普通物理力学例题总结.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解：,x,y,45,0,错误做法：,1,秒钟时的速率：,例,1,：,已知运动方程,x,=2,t,y,=,t,2,求,及,1,秒时的速率,x,=,-,4,时，,t,=2,解：,质点的运动轨道方程为：,x,y,O,以及,x,=-,4,时,(,t,0,),粒子的速度、速率、加速度。,例,2,：,一质点运动函数为,(SI)，,求质点的运动轨道,速度：,速率：,加速度：,例：己知一质点按顺时针方向沿半径为,R,的圆周运动。,其路程与时间关系为,(,V,0,、,b,为常数,),求,:,(1),t,时刻,质点的加速度,(2),t=,?,时,，此时质点己沿圆周运行了多少圈?,(3),质点何时开始逆时针方向运动?,解,:,(1),大小,:,方向,:,m,o,.,t,时刻路程：,(3),由前面,a,t,=-b,可知,质点作减速率圆周运动,。,当,V,减到,0,值时，质点将终止顺时针转，而开始,逆时针转。此时刻记为,t,也正是前求,a=b,的时刻,t,。,例：雨天一辆客车在水平马路上以,20,m/s,的速度向东,开行，雨滴在空中以,10,m/s,的速度垂直下落。求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。,解：已知,方向向东,方向向下,所以雨滴相对于车厢的速度大小为,22.4,m/s,，,方向为南偏西 。,例：一人骑车向东而行，当速度为,10,m/s,时感到有南风，速度增加到,15,m/s,时，感到有东南风，求风的速度。,解：,x,y,10,m/s,南风,45,m/s,=27,15,m/s,o,？考虑：,在不同的参照系,对同一质点的运动状态进行描述,设,t,=0,时，两坐标系原点重合。,t,时刻的运动情况如下：,例：一列车（,S,系）,相对于地面（,S,系）作匀速直线运动,一人在,车厢内运动,。分别在,S,、,S,系分别对其进行描述。,S,相对,S,平动,速度为,u,A,A,B,r,r,r,0,O,O,x,x,y,y,S,系,S,系,u,位矢变换关系式,:,两边微分,再对上式求导得,绝对速度,=,相对速度,+,牵连速度,我们能看出什么？,位移变换关系式,:,例：质量都等于,m,的二物,A,和,B,由两根不可伸 长的轻绳和两个不记质量的滑轮,I,、,II,连接。,求,:A,、,B,二物的加速度和两绳的拉力。,A,B,I,II,T,1,T,2,a,1,a,2,A,mg,T,1,a,1,B,mg,T,2,a,2,T,1,T,2,T,2,解：隔离物体，分别做受力分析：,列动力学方程：,A：,mg-T,1,=ma,1,B：,mg-T,2,=ma,2,滑轮,II,：,T,1,=2 T,2,A,、,B,两物关联,：,a,2,=-2a,1,求解,.,x,mg,T,例,2,：质量为,m,的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹性系数,k,）,连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长,让物体自由下落。,求,:,物体的速度随位置变化的关系。,解：,mg-T,=ma,列动力学方程：,T,=,kx,解,:,二维空间的变力情况。,(1),选,m,为研究物体；,(3),分析受力,(2),建坐标,x,o,y,；,v,x,0,=,v,0,cos,f,v,y,0,=,v,0,sin,f,初始条件：,t=,0,时,x=,0,，,y=,0,x,y,o,m,例：有阻力的抛体问题：,质量为,m,的炮弹，以初速度,v,0,与水平,方向成仰角,射出。,若空气阻力与速度成正比,，,即,求,:,运动轨道方程,y,(,x,)=?,(4),列方程,:,分量方程,分离变量,分别积分,(5),解方程,:,消去,t,，,得轨道方程：,再次积分,得,得,例,：一根不可伸长的轻绳跨过固定在,O,点的水平光滑细杆，两端各系一个小球。,a,球放在地面上，,b,球被拉到,水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将,b,球,自静止释放。设两球质量相同。,求：,(1),b,球下摆到与竖直线成,角时的,v,；,(2),=?,a,球刚好离开地面。,a,O,b,(1)B,的运动：,解：,a,O,b,选,自然坐标系,列分量方程：,a,球离开地面前,b,做半径为,l,b,的竖直,圆周运动,。,由切向方程式得：,(2),a,的受力和,运动：,mg,N,T,当,T=mg,时，,a,球刚好离地。