高二数学直线及平面所成角.ppt

9.7.1直线和平面所成的角,1.,线线角,异,面,直线所成的角,直线,a,b,是异面直线，经过空间任意一点,o,，,分别引直线,a,1,a,b,1,b,我们把直线,a,1,和,b,1,所成的锐角（或直角）叫做异面直线,a,和,b,所成的,角。,一,.,复 习,p,O,自一点向平面引垂线，,垂足,叫做这点在这个平面上的,射影,；,这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的,垂线段,。,2.,射 影,一条直线和一个平面,相交,，但,不和这个平面垂直,，这条直线叫做这个平面的,斜线,，斜线和平面的交点叫做,斜足,。,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的,斜线段,。,A,C,B,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做,斜线在这个平面上的射影,；,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的,斜线段在这个平面上的射影,。,斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。,A,C,B,O,射影长,定理,从平面外,一点,向这个平面所引 的垂线段和斜线段中，,（,1,）,射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（,2,）,相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（,3,）,垂线段比任何一条斜线段都短,A,B,a,a,a,a,b,b,b,b,A,G,F,E,D,C,B,H,HC,与,FG,在平面,ABCD,上的射影分别是什么？,FG,与,EA,在平面,ABCD上的射影分别是什么？,BC,与,A,点,DC,与,BC,HC,与,EF,在平面,ABCD,上的射影分别是什么？,DC,与,AB,练习、,44,三垂线定理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,O,a,A,P,三垂线定理的逆定理,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一,条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,0,B,A,D,AO,是平面,的斜线，,A,是斜,足,，,OB,是平面,的垂线，,B,是垂足，,AB,是斜线,在平面,的射影,，,1,是斜线与,射影所成的角.,AD,是平面 上任一过,斜,足,A,的直线,1,与,的大小关系如何？,2,与,的大小关系如何？,1,OAB,简称斜射角（即线面角）,2,BAD,简称射（射影）非（非,射影,）,角,O,AD,简称斜,(,线）非（非,射影,）,角,1,二,.,新 授,1.,线面角,平面的斜线和平面所成的角,0,B,A,D,C,1,最小角原理,1,与,的大小关系如何？,在,Rt,OAB,中，,在,Rt,AOC,中，,OB,OC,，,sin,1,sin,1,斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。,斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,(,即斜射角,),，叫做,这条直线和这个平面所成的角,。,一条直线垂直与平面，它们,所成的角是直角,；,一条直线和平面平行，或在平面内，它们,所成的角是,0,的角,。,直线和平面所成角的范围是,0,，,90,。,平面的斜线和平面所成的角,练习、判断,两平行线和同一平面所成的角相等,一条直线和两个平行平面所成的角相等,一条直线和两个平面所成的角相等，则两平面平行,从一点出发的平面的两条斜线段,PA,PB,则,PA=PB,的充要条件是,PA,PB,在平面内的射影相等,两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平行直线,例题,例,1.,如图，,O,A,是平面,的斜线，,OB,平面,于,B,，,AC,是,内不与,A,B,重合的任意直线，O,AB=,，,BAC,=,，,O,AC,=,，,求证：,cos,=,cos,cos,O,A,B,C,线面角,（,斜射角）,，,射非角,斜非角,变式：,斜非角,的余弦等于,线面角,的余弦与,射非角,余弦的积,练习,5.,两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？,4.,已知斜线段的长是它在平面,上射影的,2,倍，求斜线和平面,所成的角。,A,B,O,如图，斜线段,AB,是其射影,OB,的两倍，求,AB,与平面,所成的角。,如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？,3,.,AB,与平面,斜交，,B,为斜足，,AO,与,平面,垂直，,O,为垂足，,BD,是内的直线，,ABD,=60,OBD,45,，求斜线,AB,和平面所成的角。,如何找线面角,?,1),确定斜足；,2),找,(,作,),线面垂直；,3),指出射影，确定线面角；,4),求解。,问题,A,B,例,2.,线段,MN,长,6,厘米，,M,到平面,的距离是,1,厘米，,N,到平面,的距离是,4,厘米，求,MN,与平面,所成角的余弦值。,M,N,M,N,M,N,M,N,O,O,MOM,就是,MN,与,所成的角,移出图,移出图,M,N,N,M,O,6,1,4,M,M,O,N,N,6,1,4,与平面,ABCD,所成的角,例,3,、,如图,在正方体,中，,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角,求,B,C,A,1,A,D,B,1C,1,D,1,AD,1,与平面,ABCD,所成角,A,1,B,与平面,BB,1,D,1,D,所成角,练习,4,、,课后研究：请说出下列各角的范围,1,、两条相交直线的夹角。,2,、两条相交直线的到角。,3,、直线的倾斜角。,4,、两条异面直线所成的角。,5,、任意两条直线所成的角。,6,、两个向量的夹角。,7,、斜线和平面所成的角。,AB,于,B,=O,1),确定斜足；,2),作,(,证明,),线面垂直；,4),求解,3),指出射影，确定线面角；,复习提问,（一）、公式,（二）、直线和平面所成的角,A,B,AOB,（锐角）即为 与,所成的角,1,、,2,、求直线与平面所成的角步骤：,例,1如图：等腰,Rt,ABC,的斜边为,BC,，,两直角边和平面,所成角分别为,45,0,和,30,0,求斜边上的高,AD,和平面,所成的角,B,C,A,E,45,0,F,30,0,D,O,若,COA=COB,若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上,3,、结论：,过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线,C,A,O,B,则,CO,在平面,AOB,内的射影,为角,AOB,的平分线,例,2,、,在正四面体,ABCD,中，求直线,AB,和,平面,BCD,所成的角,E,F,G,练习,1,、,在平行六面体中，底面,ABCD,为矩形，,A,1,AB,A,1,AD,60,0,，,求,AA,1,与底面所成的角,Y,X,Z,D,练习,2,、,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别为,BB,1,、,CD,的中点，求直线,D,1,F,与,平面,ADE,所成的角,.,F,E,C,1,1,C,B,1,A,B,D,A,1,90,0,法二,:,法向量法,小结：法向量求线面角,是平面的法向量，是 的方向向量，,则直线 与平面 所成的角,例,1,、,如图,:,在三棱锥,P-ABC,中,ABBC,，,AB=BC=,kPA,点,O,、,D,分别是,AC,、,PC,的中点，,OP,底面,ABC,(1),求证：,OD/,平面,PAB,；,(2),当 时求直线,PA,与,平面,PBC,所成角的大小,(2005,年高考试题浙江卷,),E,F,z,y,x,练习,、,P,46,2,（用公式）,、棱长都相等的四面体,A-BCD,中,E,F,分,别为,AD,BC,的中点,(1),求异面直线,AF,CE,所成角的大小,(2),求,AD,与平面,BCD,所成的角,(3),求,CE,与平面,BCD,所成的角,B,A,C,D,F,E,