第七章 圆轴的扭转.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 圆轴的扭转,7.1,工程中的扭转问题,7.2,外力偶矩、扭矩和扭矩图,7.3,圆轴的扭转变形,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,7.5,扭转时的强度和刚度问题,7.1,工程中的扭转问题,在第五章中我们已经讨论了杆件受轴向载荷作用时，杆件发生轴向拉伸或压缩变形，杆件的横截面上产生拉或压的轴力，横截面上的点受到轴向的正应力。在这一章中我们将讨论另一类基本变形,扭转变形。当一根直杆受到绕杆的轴线转动的力偶作用时，杆会发生扭曲，即杆的截面发生绕轴线转动的扭转变形。例如当你要拧紧一个木螺丝时,(,见,图,7-1a,),，你在螺丝批的把手上作用了一个力偶,(,见图,7-1b,),，在螺丝批的另一端则受到木螺丝对它的反力偶作用，螺丝批发生扭转变形。又例如,图,7.2,的掘土机械中的螺旋钻的空心圆轴和图,7.3,的手枪钻的麻花钻头都发生扭转变形。,在工程中有许多轴类构件，截面大多是圆形截面，有些是实心圆轴，也有空心圆轴。当受到绕轴线转动的力偶作用时，截面将绕轴线转动，截面之间发生相对转动，即产生扭转变形，如,图,7.4,所示。,返回,7.2,外力偶矩、扭矩和扭矩图,一、外力偶矩,在工程中，圆轴经常用来传递力偶所做的功。例如自行车的车轴，汽车的驱动轴和车床的齿轮轴等。而功的大小取决于作用在轴上力偶的矩和轴的转速。现在来考虑一根用马达驱动的轴，如,图,7.5,所示。,如果轴匀速转动，转速是,n(r/m,),，传递的力偶矩是,M,，马达的功率是,P(kW,),。则轴的转动角速度是,下一页,返回,7.2,外力偶矩、扭矩和扭矩图,传递力偶的功率与马达的功率相等，即,由此，已知轴的转动速度和输入或输出的功率，就可以换算出作用在轴上的外力偶矩，换算公式是,下一页,上一页,返回,7.2,外力偶矩、扭矩和扭矩图,二、扭矩,如,图,7.6a,所示的圆轴，两端受到一对大小相等、转向相反的外力偶作用，力偶矩是,M,，并处于平衡状态。为了求出轴的内力，在轴内的任意一个横截面,m-m,处将轴切开，分成两个部分，它们的受力分析分别如,图,7.6b,和,7.6c,所示。截出的两个部分仍然保持平衡状态，所以截面上的内力必定是一个力偶，称之为扭矩。左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小一定相等而转向相反。扭矩的大小和实际转向可以通过两部分的平衡方程得到。,下一页,上一页,返回,7.2,外力偶矩、扭矩和扭矩图,三、扭矩图,求出轴内任意一个截面上的扭矩以后，就可以用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系，这个图线称为扭矩图。,图,7.6d,就是轴,7.6a,的扭矩图。从图中可以看出，在两个集中力偶作用之间的截面上，扭矩是一个常量。,上一页,返回,7.3,圆轴的扭转变形,一、纯扭转,考虑一根等截面圆轴，两端受到一对力偶作用，如,图,7.7a,所示。轴内扭矩是一常量。此时圆轴所发生的扭转变形称为纯扭转。在小变形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面，它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都保持不变。左右两端截面绕轴线相对转过一个角度,，称为扭转角。假设左端面转过的角度是,0,，则右端面转过角度就是,，轴内任一横截面的扭转角用,(x),表示。,下一页,返回,7.3,圆轴的扭转变形,二、切应变和扭曲率,在纯扭转的圆轴内用两个横截面截出长度为,dx,的微段，如,图,7.7b,所示。两截面绕轴线相对转过的角度是,d,，两条母线,ad,和,bc,分别倾斜了一个相同的角度。矩形,abcd,变形成平行四边形,abc,d,，,ab,与,ad,的夹角从,90,减小了一个角度,max,，这个角度的改变称为切应变。在小变形的条件下，由图示的几何关系得到,在纯扭转的情况下，可以用轴两端截面的相对转角,除以轴的长度,l,来表示，即,下一页,上一页,返回,7.3,圆轴的扭转变形,由此可以得到圆轴外表面的切应变的表达式,根据类似的分析可以得到圆轴内部的切应变，见,图,7.7c,所示。在,dx,的微段内截出半径为,的圆柱体，因为半径仍保持直线，所以其表面的切应变是,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,一、纯剪切,在小变形的前提下，圆轴扭转时横截面始终保持为平面，而且圆截面的形状、大小不变，半径仍为直线，截面之间的距离也不变。所以在横截面上没有正应力，而切应力与过这点的半径垂直，朝向与截面上的扭矩转向相一致。在,图,7.8,纯扭转的圆轴中取一个微体，它的边长分别是,dx,、,dy,和,。见,图,7.8b,所示。,在微体的左右侧面上各有一个相等的剪力,dy,，它们的方向相反，组成一个力偶，其力偶矩是,dydx,。因为微体处于平衡状态，所以在微体的顶面和底面上必定存在切应力，上下两个面上的剪力必然也要组成一个反力偶，反力偶矩是,dxdy,，与上述的力偶相平衡，即,下一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话，则切应力的数值相等，方向与两个正交面的交线垂直，共同指向或共同背离交线。这就是切应力互等定理。上面微体的四个侧面上只有切应力没有正应力，这种应力状态称为纯剪切。,二、剪切胡克定律,发生纯剪切的微体由原来的正六面体变形成平行六面体，见图,7.8c,。原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变，就是切应变,。对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,表达式中的比例常数,G,称为切变弹性模量，它与拉压弹性模量,E,一样是反映材料特性的弹性常数。上面的关系式称为剪切胡克定律。