,由法向方程式得：,例,5,：一匀质细绳，质量,m,，,长,L,，,一端固定在,O,，,另一端有一 质量为,M,的小球，其在光滑水平面上以,绕,O,点旋转。,求,:,绳上各点的张力。,L,O,M,隔离物体法分析绳上一小段,dm,的受力,解,I,：,r,r,r+,r,L,T(r,),T(r+,r,),绳上张力是距,O,点距离,r,的函数,:,T(r,),动力学方程：,求解,每点（无限小，,m-0,）合张力为,0.,解,II,：,绳某点,r,的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的代数和。,微元,r,:,r+,r,r,r,i,r,r,r,L,T(r,),牛顿运动定律,建立坐标系，取,r,处,dr,长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：,总向心力为：,例：质量为,M,，,倾角为,的斜面放在光滑的水平桌面上,，斜面光滑，长为,l,，,斜面顶端放一个质量为,m,的物体，开始时斜面和物体都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。,其中,ma,M,就是惯性力。而,mg,和,N,是真实力。,分析物体受力,物体相对于斜面有,沿斜面方向的加速度,a,解：以斜面为参考系,(,非惯性系），,ma,M,N,mg,当,m,滑下时，,M,加速度方向如图：,a,M,垂直于斜面方向,:,N-,mg,cos,+ma,M,sin,=,0,分析,M,(,相对惯性,系,),运动，水平方向,：,N,sin,=M,a,M,由此解得相对加速度,a=,(,m+M,)sin,g,/(,M+m,sin,2,),列方程,:,沿斜面方向,:,mg,sin,+ma,M,cos,=ma,方向,例：水桶以,旋转，求水面形状？,解：水面,z,轴对称，选柱坐标系。任选,水面一小质元，其在切线方向静止。,r,z,在旋转参考系中，做受力分析：,mg,mr,2,N,切线方向：,抛物线方程,解：,(1),例,:,已知,m,在水平面内作半径为,R,的匀速率圆运动，,(R,v),已知，求：,(1),A,到,B,时动量的改变，,(2),A,到,B,时向心力平均值及方向。,x,O,y,A,B,(2),建坐标系，规定正方向,解：子弹,m,在枪内,水平,只受力,F(t),，,加速时间,0,t,(N),例,:,已知子弹在枪筒内受到推进力,x,0,t,O,其加速过程,v,0,=0,到,v,=300 m/s,求：子弹质量,m,=?,子弹在枪筒内加速时间,t=?,h,1,h,2,y,例：一质量,m,=1010,-3,kg,的小球，从,h,1,=0.256 m,的,高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度,h,2,=0.196 m,，,接触时间,求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时间为(1),=0.01s,，,(2)=0.002s,试求小球对桌面的平均冲力。,解,I,：,mg,N,mv,1,mv2,(,N,mg,),=,mv,2,(,mv,1,),小球和桌面碰撞时对桌面的冲量,I,=,N,=mg,+,=,0.01 s,I,=,4.310,2,NS,N=4.3(N),=,0.002 s,I,=,4.2210,2,NS,N=21.1(N),重力的,40,多倍,重力的,200,多倍,小球自重（,0.1N),利用冲量定理解题时一般可忽略物体自身重力产生的冲量。,解,II,：,将动量定理应用于整个过程,设下落时间为,t,1,上升时间为,t,2,N,mg(t,1,+t,2,)=,0,I,=,N,=,mg(t,1,+t,2,),h,1,h,2,y,mg,N,例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为,m和,M,的物体，,M,m,M,静止在地面，当,m,自由下落,h,后，绳子被拉紧，,M,刚好离开地面，,求绳子刚拉紧时，,m,和,M,的速度及,M,能上升的最大高度。,M,m,h,解：,m,自由下落,h,后速度,T,mg,mv,0,mv,m,p,T,Mg,Mv,M,p,y,m:,M:,v,m,=,v,M,=,v,mg,T,=,m,a,T,Mg,=,M,a,M,匀减速运动,0=,v,2,2,aH,R,y,x,C,o,解：,dm,=,l,dl,l,=,m,/(,R,),例,:,求均匀半圆铁环的质心（半径为,R,）,.,d,由对称性,:,x,C,=0,取长度为,dl,的一段铁丝,以,l,表示线密度,dl,dm,例：弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算,m,由,x,1,x,2,弹性力的功。