高考数学二轮复习考前回扣4数列不等式学案.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料4.数列、不等式1等差数列及其性质(1)等差数列的判定：an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)(2)等差数列的性质当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1n n12dd2n2a1d2n是关于n的二次函数且常数项为 0.若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0、0、0 三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合 问题 5 解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式化为x1a(x1)0.当 0a1 时，不等式的解集为x1x1时，不等式的解集为x1ax1；当a1 时，不等式的解集为?.6处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法(2)转化为求函数最值问题，如大于零恒成立可转化最小值大于零(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形 问题 6 如果kx22kx(k2)0 恒成立，则实数k的取值范围是 _答案(1,0 解析当k 0时，原不等式等价于20，显然恒成立，所以k0 符合题意当k0时，由题意，得k0，2k24k k2 0，解得 1k0.所以 10，ab0，3a4b0，所以a0，b0.又 log4(3a4b)log2ab，所以 log4(3a 4b)log4(ab)，所以 3a4bab，故4a3b1.所以ab(ab)4a3b74ba3ab7 24ba3ab7 43，当且仅当4ba3ab时取等号8解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象)(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离(3)代：将合适的点代入到原来目标函数中求最值利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题(1)截距型：如求zyx的取值范围(2)条件含参数型：已知x，y满足约束条件x20，y10，x 2yk0，且zyx的最小值是 4，则实数k2.已知x，y满足约束条件x20，y10，x2yk0，且存在无数组(x，y)使得zyax取得最小值，则实数a12.(3)斜率型：如求ybxa的取值范围(4)距离型(圆半径平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范围 问题8 已知x，y满足约束条件xy0，xy2，y0.若zaxy的最大值为4，则a_.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案2 解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1 或x2，y0，经检验知x2，y0 符合题意，所以2a04，此时a2.易错点 1 忽视等比数列中q的范围例 1 设等比数列 an 的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列 an的公比q _.易错分析没有考虑等比数列求和公式Sna11qn1q中q1 的条件，本题中q1 恰好符合题目条件解析当q1 时，S3S69a1，S9 9a1，S3S6S9成立当q1 时，由S3S6S9，得a11q31qa11q61qa11q91q.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q 1.答案1 或 1 易错点 2 忽视分类讨论例 2 若等差数列 an 的首项a121，公差d 4，求Sn|a1|a2|a3|an|.易错分析要去掉|an|的绝对值符号，要考虑an的符号，对n不讨论或讨论不当容易导致错误解an21 4(n 1)254n.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料令an0，得n6，nZ.当n6时，Sn|a1|a2|an|a1a2an 2n223n；当n7 时，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n 132.所以Sn2n223n，n6，2n223n 132，n7.易错点 3 已知Sn求an时忽略n1 例 3 已知数列 an 的前n项和为Sn，a11，an1 2Sn(nN*)，求数列 an的通项an.易错分析anSnSn1成立的条件是n 2，若忽略对n1 时的验证则出错解因为an12Sn，所以Sn 1 3Sn，所以Sn1Sn3.因为S1a1 1，所以数列 Sn 是首项为1、公比为3 的等比数列，Sn3n1(nN*)所以当n2 时，an2Sn123n2(n2)，所以an1，n 1，23n2，n2，nN*.易错点 4 数列最值问题忽略n的限制例4已 知 数列 an 的通 项 公式 为an(n 2)910n(nN*)，则 数列 an 的最 大 项是_易错分析求解数列 an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误解析因为an1an(n3)910n1(n2)910n910n7n10，当n0，即an1an；当n7 时，an 1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a9a10，所以此数列的最大项是第7 项或第 8 项推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案第 7 项或第 8 项易错点 5 裂项法求和搞错剩余项例 5 在数列 an 中，an1n12n1nn1，又bn1anan1，则数列 bn 的前n项和为_易错分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的解析由已知得an1n12n 1nn11n1(1 2n)n2，从而bn1anan 11n2n12 41n1n1，所以数列 bn 的前n项和为Sn4112121313141n1n14 11n14nn 1.