对于各向同性材料，拉压弹性模量,E,、切变弹性模量,G,和泊松比之间存在如下关系：,可以得到,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,由此可见，圆截面上点的切应力分布与该点的半径成正比，如,图,7.8d,所示。显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小是：,由切应力互等定理可知，圆轴的纵向截面上只有切应力，分布如,图,7.9,所示。,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,三、扭转的切应力公式,在知道了圆截面上的切应力分布后，现在来分析切应力与扭矩之间的关系。见,图,7.10,。,在半径为,的圆周处取一个微面积,dA,，上面作用微剪力,dA,，它对圆心,O,的微力矩是,dA,，所有这些微力矩的和等于截面上的扭矩即,将公式,(7-9),代入上式得,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,令上式中的积分为,I,P,，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即,由此可以得到,把上式代入到,(7-9),式中，就得到切应力计算公式,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,显然，横截面上的最大切应力是：,式中，,I,P,/,R,项也是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数，用,W,t,表示，即,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,所以，最大切应力计算公式又可以写成：,四、极惯性矩和抗扭截面系数的计算,直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数。见,图,7.10,取微面积,dA,=,d,d,，代入到式,(7-11),中，得到极惯性矩，即,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,把上式代入到式,(7-14),中得到抗扭截面系数：,如果是空心圆截面，如,图,7.11,所示。,用相同的的方法可以求出极惯性矩和抗扭截面系数：,下一页,上一页,返回,7.4,圆轴扭转时横截面上的切应力,和,其中，,是内径与外径之比，即,空心圆截面上的切应力分布如图,7.12,所示。,上一页,返回,7.5,扭转时的强度和刚度问题,一、圆轴的扭转失效,通过扭转试验发现，不同材料的圆轴在扭转破坏时，断口的形状也不一样。塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先屈服，这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截面处发生剪断，如,图,7.13a,所示，这时破坏截面上的最大切应力称为扭转强度极限。而当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服阶段，最后发生约,45,的螺旋面的断裂破坏，如,图,7.13b,所示。扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力，用,u,表示。,下一页,返回,7.5,扭转时的强度和刚度问题,二、强度条件和强度计算,从扭转试验得到了扭转的极限应力，再考虑一定的安全裕度，即将扭转极限应力除以一个安全系数，就得到扭转的许用切应力：,这个许用切应力是扭转的设计应力，即圆轴内的最大切应力不能超过许用切应力。,对于等截面圆轴，各个截面的抗扭截面系数相等，所以圆轴的最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上，强度条件就是,下一页,上一页,返回,7.5,扭转时的强度和刚度问题,而对于变截面圆轴，则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数，所以强度条件是,三、刚度条件和刚度计算,在纯扭转的等截面圆轴中，从扭曲率的公式,(7-12),可以得到,下一页,上一页,返回,7.5,扭转时的强度和刚度问题,它表示圆轴中相距,dx,的两个横截面之间的相对转角，所以长为,l,的两个端截面之间的扭转角可以积分上式得到：,因为在纯扭转中，扭矩,T,和扭转刚度,GI,P是常量，所以上式可以简化成,下一页,上一页,返回,7.5,扭转时的强度和刚度问题,如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式,(7-12),的积分可以写成分段求和的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是,在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，这样才能满足工程机械的精度等工程要求。所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度，它不能超过规定的许用值，即要满足扭转变形的刚度条件。,对于扭矩是常量的等截面圆轴，扭曲率最大值一定发生在扭矩最大的截面处，所以，刚度条件可以写成,下一页,上一页,返回,7.5,扭转时的强度和刚度问题,上式中，扭曲率的单位是,rad/m,。如果使用,/,m,单位，则上式可以写成,对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是,或者写成,上一页,返回,图,7.1,返回,图,7.2,返回,图,7.3,返回,图,7.4,b,a,b,b,b,R,b,b,r,M,b,M,b,图,7.4,返回,图,7.5,返回,图,7.6,返回,图,7.6,返回,图,7.7,返回,图,7.7,返回,图,7.7,返回,图,7.8,返回,图,7.8,返回,图,7.9,返回,图,7.10,dA,O,T,返回,图,7.10,dA,O,T,返回,图,7.11,返回,图,7.12,返回,图,7.13,返回,