第1章_复数和复变函数.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,复变函数,主讲人：唐丹,主要内容,1.,复数和复变函数,(4,学时,),2.,解析函数,(8,学时,),3.,复变函数的积分,(6,学时,),4.,级数,(6,学时,),5.,留数及其应用,(4,学时,),有关应用,第一章 复数和复变函数,1.1,复 数,一、复数的概念,2.,特例,:,y=0,z=x-,实数,x=0,z=iy-,纯虚数,1.,复数,:,z=x+iy (x,y,R,);,虚数单位,:,i ();,实部,:,x,记为,:Rez=x;,虚部,:,y,记为,:Imz=y.,x,2,=-1,注,:复数不能比较大小,两复数相等,:,Z,1,=Z,2,注,:,z=0 x=y=0,共轭复数,:,z=x+iy,=x-iy,二、复数的四则运算,:,设,1.,加,.,减法,:,2.,乘法,:,3.,除法,:,理解,三、复数的性质,:,1.,加法、乘法,:,满足结合,交换,分配律,;,2.,共轭复数性质,:,复数加减乘除的共轭,=,共轭的加减乘除,例,1.,求下列复数的实部和虚部,共轭复数,例2.设z=x+iy,y,0,z,i,证明:当且仅当,时,是实数,证明:,1.2 复数的,几种表示,一,.,复数的表示方法,:,1.,代数表示,:,z=x+iy,2.,点表示,:,3.,向量表示,:,4.,三角表示,:,5.,指数表示,:,二,.,复数的模与辐角,1.,模,:,向量的长度,|z|.,2.,辐角,:,1),定义,:,Argz.,2),特点,:,有无穷个,3.,辐角主值,:,4.,注,:,(1),当,z=0,时,辐角无意义,;,(2),共轭复数：,例,1,：求 的三角表达式,例,2.,设,求,的,三,角表达式,.,解,:,三,.,用复数的三角表达式作乘,除法,1.,两复数相乘：,结论：模相乘，辐角相加,结论：模相除，被除数辐角减除数辐角,2.,两复数相除：,复数乘法的几何表示：,例,3.,利用复数的三角表达式计算,四,.,复数的乘方与开方,1.,复数的乘方,1),定义,:,2),若 ，则有,3),公式,:,当 时，,例,4,：求,例,5,:,已知 ，求,.,2.,开方,1),定义,:,复数,z,的,n,次方根,2),三角表示式,:,注,:,k=0,1,2,n-1,例,6.,解方程,.,例,7.,计算,例,8.,试写出方程 的复数形式,.,五,.,模的三角不等式,1.3,平面点集,一,.,开集与闭集,1.,邻域,:,平面上以 为中心，为半径的开圆表,示为：,称为 的邻域,.,去心邻域,:,由 所确定的点集，称,为 的去心邻域,，,设,G,为一平面点集,2.,内点,:,为,G,中任一点,若存在 的一个邻域,该邻域内,的所有点都属于,G,则称 为,G,的内点,.,开集,:,如果,G内每一个点都是它的内点,则称,G,为开集,.,3.,边界点,:,是一个点,若在 的任一邻域内既有,G,的点,也有非,G,的点,则称 是,G,的一个边界点,边界,:,G,的边界点全体,4.,闭集,:,若,G,的边界也属,G,则称,G,为闭集,5.,有界集,:,若存在一个以,z=0,为中心的圆盘包含,G,称,G,为,有界集,无界集,:,否则称,G,为无界集,.,例,:,1)G=z:|z|R,开集,;,2)G=z,:|z|R,闭集,;,3)G=z,:|z|R,|z|=R,是,G,的边界,二,.,区域,:,1.,连通,:,D,中任何两点都可用完全属于,D,的一条折线,连接起来,.,2.,区域,:,D是开集且连通,记为,D.,3.,闭区域,:,区域,D,与边界一起构成闭区域,(,区域,),记为,例,:,指出下列各式所表示的点集是怎样的图形并指出哪些是区域,.,1),2)|z+2-i|1,3,）,0argz1/3,解,:,1),不含,y,轴的右半平面,区域,;,2),以,z=-2+i,为圆心,1,为半径的圆周及其外部区域,;,闭区域,;,3),介于,argz=0,和,argz=1/3,之间的一个三角形区域,区域,.,三平面曲线,1.,曲线表示方法,:,1),用实变数的复值函数表示,:,z(t)=x(t)+iy(t)(atb),2),用动点,z,所满足关系式表示,:,例,:,以,z=0,为中心,以,a,为半径的圆周,(1),用参数方程可表示为,:,z=a(cost+isint),(2),用动点,z,所满足关系式表示为,:|z|=a,例,:,满足下列关系的,z,是什么曲线,?,1)|z-a|=|z-b|(a,b,为复常数,).,2)Re(1/z)=k (k,为实常数,).,解,:,1),以,a,b,为端点线段的垂直平分线,;,2)Re(1/z)=k (k,为实常数,).,概念：,1）重点：,设：z=z(t)(a,t,b)为一条连续曲线，,z(a)与z(b)分别表示的起点与终点，对于,满足 的 ,当,而有 时，点 称为曲线,C的重点，,）简单曲线：,无重点的连续曲线称为简单曲线或约,当（Jordan）曲线；,）简单闭曲线：,z(a)=z(b),曲线C称为简单闭曲线，,例如，,是一条简单闭曲线（如图1.9）.,图,1.9,解释：,简单曲线,是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；,简单闭曲线,除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，,如,:,图,1.10,中的 