恒定场方程之间有什么关系？,亥姆霍兹方程,时谐场函数的波动方程退化为亥姆霍兹方程,1.3,、定解条件,定解条件,初始条件,边界条件,衔接条件,1,、初始条件,对,输运方程,(,扩散、热传导,),，初始状态是指所研究的物理量,的初始分布,(,比如初始浓度分布、初始温度分布,),，因此初始条件为：,对,波动方程,(,弦、杆、传输线和电磁波,),，不仅需要给出初始“位移”，还要,给出初始“速度”,对,稳定场方程,呢？,例：,一根长为,，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振动，如图所示。,此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。,初始速度和初始位移分别为,:,0,=,x,l,x,=,2,l,x,=,h,x,u,2,、边界条件,边界条件：,研究具体的物理系统，还要考虑研究对象所处的特定,“,环境,”,，而周围,环境的影响常体现为边界上的物理状况。（可分为,三类,）,第一类边界条件,(Dirichlet,问题）,：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值,(2),细杆导热问题边界条件：杆的一端点,的温度,按已知的规律,变化，则该,端点的边界条件为,(1),弦振动问题的边界条件：弦的两端,和,固定而振动，则边界条件分别为,(3),恒定表面浓度扩散问题：硅片边界就是其表面,和,，边界上的物理状况为,第二类边界条件（,Neumann,问题）,:,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上,方向导数的数值,(1),纵振动的杆问题：杆的某个端点 受有沿端点外法线方向的外力,根据胡,克定律，该端点的张应力与外力的关系为,:,(2),细杆导热问题：若杆的某个端点,有热流,沿该端点外法线方向流出，根据,热传导定律，则边界条件为：,若热流,f(t),是流入，则边界条件为,:,若端点绝热，则,：,第三类边界条件：,规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上,的数值。,H,为常系数。,(1),细杆导热问题：,杆的某端点,自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律交换热量，则自由冷,却规定了从杆端流出的热流强度,与温度差,之间的关系为,:,h,为杆端与周围介质的热交换系数,对杆的两端都是自由冷却，那么在,端，外法,向,n,就是,x,方向，而在,端，外法向,n,就是,-x,方向，则自由冷却条件分别表示为：,3,、定解问题泛定方程,+,定解条件,定解问题,长为 的细弦两端固定，开始时在 处受到冲量 的作用,定解问题的适定性,：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；,若 一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。,例,1,：试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：,例,2,、设一圆膜边界固定，周围介质阻力可忽略不,计，且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布，试给,出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的定解问题。,(a),(,第一类边界条件,),(b),因为当沿杆长方向有热量流动时由,Fourier,热传导定律（即热流强度 ）有,（,c,）显然，此时有,可看为第三类边界条件,例,3,、考虑长为,的均匀杆的导热问题，写出以下三种情况下的边界条件,（,a,）杆的两端温度保持零度；,（,b,）杆的两端均绝热；,(c),杆的一端为恒温零度，另一端绝热；,解：设杆的温度为,例,4,、试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：,例,5,、有一长为 的均匀细杆，侧面与外界无热交换，杆内有强度随时间变化,的热源，设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度，且杆的一端保持,零度，另一端绝热，写出定解问题。,1.4,、数学物理方程的分类,1,、线性二阶偏微分方程模型的一般形式,多自变量的线性二阶偏微分方程表示为,:,该方程为齐次的,该方程为非齐次的,方程线性、非线性如何判断？,2,、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类,作自变量的代换,把变换的新自变量,代入原偏微分方程中得：,形式相同,适当选取 和,，使其满足下列一阶偏微分方程,原方程的特征方程,特征方程对应的解为,:,根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型,:,积分得特征线,(1),双曲型方程,由特征方程可以得,那么特征线为,:,作为新的自变量,则,原偏微分方程化为双曲线方程的标准形：,若再作自变量代换,：,利用变换关系，原方程变成：,这也是双曲线方程的标准形,(2),抛物型方程,那么特征线是：,代入变换系数,抛物型方程的标准形式,(3),椭圆型方程,由特征方程的解可以得到特征线为,:,作代换：,3,、举例,例,1,、讨论方程,的类型，并化成标准型、求其通解。,例,2,、将 化为标准型。,例,3,、将,化为标准型。,例,4,、设有二阶方程,，其中 为一数值参,数，求此方程的双曲型，椭圆型和抛物线型区域，并说明 对这些区域的影响。,4,、三类方程从数学角度的分类：,Thanks for your attention!,