,x,1,x,2,x,0,m,由此式可见,弹力的功只与小球的初末位置有关,而与移动的中间过程无关,例如若先将,m,从,x,1,点向右拉伸，然后再压缩至,x,2,点,弹力的功仍为上式,h,h,1,h,2,a,b,解：,m,受力和重力方向如图，,例：,m,沿曲线由,a b,求重力的功,j,i,mg,与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起,末位置，,与中间过程无关,。,h,0,h,1,解：,建立如图所示,h,坐标系，取离地面,h,处,厚度为,d,h,的一层水。,将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：,h,dh,h,0,例：地下贮水池横截面,S,，,池贮水深度,h,1,，,水平面与地面间距,h,0,。,求：将池中水全部吸到地面所需作功,A,。,思路：,将池中水全部吸到地面所需作,总功,等于将,每一层水吸到地面 所需元功,的,代数和,。,总功：,例：长度为,L,、,质量为,M,的均匀链条，置于水平光滑桌面上。开始时，有少部分链条（长度为,a,）,下垂在桌外。在重力作用下，链条下落。,求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率,v,=?,解,:,建立坐标系,下端点坐标为,x,时,a,L，M,光滑,0,a,x,x,思路：,链条下落是重力做功的结果，当下落长度变化时,重力大小也变化，因此为,变力做功,。,下落部分,所受重力为：,在此下落部分,重力作用下链条向下运动,dx,所作,元功,：,总功,由动能定理,例,:,质量为,m,的小球经长为,l,的摆线悬挂于固定点,O,，,开始时把小球拉到水平位置,并自由释放,，,求摆线下摆角为,0,时小球的速率,v,。,O,0,l,A,B,dr,d,mg,T,解：,外力为绳子张力和重力，,绳子张力始终与位移垂直，不作功。,mg l,sin,0,=,mv,B,2,0,由动能定理,例,1,：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量,三、几种典型刚体的转动惯量,R,m,C,dm,相当于质量为,m,的质点对轴的,J,如果在,R,处有一质量为,M,的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：,例,2,：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量,R,m,C,dJ,=,r,2,dm,解：在圆盘上取,r,处,d,r,宽的一圆环，其,转动惯量为：,思路：,圆盘对中轴转动惯量可看 成圆盘上,分割出的无数圆环对中轴 转动惯量的代数和,。,r,dr,C,r,比,R,处质量为,m,的均匀圆环中轴的转动惯量小,如果在圆盘上离中心周距离为,R,处放一质量为,M,的物体，此系统对中心轴的转动惯量为：,例,3,：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量,C,A,m,L,2,L,2,x,dx,x,0,对质心轴,，建立如图坐标系，取,x,处,dx,小段：,利用平行轴定理：,例：求均匀圆盘对于通过其边缘一点,O,的平行轴的转动惯量,:,R,C,m,O,利用平行轴定理：,得：,问题：,一质点相对于一转轴有无转动惯量？,问题：,转动系统的转动贯量是否会变？,例：某飞轮直径,d,=50 cm,绕中心垂直轴转动，转动惯量,J,=2.4,千克,米,2,转速,n,0,=1000,转,/,分，若制动时闸瓦对轮的压力为,N,=50,千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数,=0.4,。,问：制动后飞轮转过多少圈停止？,f,d,解：,(1),求,（,2,）,求圈数,例,2,：如图，设滑块,A,，,重物,B,及滑轮,C,的质量分别为,M,A,，,M,B,，,M,C,。,滑轮,C,是半径为,r,的均匀圆板。滑块A,与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求,:,（,1,）,滑块,A,的加速度,a,（,2,）,滑块,A,与滑轮,C,之间绳的张力,T,1,，,（,3,）,滑轮,C,与重物,B,之间绳的张力,T,2,。,A,B,C,T,2,M,C,g,T,1,N,解：,T,1,M,A,g,N,A,T,2,M,B,g,B,解方程得：,T,2,M,C,g,T,1,N,T,1,M,A,g,N,A,T,2,M,B,g,B,例,3,:,己知：质量为,m,、,径为,R,的均匀圆盘。