现代控制理论ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 线性系统的能控性和能观性,1,、,能控性和能观性,是现代控制理论两个重要的基本概念。,1960,年由卡尔曼首先提出。,-,卡尔曼（,RE.Kalman,),美籍匈牙利人，是现代控制理论的主要奠基人之一。首先引入状态空间分析法，提出能控能观、最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。,2,、能控性是,u(t),支配,X(t),的能力，回答,u(t),能否使,X(t),作任意转移的问题；,3,、能观性是,Y(t),反应,X(t),的能力，回答是否能通过,Y(t),的量测来确定,X(t),的问题。,古典中：,C(s),既是输出又是被控量,(1),、,C(s),肯定与,R(s),有关系，,(2),、,C(s),肯定是可测量的，,因此，只要满足稳定，肯定能控能观,现代中：,被控制量是,X,（,状态变量）,问题：,1,、每个状态,X,(t),是否受,u(t,),控制,2,、状态变量在系统内部，能否通过观测,Y,(t),来测量,X,(t),分析：,1,、,x,1,与输入,u,无关，不能控，,x,2,能控，,x,1,x,2,不完全能控。,2,、,y=x,1,+x,2,x,1,或,x,2,都能对,y,产生影响，通过,y,能确定,x,1,或,x,2,，能观测。,3,、能控能观是最优制和最优估计的设计基础。3.1,线性连续系统的能控性,一、线性时变系统的能控性,（一）定义：对于系统,若存在输入信号,u(t),，,能在有限时间区间,t,0,t,f,内将系统的任意一个初始状态,x(,t,0,),转移到终端状态,x(t,f,),称,x(t),在,t,0,时刻或,t,0,t,f,区间上是完全能控的，或称系统在,t,0,时刻是能控的，否则不能控。,（二）性质 线性时变系统方程的解,意义：系统状态,x(t,0,),能控，即,t,0,t,f,区间上受,u(t),控制。,（三）能控性判据,定理,3.1,系统,(,A(t),B(t),C(t),在,t,0,时刻或,t,0,t,f,完全能控的充要条件是矩阵t,0,t)*B(t),是行线性无关的（满秩的、非奇异的）,注意：,1,、某些状态能控,系统完全能控,2,、系统完全能控,肯定状态能控,系统，如果存在分段连续的,u(t),在,t,0,t,f,内，将系统的任一,x(t,0,),转移到,x(t,f,),称此系统是状态完全能控制的，或状态能控的。若,n,个状态变量中，至少有一个状态变量,不能控时,称系统是状态,不完全能控或不能控,.,二、线性定常系统的能控性,（一）定义,:,对,（,二）能控性判别准则,:-,三个定理,定理,3.2,线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵,是满秩的,证明：线性定常系统状态方程的解,方程有解的充要条件是系数阵满秩 即都,与,u,有关，所以状态完全能控，即能控,例,3.2,有系统如下，判断其是否能控,解：,故,它是,一个三角形矩阵，斜对角线元素均为,1,，不论,a,2,、,a,1,取何值，其秩为,3,，系统总是能控的。因此把凡是具有本例形式的状态方程，称之为能控标准型。,定理,3.3,若线性定常系统的系数矩阵,A,有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩阵,B,没有任何一行的元素全部为零。,定理,3.4,若,A,为约旦型，则系统能控的充要条件是 （,1,）,B,中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零。（,2,）,B,中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。,例,3.4,判断下列系统的能控性,所以,A,为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块对应,b,虽为最后一行全为,0,的元素行，仍不能控，可算出,rankM3.,结论：系统的能控性，取决于状态方程中的,A,和,B,。