离散控制系统及Z变换(补充).ppt

离散控制系统的理论基础,(basic theory),Z,变换及,Z,反变换,(Z transform&Z inverse transform),差分方程,(difference equation),脉冲传递函数（,pulse transfer function,）,离散系统稳定性判据,(stability criterion),第四章 离散控制系统及,Z,变换,discrete control system and Z transform,）,4.1,离散控制系统的理论基础,一、,信号的基本形式,(basic form of signal),1),连续信号,(continuous)2,采样信号,sampling,3,）采样保持信号,(sampling holding),因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。,4,）数字信号,(digital),：,用量化单位,q,来度量采样信号幅值后所得的信号。如图,d,量化,图d,整个计算机控制系统信号变换过程如下：,模拟信号,采样信号,数字信号,采样,采样保持信号,模拟信号,-,+,模拟信号,采样信号,数字信号,数字信号,模拟信号,量化、保持功能由,A/D,转换器完成，采样开关为软开关，由程序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效如下：,经,A/D,转换器量化,经,采样开关,经,保持,经,D/A,转换,二、信号的数学表示,(math form of signal),1,、,理想采样开关的数学表示,单位脉冲函数是一个幅值为,1,，宽度为,0,的脉冲量，图形表示如右，,其数学表达式为,由于理想采样开关的闭合时间很短，所以图中其波形看作是一个有强度、无宽度的脉冲序列，其数学表达式为,其中,2,、采样信号的数学表示,连续信号用,表示，采样信号用 表示。,K,T,f(t),f,*(t),由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关的输入,/,输出信号，则有,K,T,f(t),f,*(t),3,、零阶保持器的数学表示,(zero-order holder),保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下,由图得，零阶保持器的数学表示为：,三、,数字控制系统中采样周期,T,的确定,1,、理论依据,香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续信号 的变化规律，采样频率 至少应该是 频谱的最高频率 的两倍,即,采样定理给出了采样周期的,上限值,：,2,、实际过程中,T,的选择因素,(,采样周期,:sampling period),理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设备输入,/,输出及计算机执行程序消耗的时间 ，即,T,太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行机构不能及时响应。,T,太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样周期可能导致系统不稳定。,因此，实际操作中，选择采样周期时，要综合考虑系统的下列因素。,系统动态指标（,dynamic criterion,）,一般取,(settling time),为过渡时间（调节时间）,:,被控量进入偏离稳态值的误差为,5,(,或,2,),的范围并且不再越出这个范围所需的时间。,2,、,系统的动态特性（,dynamic character,）,若对象为 ，一般取,若对象为 ，,3,、给定值的变化频率（,variety frequency,）若加到被控对象上的给定值变化频率越高，采样频率也应越高以使给定值的改变得到快速反映。,4,、执行机构的类型,(,actuator type,),若执行机构动作惯性大，则采样周期可相应大一些，反之则可小些。,5,、计算机的运算速度,(,operation speed,),采样周期必须保证计算机执行控制算法的足够时间。各回路可选择不同的采样周期。,6,、被控量的性质,(,quality of object,),如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象，变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。,常见被控对象的采样周期经验值如下表：,被控量,流量,压力液位,温度,位置,电流环,速度环,采样,周期,1,5s,3,10s,6,8s,10,20s,10,50 ms,1,5 ms,5,20 ms,研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题，计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。,离散系统的研究方法有很多是与连续系统相对应的,。