初角速度 ,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度,即 。不计轴承处的摩擦。,求：圆盘在停止转动时所转过的圈数,N,=?,m,O,解：,用积分法求力矩：在圆盘上选取半径为,r,、,宽度为,dr,的圆环，圆环上的质元具有相同的线速度,v,。,则作用到圆环上的元阻力大小为:,r,dS,思路：,变力矩问题，应用转动定理，积分求解；,力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。,考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：,总阻力矩,利用刚体定轴转动定律,分离变量，并积分：,例,4,：,均匀直杆,M,，,长为,l,，,其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一子弹,质量为,m,，,以水平速度,v,0,射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起运动时的角速度。,解,:,考虑,以,子弹和杆组成的,系统，所受外力（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零，角动量守恒,:,m,M,l,v,0,问题：,如果不是杆，而是用绳悬挂一重物,M,，,碰撞过程中是什么守恒？为什么？,注意,质点对轴的角动量的表达方式,:,例,5,：质量为,M,，,半径为,R,的水平放置的均匀园盘，以角速度,1,绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为,m,的小物块以速度,v,垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，盘的角速度,2,=,？（,2,）,小物块在碰撞过程中受到的冲量,I,的方向及大小。,m,v,R,M,解,:(1),以,m,M,为一个系统，过程中其,所受合外力矩为零，角动量守恒,碰前,m,对轴的角动量为零，但其动量不为零。,（,2,）,求,I,应用动量定理,碰撞前后,m,动量方向不同，分方向讨论。,讨论：,1,）碰撞过程中动能是否守恒？,2,）,角动量守恒时，动量不一定守恒。,方向向上,方向沿切线,解：杆,地球系统，,+,只有重力作功，,E,守恒。,初始：,E,k1,=0,，,令,E,p1,=0,例,6,：均匀直杆,m,，,长为,l,，,初始水平静止，轴光滑，,AO,=,l/,4,。,求杆下摆,q,角后，角速度,w,=?,轴对杆作用力,N,=?,末态：,则：,由平行轴定理,解,得：,另解（功能定理）：,应用质心运动定理：,解,得：,解：,例,7,：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为,m,的粘土块从,h,高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：,M,=2,m,=60,0,求：,(1),碰撞后瞬间盘的,0,=?,(2),P,转到,x,轴时的,=?,=?,（,1,）,m,自由下落,碰撞,t,极小，对,m,+,盘系统，冲力远大于重力，故重力对,O,力矩可忽略，,角动量守恒,：,动量不守恒？,对,m,+,M,+,地球系统，只有重力做功，,E,守恒,，,（2）,P,、,x,重合时,E,P,=0,。,令,s,m,M,R,k,m,1,h,例,8,：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连，另一端与质量为m,的物体相连，弹簧另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止状态，此时一质量为,m,1,的小物块从,h,高度处自由落下，与,m,碰撞后粘在一起。求：,m,下降的最大位移,s,。,解：,自由落体，碰时角动量守恒，碰后机械能守恒,最大位移,s,l,m,v,0,m,例,1,：一光滑水平面上静放一长为,l,，,质量为,m,的细直杆，今有一质量也为,m,的质点，在与杆垂直的方向上以,v,0,运动，并在杆的一端和杆发生完全非弹性碰撞，求,(1),碰后质心的速度和转动的角速度；,(2),碰撞过程中损失多少机械能。,解,(1),碰,前后,动量守恒,，,思路：考虑质点和杆组成的系统,（质点系）,碰撞时水平方向有无外力？,水平方向无外力，故,质点系动量守恒。