,3.2,线性定常离散系统的能控性,一、定义 对于线性定常离散系统,x(k,1,）,Gx(k)+Hu(k,),如果存在控制信号序列,u(k),、,u(k+1)u(n-1),，,使得系统从第,k,步状态,x(k),开始，能在第,n,步上达到零状态（平衡状态），即,x(n,),0,，,其中,n,为大于,k,的某一个有限正整数，称系统在第,k,步上是能控的，,x(k),称为系统在第,k,步上的能控状态。,如果对于任一个,k,，第,k,步上的状态,x(k,),都是能控状态，则系统都完全能控，称系统完全能控。,注意：控制信号序列有限，但规律和大小没有限制,二、判别准则,定理,3.5,线性定常离散系统,(G,H),状态能控的充要条件是能控性矩阵,证明：,离散解：,假设能控，经,n,步，,x(k)=x(n)=0,写成,其中,u(0)u(n-1),T,为,n,个未知，方程有解的充要条件是系数阵满秩，即,说明：形式上同连续系统，,AB,GH,例,3.5,已知,判断是否能控,解：,说明：也可把矩阵,G,化为对角形或约旦标准型后，按定理,3.3,、,3.4,判别系统是否能控。,3.3,线性定常系统的能观测性,一、定义：系统,如果对任意给定的,u(t),，,在有限观测时间内,t,0,t,f,内测量值，就能唯一地确定,x(t,0,),则称,x(t,0,),是能观,的，如果每个,x(t,0,),是,能观，称状态完全能观，简称状态能观,-,二、判别准则,定理,3.7,线性定常系统,(A,B,C),状态能观测的充要条件是,系统能观测性与输入向量无关，令,u(t)=0,t,0,=0,可见，根据在,0,t,f,量测的,y(t),能将初始状态,x(0),唯一地确定下来地充要条件是,例,3.8,、若系统为,试,判断系统的能观测性,定理,3.8,若矩阵,A,有互不相同的特征值，则系统能观测的充要条件是输出矩阵,C,没有任何一列的元素全部为,0,。,定理,3.9,若矩阵,A,为约旦型，则系统能观测的充要条件是 （,1,）输出矩阵,C,中对应于互异特征值的各列，没有一列的元素全为,0,。（,2,）,C,中与每个约旦块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为,0,。,例,3.10,下列的一些系统是完全能观测的,下列的系统是不完全能观测的,三、线性定常离散系统的能观测性,（一）定义：当,u(k),给定，根据第,i,步，以及以后若干步对,y(i),y(i+1)y(n),的测量，就唯一地确定出第,i,步的,x(i),，称,x(i),是能观的。如果每个,x(i),都能观，称状态完全能观，简称状态能观。,（,二）判别准则定理,3.10,线性定常离散系统状态能观测的充要条件是,证明,假设观测从第,0,步开始，令,u(k,),0,，,则,3,.5,对偶原理,一、线性系统的对偶 关系,称,系统,1,和,2,是互为对偶的。,1,是,2,的对偶系统或,2,是,1,的对偶系统。,（,二）对偶系统的结构图特点,（,1,）输入端与输出端互换，信号传递方向相反 （,2,）信号引出点和信号综合点互换 （,3,）对应矩阵转置,（三）对偶系统的传递函数互为转置,1,图表示用,u1(t),控制,y1(t),是“控制问题”，,2,图表示用输出量去求输出量，称为“估计问题”,对偶系统的特征值是相同,二、对偶原理,系统,1,(A,1,B,1,C,1,),和,2,(A,2,B,2,C,2,),是互为对偶的两个系统，则,1,的能控性等价于,2,的能观性，,2,的能观性等价于,1,的能控性。或者说，若,1,是状态完全能控的（完全能观的），则,2,是完全能观的（完全能控的）,证明：对,2,而言，能控性判别矩阵,的秩为,n,，,则系统状态完全能控的。,说明,1,的能观性判别矩阵,N,1,的秩也为,n,，,从而说明,1,为完全能观的。同理有,即,若,2,的,N,2,满秩，,2,为完全能观，则,1,的,M,1,亦满秩而为状态完全能控。