概率与数理统计第03讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,B,6,B,7,B,8,A,在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就提出如下问题：复杂事件,A,的概率如何求？,1.6,全概率公式与,Bayes,公式,定义,设 为试验,S,的样本空间，,B,1,B,n,为,S,的一组事件。若,（,1,）,B,1,B,n,互不相容,，,i,=1,n,（,2,）,则称,B,1,B,n,为完备事件组。,定理,6.1,上式称为全概率公式,.,设 为试验,S,的样本空间，,A,为,S,的事件，,B,1,B,n,为完备事件组，且,P,(,B,i,)0,i,=1,n,则,由全概率公式也可以证明抽签问题,见书,p21,例,6.1.,例,6,有三个箱子，分别编号为,1,2,3,，,1,号箱装有,1,个红球,4,个白球，,2,号箱装有,2,红,3,白球，,3,号箱装有,3,红球,.,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率,.,解：记,A,=,取得红球,且,AB,1,、,AB,2,、,AB,3,两两互斥,P,(,A,)=,P,(,AB,1,)+,P,(,AB,2,)+,P,(,AB,3,),运用加法公式得,1,2,3,B,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,对求和中的每一项,运用乘法公式得,代入数据计算得：,P,A,)=8/15,P,(,A,)=,P,(,AB,1,)+,P,(,AB,2,)+,P,(,AB,3,),某一事件,A,的发生有各种可能的原因（或途径，或前提条件），,i,=1,2,n,。如果,A,是由原因,B,i,所引起，则,A,发生的概率是,每一原因都可能导致,A,发生，故,A,发生的概率是各原因引起,A,发生概率的总和，即,全概率公式,.,P,(,B,i,A,)=,P,(,B,i,),P,(,A,|,B,i,),由此可以形象地把全概率公式看成为,“,由原因推结果,”,，每个原因对结果的发生有一定的,“,作用,”,，即结果发生的可能性与各种原因的,“,作用,”,大小有关,.,全概率公式表达了它们之间的关系。,诸,B,i,是原因,A,是结果,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,B,6,B,7,B,8,A,例,7,发报机发出“,.”,的概率为,0.6,，发出“,”,的概率为,0.40,；收报机将“,.”,收为“,.”,的概率为,0.99,，将“,”,收为“,.”,的概率为,0.02,。求收报机将任一信号收为“,.”,的概率,.,简解,:,实际中还有下面一类问题，是“,已知结果求原因,”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因发生可能性的大小,.,例,8,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自,1,号箱的概率,.,1,2,3,（先分析后求解）,记,B,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,A,=,取得红球,求,P,(,B,1,|,A,),运用全概率公式,计算,P,(,A,),将这里得到的公式一般化，就得到,?,1,2,3,二,.,贝叶斯公式,定理,6.2,设 为试验,S,的样本空间，,A,为,S,的事件，,B,1,B,n,为完备事件组，且,P,(,B,i,)0,i,=1,n,P,(,A,)0,，则有,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件,A,）发生的最可能原因,.,一个应用是疾病普查问题见书,p25,例,6.4,例,9,某厂产品,96%,是（真）合格品。有一验收方法，把（真）合格品判为“合格品”的概率为,0.98,，把非合格品判为“合格品”的概率为,0.05,。求此验收方法判为“合格品”的一产品为（真）合格品的概率,1.,事件的频率（,frequency,）,设,A,为试验,S,的事件，在相同的条件下把 试验,S,独立的重复进行,N,次，我们称,f,N,(,A,)=,N,次试验中,A,发生的次数,N,是,N,次独立重复试验中，事件,A,发生的频率,1.7,概率与频率,直观想法是用,频率,来近似,事件,A,在一次试验中发生的,可能性的大小,，但是这种近似是否可行呢？,掷一枚均匀硬币，记录前,400,次掷硬币试验中频率,P*,的波动情况。