第三章中值定理与导数的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节.中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,0,1,x,y,0,x,y,A,B,M,N,C,a,x,b,令,等号仅在,a=b,时成立,！,定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求,极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,极限不存在,正确做法：,型,泰勒公式,是将一个函数表达成多项式的形式,多项式,是各类函数中最简单的一种。用多项式,近似表达函数是近似计算和理论分析,中的一个重要内容,我们来找系数与,f(x),的导数之间的关系,f(x),可以写成,泰,勒(,Taylor),中值定理,如果函数,f(x),在含有的某个开区间(,a,b),内具有直到(,n+1),阶的导数 则当,x,在(,a,b),内时，,f(x),可以表示为 的一个,n,次多项式与一个余项,之和：,(3),其中,：,(4),这里是与 之间的某个值,。,拉格朗日余项,皮亚诺余项,解,：,令,：,x=1,即用,代替,e,的值,其,误差不超过0.000001,当,n=9,时,解,：,其中,：,则,：,其,误差为,：,m=2,m=3,若,：,m=1,若,：,解,：,解,：,我们讲的是在点，一阶导数为零的情况。其实一阶导数不存在的点也有可能为极值点，对于这些点同样可用定理,2,的办法来计算。,我们知道闭区间,a,b,上的连续函数总存在最大值和最小值，那么怎样找出这些最大值和最小值呢？,h,图例,第七节,.,曲线的凹凸性与拐点,从,图形上看很能理解,上,凹（下凸）,下,凹（上凸）,定义,1.,设,f(x),在区间,I,上连续，如果对,I,上任意两点恒有：,那末称,f(x),在,I,上的图形是,(,向上,),凹的,(,或凹弧,);,如果恒有,:,那末称,f(x),在,I,上的图形是,(,向上,),凸的,(,或凸弧,),。,x,y,o,y,o,x,拐点,拐点,x,y,o,x,y,o,2,x,y,若曲线,c,上的动点,P,沿着曲线无限地远离原点时，点,P,与某一固定直线,L,的距离趋于零，则称直线,L,为曲线,c,的渐近线。o,y=c,x,y,o,x,y,o,x,y,N,M,P,o,函数图象的讨论,函数图象讨论的程序是：,确定函数的定义域,1.,2.,考察函数的奇偶性，周期性,3.,确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点,4.,确定函数的单调区间，极值点,凹凸的区间以及拐点,.,5.,考察渐近线,根据上述讨论结果最后画出函数的图象,-2,x,y,1,2,3,4,5,-1,二.,成本,某,产品的总成本 是指一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格费用总额，它由固定成本与可变成本组成。,平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。,边际成本是总成本的变化率。,三.,收益,总,收益,生产出售一定量产品所得到的全部收入。,平均收益,生产者出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。,边际收益,总收益的变化率。,总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数。,设,P,为商品价格，,Q,为商品量，,R,为总收益，为平均收益，,R,为,边际收益。,需求函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,例1.,设某产品的价格与销售量的关系为,P=10-Q/5,求销售量为,30,时的总收,益，平均收益与边际收益。,解,：,下面讨论最大利润原则,设总利润为,L，,则,取得最大值的必要条件：,即,：,边际收益,边际成本,取得最大利润的充要条件：,例2.,已知某产品的价格与销售量的关系为,，成本函数为C=50+2Q,求,：,产量为多少时，总利润最大？,并验证是否符合最大利润原则,解,：,即,：,又,：,符合最大利润原则,例3.,某工厂生产某种产品，固定成本,20000,元，每生产一单位产品，成本,增加,100,元。已知总收益是年产,量的函数,问,：,每年生产多少产品时，总利润最大？,此时总利润是多少？,解,：,根据题意，,总成本函数,为,从而可得,总利润函数,为,分段点可用定义证,又：,令：,则：,Q=300,L,最大,四.,函数的相对变化率,函数的弹性,例,：,商品甲每单位价格,10,元，涨价,1,元。