,3,.6,线性系统的结构分解,（,1,）当系统不能控或不能观测时，并不是所有状态都不能控或不能观测（可通过坐标变换对状态空间进行分解。）（,2,）把状态空间按能控性或能观性进行结构分解。,一、结构分解举例,由定理,3.3,知：,x,1,x,2,能控，,x,3,x,4,不能控,由定理,3.8,知：,x,2,x,3,能观测，,x,1,x,4,不能观,系统有：,（,1,）能控能观,（,2,）能控不能观,（,3,）不能控能观,（,4,）不能控不能观,四种情况,结构图：,x,1,能控不能观,x,2,能观能控,x,3,不能控能观,x,4,不能控不能观,上述是通过变换把一个系统分解成,4,个子系统,二、系统按能控性分解,(,一,),定理,3.10,设系统,(A,B,C),不能控，则,rankM,=rankB,ABA,n-1,B=rn,，,必存在一非奇异矩阵,T=,R,c,，,使得,则,系统得状态空间被分解成能控和不能控的两部分,(,二,),变换矩阵,T,的求法：（,1,）从,M=B,ABA,n-1,B,中选择,r,个线性无关的列向量 （,2,）以（,1,）求得的列向量，作为,T,的前,r,个列向量，其余列向量可以在保持,T,为非奇异的情况下，任意选择。,(,三,),说明：（,1,）系统按能控性分解后，其能控性不变。（,2,）系统按能控性分解后，其传递函数阵不变。,三、系统按能观测性分解,(,一,),定理,3.11,设系统,(A,B,C),不能观，则,原状态方程被分解成能观和不能观测的两部分,(,二,),变换矩阵,R,0,的求法：,例,3.16,设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将该系统按能观性进行分解。,解：系统的能观性判别矩阵,所以该系统是状态不完全能观的。,为,构造非奇异变换阵,R,0,-1,，,取,得,其中,R,3,是在保证,R,0,-1,非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为,3.7,系统的实现,一、概念：根据给定的传递函数阵,G(s),，,求其相应的状态空间表达式,(A,B,C,D),使其满足,C(SI-A),-1,B+D=G(S),，,称该状态空间表达式,(A,B,C,D),为传递函数阵,G(S),的一个实现。,二、实现的目的是为了仿真（做模仿）通过模拟结构图，用积分器、加法器等（集成电路块）连接试验，物理可实现条件为,1,、,G(S),中的每一个元素,G,ij,(S,),的分子分母多项式的系数均为实常数。,2,、,G(S),中每一个元素均为,S,的真有理分式函数,三、如何实现：,状态变量的选择有无穷多组，实现的方法有无穷多。单变量系统可以根据,G(S),直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。,四、最小实现,（,2,）定理：,G(S),的一个实现,为,最小实现的充要条件是 （,A,B,C),不但能控而且能观。,（,3,）确定最小实现的步骤,1,、对,G(S),初选一种实现,(A,B,C),，,通常选取能控或能观标准型实现，检查其实现的能控性（或能观性），若为能控又能观则,(A,B,C),便是最小实现。,2,、否则对以上标准型实现,(A,B,C),进行结构分解，找出其完全能控又完全能观的子系统,这,便是,G(S),的一个最小实现。,3,.8,能控性和能观性与传递,函数阵的关系,一、定理,3.12,：对于单变量系统，如果,G(S),存在零极点对消，则由状态变量选择而定，要么能控不能观，要么能观不能控,或既不能控也不能观，若没有零极点对消，则状态能控能观。,从,状态空间看：,从,传递函数阵看：,1,、没有零极点对消，能控能观，,2,、有零极点对消，就会存在,由,定理可得以下推论：,G(s),所表示的仅仅是该系统既能观又能控的那一部分子系统，所以,G(s),是系统的一种不完整描述,G(s),若有零极点对消，就会出现不能控或不能观。,二、定理,3.13,：对于多变量系统，系统能控又能观的充分条件是其传递函数阵,G(s),中无零极点对消。（不是必要条件）。,