,（横轴为对数尺度）,2.,频率的稳定性,长期实践表明，在重复试验中，事件,A,发生的,频率,f,n,(,A,),总在一个常数值附近摆动，而且，随着重复试验次数,n,的增加，频率的摆动幅度越来越小,.,观测到的大偏差越来越稀少，呈现出一定的稳定性,.,3,概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作,n,次试验，当试验次数,n,很大时，事件,A,发生的频率,f,n,(,A,),稳定地在某数值,p,附近摆动。称数值,p,为事件,A,在这一组不变的条件下发生的概率，记作,f,n,(,A,)=,p,4,频率定义概率的意义,（,1,）它提供了一种可广泛应用的，近似计算事件概率的方法。,（,2,）它提供了一种检验理论正确与否的准则。,Yes.It is considerably important!,相当重要,!,Is Chapter one important?,第一章很重要吗,?,（,第一章到此结束）,希望同学们认真总结复习第一章的内容,.,1,、,袋中有,4,个红球和一个白球。每次随机地任取一球不放回，共取,5,次。求下列事件的概率：,A,：前三次取到白球,B,：第三次取到白球。,解：,习题一,2,、将,10,个球随机地放入,12,个盒中，每个盒容纳球的个数不限，求下列事件的概率：,（,1,）,“,没有球的盒的数目恰好是,2,”,=A,；,（,2,）,“,没有球的盒的数目恰好是,10,”,=B,。,解：,3,、袋中有2,n,-1,个白球，,2,n,个黑球。今随机地不放回地从袋中任取,n,个球，求下列事件的概率：,1,）,n,个球中恰有一个球与其余,n,-1,个球颜色不同,=A,；,2,）,n,个球中至少有一个黑球,=B,；,3,）,n,个球中至少有,2,个黑球,=C,。,解,：,4,、设事件,A,B,满足,求,P,(,B,),。,，且知,解：,5,、设随机事件,A,B,及其和事件,A,B,的概率分别为,0.4,、,0.3,和,0.6,，求,解：,6,、,假设一厂家生产的每台仪器，以概率,0.7,可以直接出厂，以概率,0.3,需进一步调试，经调试后以概率,0.8,出厂，以概率,0.2,是为不合格品不能出厂现该厂新生产了,n,(,n,2),台仪器（假设各台仪器的生产过程是相互独立），求,（,1,）全部能出厂的概率,；,（,2,）,其中恰有两件不能出厂的概率,；,（,3,）,其中至少有两件不能出厂的概率,。,解：,设,A=,一台仪器可直接出厂,=,产品要调试,，,B=,仪器可出厂,由题意,已知条件写成,7,、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是,0.2,，若乙机未被击落，就进行回击，击落甲机的概率是,0.3,。若甲机未被击落，则再次进攻乙机，击落乙机的概率是,0.4,。求这几个回合中，甲机被击落的概率及乙机被击落的概率,解：,设,A,表示甲机第一次击落乙机，,B,表示乙机击落甲机，,C,表示甲机第二次击落乙机，,D,表示甲机被击落，,E,表示乙机被击落。,8,一批产品有,10,个，其中,4,个是次品，今随机地不放回地抽取,2,次，每次任取,2,个产品，,求第二次任取的二个产品都是次品的概率。,解：,设,A,表示第二次任取的二个产品都是次品,，,A,i,表示第一次任取的二个产品中次品的个数为,i,件，,i=0,，,1,，,2,。,由全概率公式得,9,袋中有,2,个白球和,8,个黑球。今有甲、乙、丙三人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球；取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。,解：,设,A,表示丙取到白球,，,B,表示乙取到白球，,C,表示甲取到白球,。,由全概率公式得,10,、设一大炮对某目标进行,n,次独立轰击的命中率都为,p,，若目标被击中,k,次，则目标被摧毁的概率为,求轰击,n,次后目标被摧毁的概率,解：,设,A,表示轰击,n,次后目标被摧毁，,B,k,表示轰击,n,次后目标被命中了,k,次,k=0,1,n,。,由全概率公式得,11,、设有一批产品，共,100,件，其中,4,件废品，,96,件正品，任取三件测试，若有一件测试不合格就拒绝接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为,0.05,，而正品被误测为不合格的概率是,0.01,。求该批产品被接受的概率。,解：,设,A,表示该批产品被接受。,B,k,表示抽取的三件产品中有,k,件废品,k=0,，,1,，,2,，,3,。,由全概率公式得,作业：,1.19,，,1.24,，,1.25,，,1.28,