,质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？,无，,惯性系中质心角动量守恒。,碰前后,角动量守恒,，,对质心：,(2),碰,前后损失机械能为：,例,2,：半径为,R,质量为,m,的均匀实心圆柱体，沿倾角为,的斜面无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。,解,:,对质心的平动,，,刚体的,滚动,可看作随,质心平动,和刚体,绕质心轴转动,的两运动的叠加。平动满足,质心运动定理,，,转动满足,转动定律,。,对,纯滚动,，满足,v,c,=,R,，,a,c,=R,，,即,滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬时速度为零，该线为,瞬时转轴。,mg,fN,对绕质心的转动,，,刚体的,滚动,可看作刚体随,质心平动,和,绕质心轴转动,的两运动的叠加。平动满足,质心运动定理,，,转动满足,转动定律。,在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律,？,力学总结,滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？,此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？,刚体的纯滚动可以看做是,绕瞬时轴的转动,，如果,支撑面,是固定在,惯性系,上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。,纯滚动,中刚体与支撑面,接触处的速度为零,，作用于刚体的为,静摩擦力，不做功,，机械能守恒。滚动动能为：,定轴,O,R,t,h,m,v,0,=0,绳,解：轮与,m,为联结体,，,轮为定轴,转动、,m,为平动，二者用绳联系起来。,m,的速度大小与轮边缘线速度大小相等。,mg,T,=-T,m,例,3,.,己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物,m,。,绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径,R=0.2m,，,m,=1kg,m,下落时间,t,=3 s,，,v,0,=0,h,=1.5 m,。,求：轮对,O,轴,J,=?,=,a,R,(3),h,at,=,1,2,2,(4),求解,T,恒定,例,4,：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为,0,转台对此轴的转动惯量,J,=5,10,-5,(kgm,2,),今有砂粒以每秒,1,g,速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴,r,=0.1m,求砂粒落在转台上,使转台角速度减为,0,/,2,所需时间?,o,解：,例,5,：已知圆盘半径为,R,，,质量为,M,，,在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为,k,的弹簧和质量为,m,的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住,m,使弹簧保持原长，然后静止释放。求,（,1,）,m,下落,h,距离时的速度。（,2,）弹簧的最大伸长量。,解：取,m+M,+,绳,+,弹簧,+,地球为一系统,h,m,M,R,k,外力：轴承支承力和地面对弹 簧的支承力功为零。,内力：重力，弹性力为保守力 绳不伸长，张力功为零。绳与轮间无相对滑动摩擦力功为零。,系统机械能守恒,1,薄圆环对中心轴的转动惯量,三、几种典型刚体的转动惯量,相当于质量为,m,的质点对轴的,J,如果在,R,处有一质量为,M,的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：,2,细圆环对任意切线的转动惯量,平行轴定理,垂直轴定理,3,圆柱体对柱体轴线的转动惯量,薄片的转动惯量,圆柱体对柱体轴线的转动惯量,4,圆柱环对柱体轴线的转动惯量,细环的转动惯量,圆柱环对柱体轴线的转动惯量,5,细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量,对质心轴,，建立如图坐标系，取,x,处,dx,小段：,C,A,m,L,2,L,2,6,实圆柱体对中心直径的转动惯量,任取与中心直径相距为,x,的薄圆片,平行轴,7,实球体对任意直径的转动惯量,8,薄球壳对任意直径的转动惯量,