,线性连续控制系统,线性离散控制系统,微分方程,差分方程,拉普拉斯变换,Z,变换,传递函数,脉冲传递函数,状态方程,离散状态方程,4.2,Z,变换及,Z,反变换,(Z transform&Z inverse transform),4.2.1,Z,变换,(Z transform,）,一、定义,（,definition,）,由前面得，采样信号得数学表达式为：,对上式两边取拉氏变换，令 则,令 ，解得 ，则,定义,：,几点说明,：,1,、,Z,变换定义是关于,z,的,幂级数。只有当级数收敛时，才称为采样函数的,Z,变换。,2,、,Z,变换是针对采样函数 而言。即是说,Z,变换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。,故,Z,变换与采样函数是,一一,对应的,。,上述关系说明：一个采样函数 对应一个,Z,变换，一个,Z,变换对应一个采样函数,但是由于一个采样函数 可对应无穷多的连续函数,因为采样函数只是考查得一些离散点的值。如下图所示：,3,、,Z,变换的物理意义表现在延迟性上。,上式中，通项 ，由 决定幅值，决定时刻，称 为位移,(,延迟,),算子,n,为位移量。,二、,Z,变换的性质,(character),1,、,线性性质,2,、延迟性质,3,、超前性质,4,、初值定理,(initial value theorem),5,、终值定理,(,finial value theorem),常见函数的,Z,变换表如下,三、,Z,变换的求法,(Z transform methods),1,、,级数求和法,(,series summing,),(1),展开采样函数,(,expanding,),(2),求拉氏变换,(,transforming,),(4),然后按级数的性质写出级数的和函数,(3),令,例,1,求单位阶跃函数 的,Z,变换,解：因,故,例,2,求 的,Z,变换,求拉氏变换得,令,令,解：因,2,、部分分式法,(partial fraction decomposition),方法：已知 的表达式，将其化成部分分式之和，再查拉氏变换表,例,1,已知,，,求,解：,查表得,得,用部分分式法求,Z,变换时，系数求法一般采用以下两种方法：,1,、凑（适用于展开项数不多的场合）,2,、留数法（适用于任何场合）,设传递函数的一般表达式为：,重根系数的求法,单根系数求法,当 时 也即特征方程有重根,例：求,的,Z,变换,4.2.2,Z,反变换,(Z inverse transform),一、定义,(definition),根据 求采样函数 或离散函数 的过程称为,Z,反变换。记为,也可利用,MATLAB,中的命令,residue,进行部分分式展开，命令格式为：,r,p,k,=,residue(num,den,),二、求法,(methods),求,Z,反变换的方法有长除法和部分分式法,1,、长除法（,幂级数展开法,series expansion,),方法：将 展开成如下形式,式中以 的升幂顺序排列，然后求出对应的,即可。,先将分子分母分别按 的升幂排列，然后通过分子除以分母得到其幂级数的展开式。,若 为两个有理多项式之比表示,即,例1,设,求,解：分子除以分母得,例,2,求 的,Z,反变换,写出前五项,分子分母同除以 得,解：按要求整理得,长除后得,则,特点：此种方法在实际中应用较为方便，只需要计算有限项就够了，缺点是得到 的一般表达式较难。,2,、部分分式法,(partial fraction decomposition),方法：将 展开成部分分式之和的形式，然后通过查表求出各部分分式的,Z,反变换。,需要指出的是：参照,z,变换表可以看到，所有,z,变换函数在其分子上都有因子,z,。因此，先把 除以,z,，将,作为一个整体进行部分分式展开，然后将所得结果每项乘以,z,得 的部分分式。最后查表即可。,下面按照,f(z),的特征方程无重根和有重根两种情况举例说明。,若其一般表达式如下：,则按部分分式展开，得,系数,c,的求法：,（,1,）当 时，也即,f(z,),无重根时。,例,1,求 的,Z,反变换,解：将上式变形得,从而有,特征方程 的解为,则有,解得,所以,故有,查表得,所以,所以,（,2,）,当 时 也即特征方程有重根,重根系数的求法,单根系数求法,令,分母为,0,得,分解因式,得,重根,单根,则,例,3,求 的,Z,反变换,则,故,查表得,4.3,用,Z,变换求线性常系数差分方程的解,一、定义,1.,差分,:,相邻两个采样值的差,(,一阶差分,).,后向差分,:,本次,采样,值与前一次,采样,值的差,.,基于现在和过去值,前向差分,:,本次,采样,值与后一次,采样,值的差,.,基于现在和未来值,二阶差分,:,对一阶差分再取一次差分,.,差分在离散系统中的作用与,(),在连续系统中的作用相同，当两个采样点无限接近时，差分即为（）。,2.,差商,一阶差商：一阶差分除以采样周期的商,二、思想,用,z,变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分方程类似。,其思想是：首先通过,Z,变换，将离散时域问题转化到,z,域中考虑，将差分运算转换为代数运算，然后通过,Z,反变换求得离散解,3.,差分方程,(difference equation),反映各,采样时刻,输出与输入之间的关系的方程。