答案4nn1易错点 6 线性规划问题最优解判断错误例 6 P(x，y)满足|x|y|1，求axy的最大值及最小值易错分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看参数a的符号 忽视参数的符号变化，易导致最值错误解P(x，y)满足的线性区域如图所示当a1 时，直线yaxt分别过点(1,0)与(1,0)时，axy取得最大值与最小值，其值分别为a，a.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料易错点 7 运用基本不等式忽视条件例 7 函数yx25x24的最小值为 _易错分析应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域解析yx25x24x24 1x24x241x24.设tx24，则t2，所以函数变为f(t)t1t(t2)这时，f(t)在2，)上单调递增，所以f(t)f(2)52，所以函数yx25x24的最小值为52.答案521不等式22112xx1的解集是 _答案1，12解析不等式22112xx1，2x2x10，即(2x1)(x1)0，解得 1x12，原不等式的解集为1，12.2已知等差数列an 的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为 _答案2解析因为 an 成等差数列，所以a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a3，所以方差为15(2d)2(d)20(d)2(2d)2 2d28，解得d2.3 已知数列 an 满足13na93na(n N*)且a2a4a6 9，则13l o g(a5a7a9)_.答案 3 解析由已知1239 33nnnaaa，所以an 1an2，所以数列 an 是公差为2 的等差数列，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料a5a7a9(a23d)(a43d)(a63d)(a2a4a6)9d992 27，13log(a5a7a9)13log 27 3.4若命题“?xR，ax2ax20”为真命题，则实数a的取值范围是_答案 8,0 解析当a 0时，20，不等式显然成立；当a0时，由题意知a0，a28a0，解得 8a0，x0，y0，则z 2xy的取值范围是 _答案(4,0 解析由z 2xy，得y2xz，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图，平移直线y 2xz，由图象可知当直线y 2xz经过点A(2,0)时，直线y2xz的截距最大，此时z最小当直线y2xz经过点O(0,0)时，直线y2xz的截距最小，此时z最大所以z的最小值为4，最大值为0.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料即 40，所求可转化为t3x8y.又x2y8，2x3y2，x，y0可化为x 2y8，y3x2x232x232，x1，y0，可行域如图所示，当直线t 3x8y与曲线y3x2x2相切时有最小值，当直线t3x8y经过点A时有最大值推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由x2y8，y3x2x2，解得A(2,3)，即tmax30.又y3x2x2，所以y62x2238，解得x3，y94，即切点坐标为3，94，所以tmin27，即t的取值范围为27,30方法二因为2a3b2c16a2b，所以 84ba3ab16，即4ba3ab8，解得23ab2，所以3a 8bc8 3a8ba 2b8 32ba2b832ab230；由2a3b2c可知，1c1a32b，则3a8bc(3a8b)1a32b158ba9a2b27，当且仅当8ba9a2b，即 3a4b时，取等号故3a8bc的取值范围为27,309已知ab2，b0，当12|a|a|b取最小值时，实数a的值是 _答案 2 解析方法一12|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|b142 b4|a|a|b34，当且仅当a0，所以12|a|a|b12|a|a|2a，a2.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料设f(a)12|a|a|2a，a2，则f(a)12aa2a，0a2，12aa2a，a0.当a0时，f(a)12aa2a，从而f(a)12a22a22 3a2a22a2a22，故当a2 时，f(a)0；当 2a0，故f(a)在(，2)上是减函数，在(2,0)上是增函数，故当a 2 时，f(a)取得极小值34；同理，当0a0，ba，两边平方得aba2a bam2b，即b2a bam2b，于是m21 2 abab2，令abt(0t1)，则m21 2tt2在 0k的解集为 x|x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)k?kx22x6k0.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由已知 x|x2是其解集，得kx22x6k0 的两根是 3，2.由根与系数的关系可知，(2)(3)2k，即k25.(2)因为x0，f(x)2xx262x6x22666，当且仅当x6时取等号由已知f(x)t对任意x0 恒成立，故t66，即t的取值范围是66，.12已知各项均为正数的数列an 的前n项和为Sn，满足 8Sna2n4an3(n N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列bn的前三项(1)求数列 an及bn的通项公式；(2)是否存在常数a0 且a1，使得数列 an logabn(nN*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)当n1 时，8a1a214a1 3，a11 或a1 3.当n2时，8Sn1a2n14an13，anSnSn118(a2n4ana2n14an1)，从而(anan1)(anan14)0.因为 an的各项均为正数，所以anan14.所以，当a11 时，an4n3；当a13 时，an4n1.又因为当a11 时，a1，a2，a7分别为 1,5,25，构成等比数列，所以bn5n 1.当a13 时，a1，a2，a7分别为 3,7,27，不构成等比数列，舍去所以数列 an 和bn 的通项公式分别为an4n3，bn5n1，nN*.(2)存在满足条件的a，理由如下：由(1)知，an4n3，bn5n1，从而an logabn 4n3 loga5n1 4n3(n1)loga5(4 loga5)n3loga5.由题意，得4loga50，所以a45.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料