商品乙每单位价格,1000,元，也涨价,1,元。两种商品价格的绝对改变量都是,1,元但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有了很大的不同，商品甲涨了,10%,，而商品乙涨了,0.1%,。,因此,我们还有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。,例如,：，当,x,由10,改变到,12,时，,y,由100,改变到,144,，此时，自变量与因变量的绝对改变量,分别为 而，这表示当,x=10,改变到,12，,x,产生了,20%,的改变，,y,产生了,44%,的改,变，,这就是,相对改变量,。,这表示在,(10,12),内从,x=10，x,改变,1%,时，,y,平均改变,2.2%,。,我们称它为,x=10,到,x=12,函数的平均相对变化率。,定义：,设函数,f(x),在处可导，函数的相对改变量 与自变量的相对改变量之比,称为函数,f(x),从到两点间的,相对变化率,或,两点间的弹性。,称为,f(x),在 处的,相对变化率,或称为,弹性,记,作,：,对,一般,x，,若,f(x),可导，则有：,是,x,的函数，称为,f(x),的弹性函数。,例,1,.,求函数,y=3+2x,在,x=3,处的弹性,解：,例2,.,求函数 的弹性函数及,解,：,例3.,求函数（为常数）的弹性函数,解,：,五.,需求函数与供给函数,需求函数,设表示商品价格，表示需求量,Q=f(p),称为,需求函数,一般说来，商品价格低，需求大，商品价格高，需求小，,因此，一般需求函数,Q=f(p),为单调减少函数。,有,反函数,也,称为需求函数,需求函数,Q=f(p),的边际函数,Q=f(p),称为,边际需求,例:,若已知需求函数，则边际需求函,数为,Q(8)=-4,称为,P=8,时的边际需求,即，当,P=8,价格上涨一个单位时，需求将减少,4,个单位。,供给函数,设,P,表示商品价格，,Q,表示供给量，称为供给函数,一般地，商品价格低，生产者不愿生产，供给少。商品价格高供给多，因此一般供给函数为单调增加函数,有反函数,也,称为,供给函数,均衡价格,均衡价格,是指市场上需求量与供给量相等时的价格。设均衡价格为,则需求量 与供给量为称为,均衡产品量,。,例,1.,设某商品的需求函数为,Q=b-,aP,(a,b0),供给,函数,Q=cp-d(c,d0),求,：均衡价格,解：,六.,需求弹性与供给弹性,需求弹性,是刻划当商品价格变动时需求变动的强弱,定义：,需求函数,Q=f(p),在处可导，则,称为在，两点间的,需求弹性。,记,作：,而：,称为在,处的,需求弹性，记作：,例2,.,设某商品需求函数为,求：,1),需求弹性函数,2),P=3,P=5,P=6,时的需求弹性,解：,(1),(2),，,说明,当,P=5,时，,价格,与,需求,变动的幅度,相同。,，,说明,当,P=3,时，,需求变动,的幅度,小于,价格变动,的幅,度。,即,：,P=3,时，价格上涨了,1%,，需求只减少,0.6%,。,，,说明当,P=6,时，,需求变动,的幅度,大于,价格变动,的幅度,即,：,P=6,时，价格上涨了,1%,，需求减少了,1.2%,。,定义,2.,某商品供给函数在可导，,称为两点间的供给弹性。,记,作,：,称为在处的供给,弹性,记,作：,例,：,设某商品需求函数为,Q=f(P)=12-P/2,求需求弹性函数,求,P=6,时的需求弹性,在,P=6,时，若价格上涨,1%,，总收益增加还是减少？,将变化百分之几？,P,为何值时，总收益最大？最大的总收益是多少？,解：,(1),(2),(3),价格上涨，收益减少；,，,取得最大值。,，,所以价格上涨,1%,，总收益将增加,下面求,R,增长的百分比，即求,R,的弹性。,当,P=6,时，价格上涨,!%,，总收益约增加,0.67%,(4),所以当,P=12,时，总收益最大，最大总收益为,72.,作业,补充题：（赵树源,P121）,1,.,某化工厂日产能力最高为,1000,吨，每日产品,的总成本,C（,单位：元）是日产量,x（,单位,:,吨）的函数。,2,.,设某产品生产,x,单位的总收益,R,为,x,的函数,求,：生产,50,单位产品时的总收益及平均单位产品的收益和边际收益,求当日产量为,100,吨时的边际成本,求当日产量为,100,吨时的平均单位成本,3.,某厂每批生产某种商品,x,单位的费用为,4.,设某商品需求量,Q,对价格为函数关系为,（元）,得到的收益是,（元）,问,：,每批应生产多少单位时，才能使利润最大？,求：,需求,Q,对于价格,P,的弹性函数,