如：,差商在离散系统中的作用与（）在连续系统中的作用相同，当两个采样点无限接近时，差商即为（）。,步骤：先对差分方程进行,Z,变换，然后写出,最后求 的,Z,反变换,例,用,Z,变换求 的解，已知初始条件为,超前性质,延迟性质,将初始条件代入得,解：对上述差分方程两边,Z,变换，利用超前性质,得,查表得,总结：,关于,Z,变换以及,Z,反变换的求法重点掌握部分分式法和差分方程求解法。,1,求 的,Z,变换,习题：,2,求 的,Z,反变换,3,用,Z,变换求 的解，已知初始条件为,4.4,脉冲传递函数,(pulse transfer function),一、定义,连续系统的对象描述方式有：微分方程、结构方框图、传递函数等。,离散系统对象描述方式：差分方程、结构方框图,及脉冲传递函数。,二 开环系统的,z,传递函数,三、串连环节的,z,传递函数,离散系统串连时其,z,传递函数的求法与采样位置,有关。,结论：,（,1,）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间无采样开关隔开时，开环系统的,z,传递函数等于各个环节传递函数乘积的,z,变换。,（,2,）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间有采样开关时，开环系统的,z,传递函数等于各个环节,z,传递函数之乘积,四、并联环节,z,传递函数,五、闭环,z,传递函数,-,+,举例：一个计算机控制系统结构如下所示，求其脉冲闭环传递函数,利用,Z,变换线性性质及延迟性质得,总结：以后可以直接将广义传递函数中的 项移到,Z,变换符号之外变成,其余部分按照前面的,Z,变换方法求得。,4.5,离散控制系统的稳定性,一、,s,域到,z,域的变换,根据,Z,变换的定义有,当,s,平面上虚轴上的所有点对应,在,z,平面的单位圆,上,当,s,平面的左半平面上的所有点对应,在,z,平面的单位圆,内,s,平面的右半平面上的所有点对应,在,z,平面的单位圆,外,当,二、,离散系统的稳定性及稳定条件,连续系统稳定判据（劳斯判据）：系统的闭环极点全部在,s,平面的左半平面内即,小结,：,s,平面的左右平面上的点对应,z,平面的单位圆内外。,注意：从,s,平面到,z,平面的映射是唯一的，但从,z,平面到,s,平面的映射是多值的。,根据,s,平面与,z,平面的映射关系,:,连续系统稳定条件,s,平面左半平面上的所有点对应离散系统在,z,平面的单位圆,内。,结论：离散系统稳定的条件，即：系统的所有闭环极点都在,z,平面的单位圆内。,三、离散系统的劳斯稳定判据,判据：离散系统的闭环特征方程经过双线性变换,后，若特征方程的根全部具有负实部，则系统稳定。,证明：令,由,步骤如下,：,当,z,平面单位圆,上,所有点映射到,w,平面的虚轴上,当,z,平面单位圆,内,所有点映射到,w,平面的左半平面内,当,z,平面单位圆,外,所有点映射到,w,平面的右半平面内,举例 系统结构如右所示,先,求出闭环特征方程,;,再做双线性变换,即将 代入 中,得到,；,最后用劳斯判据判定 的根是否全部在左半平面内。,已知,-,求使闭环系统稳定的,K,的范围。,解：系统闭环脉冲传递函数,将 代入特征方程整理得,特征方程,三、参数对稳定性的影响,1.,开环增益对系统稳定性的影响,由上面例子可以看出，开环增益,K,增大时，系统可能变得不稳定，即增大,K,对系统稳定性不利。,2.,采样周期对系统稳定性影响,举例,:,系统结构如右图所示,证明：,-,当 时,特征方程为,对上式作双线性变换得,由系统稳定条件得,同理,可计算出当 时,系统稳定范围为,当 时,系统稳定范围为,结论,:,增大采样周期对系统的稳定性不利,减小采样周期对系统稳定性有利,当采样周期为,0,时,系统为连续系统,.,既是说稳定的连续系统经采样变成数字系统后不一定稳定,.(,连续系统的稳定性优于离散系统,),分析,:,采样周期由,1s,增大到,2s,临界开环增益由,2.4,减小到,1.45,当采样周期减小到,0.5s,临界开环增益由,2.4,增大到,4.36.,一、基本概念,总 结,1,、采样：采样、采样时间、采样周期、采样定理,2,、量化：量化、量化单位,q,得计算,3,、保持：零阶保持器及其传递函数、电路组成及原理,二、,Z,变换,1,、,Z,变换定义、性质,2,、,Z,变换求法：级数求和法和部分分式法,3,、,Z,反变换求法：长除法和部分分式法,四、离散系统的稳定性,1,、稳定条件,2,、稳定判据,3,、参数对系统稳定性影响,1,一个连续系统，在参数不变的情况下将其改造为计算机控制系统，它的稳定性与原连续系统相比将,。,A,变好；,B,变坏；,C,不变。,2,为了减少有限字长产生的量化误差，采样周期,。,A,应增大；,B,应减小；,C,可以保持不变。,3,某系统的,Z,传递函数为,(z,)=0.5(z+0.5)/(z+1.2)(z-0.5),，可知该系统是,。,A,稳定的；,B,不稳定的；,C,临界稳定的。,4,计算机控制系统与连续系统相比，在系统结构与参数不变的条件下，抑制干扰的能力,。,