是简单曲线,是简单闭区域，图,1.11,中的 ，不是简单曲线，但 是闭曲线,.,图,1.10,图,1.11,4)光滑曲线:,若在区间a,t,b上,都是,连续的,且对于t的每一个值,有,那么这曲线称为光滑的,5)分段光滑曲线:,由若干段光滑曲线衔接而成的曲,线称为分段光滑曲线.,解释,都是连续无角点,连续曲线,-模不为0,3.,连通区域种类,:,单连通域、多连通域,.,1),单连通域,:,设,D,是一区域,如果对,D,内的任一简单闭曲线,曲线的内部总属于,D,则称,D,为单连通区域,2),多,(,复,),连通域,:,否则称为多,(,复,),连通区域,.,解释,:,单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，,而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图,1.12,）,.,图,1.12,*例,:,判下列点集是否是区域,是单连通还是多连通,?,1)Rez=Imz;,2)0|z-i|1,四无穷远点,1.,无穷大,:,1),定义,:,2),四则运算,:,(1),加法,:,(2),减法,:,(3),乘法,:,(4),除法,:,3),注,:,下列运算无意义,:,2,无穷远点,1),无穷远点,:,设想有一理想点与之对应,;,2),扩充复平面,:,复平面加上无穷远点,;,注,:,复平面上的每一条直线都通过无穷远点,.,3),邻域,:,|z|M(,其中实数,M0);,4),去心邻域,:,M|z|+,.,1,.4,复变函数,一.复变函数的概念,1.定义:,复变函数:,设G是复平面一点集,若对于G中任一点,z有确定的(一个或多个)复数w与之对应,则称w是定义在 G上的复变函数,简称复,变函数,记作w=f(z).其中z称为自变量,w称为因变量.,(定义域与值域可从高数中移植过来),2.分类:单值函数:,若对每一z,G,有惟一w同其对应,则称w=f(z)为单值函数;,多值函数:,不是单值函数的函数.,3.,注,:,(,1)w=f(z),相当于一对二元实函数,设,z=x+iy,则,w=f(z),可写成,W=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y),其中,U(x,y),与,v(x,y),为实值函数,.,分开上式的实部与虚部,得,u=u(x,y),v=v(x,y),(2),其性质取决于,u=u(x,y),与,v=v(x,y),的性质,.,例,1,将定义在复平面上的复变函数,化为一对二元实变函数,.,例,1,将定义在复平面上的复变函数,化为一对二元实变函数,.,解 设 ，,代入 得,比较实部与虚部得,，,例,2,将定义在复平面除原点区域上的一对二,元实变函数,，（）,化为一个复变函数,.,例,2,将定义在复平面除原点区域上的一对二,元实变函数,，（）,化为一个复变函数,.,解 设 ，则,将 ，以及,得,二,.,复变函数的极限与连续性,1.,极限,:,1),定义,设函数,f(z),在 的去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式,的所有,z,，对应的函数值,f(z),都满足不等式,则称复常数,A,为函数,f(z),当 时的极限，记作,或,2),注,由于 是复平面上的点,因此,z,可以任意方式趋近于,但不论怎样趋近,f(z),的值总是趋近于,A.,3),运算法则,:,类似于实函数极限的运算法则,.,例,5),计算方法,:,可归结为实数对极限的计算,.,定理,设 ，则,的充分必要条件为,:,注,:,求极限方法种类：,1,、转化为求两个二元实函数,u=u(x,y),v=v(x,y),的极限问题,.,2,、直接计算。,例,3,试求下列函数的极限,.,（,1,）,分析,:,两种方法,法一,:,将式化为代数式,按二元函数求极限的方法,;,法二,:,将式视为自变量为,z,的一元函数,按一元函数求,极限方法,.,例,3,试求下列函数的极限,.,（,1,）,解,:(1),法,1,设 ，则 ，且,得,法,2,(2),分析,:,按一元函数求极限方法,.,(2),解,例,4,试问 的极限是否存在,?,分析,:,要讨论,z,趋于零的方式,.,例4 试问 的极限是否存在?,解:,当z沿实轴方向趋于0时,即取z=x(x,0),则,当z沿虚轴方向趋于0时,即取z=y(y,0),则,两个不同方向的极限不相等,故其极限不存在.,2.,连续,1),定义,:,设,f(z),在点 的某邻域内有定义,若 ，则称函数,f(z),在点 处连续,.,若,f(z),在区域,D,内每一个点都连续,则称函数,f(z),在区域,D,内连续,.,2),连续充要条件,:,定理,函数,在 处连,续的充要条件是 和 都在点,处连续,.,3)定理:,在 连续的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在 不为0)在 处连续;,若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数,在 处连续（证略）.,例,5,求,例,5,求,解,因为 在点 处连续，故,