梁的受力分析.ppt

第二章 箱 梁 分 析,箱形截面具有良好的结构性能，因而在现代各种桥梁中得到广泛应用。在中等、大跨预应力混凝土桥梁中，采用的箱梁是指薄壁箱型截面,的,梁。其主要优点是：,截面抗扭刚度大，结构在施工与使用过程中都具有良好的稳定性；,顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并满足配筋的要求，适应具有正负弯矩的结构，如连续梁、拱桥、刚架桥、斜拉桥等，也更适应于主要承受负弯矩的悬臂梁，,T,型刚构等桥型；,适应现代化施工方法的要求，如悬臂施工法、顶推法等，这些施工方法要求截面必须具备较厚的底板；,前 言：箱梁的主要优点,承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，达到经济效果，同时截面效率高，并适合预应力混凝土结构空间布束，更加收到经济效果；,对于宽桥，由于抗扭刚度大，跨中无需设置横隔板就能获得满意的荷载横向分布；,适合于修建曲线桥，具有较大适应性；,能很好适应布置管线等公共设施。,第一节,箱梁截面受力特性,箱梁截面变形的分解,：,箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移，可分成四种基本状,态：纵向弯曲、横向弯曲、扭转及扭转变形（即畸变）；,因弯扭作用在横截面上将产生纵向正应力和剪应力，因横向,弯曲和扭转变形将在箱梁各板中产生横向弯曲应力与剪应力。,箱梁应力汇总及分析,：,纵向正应力，剪应力；横向正应力；,对于混凝土桥梁，恒载占大部分，活载比例较小，因此，对,称荷载引起的应力是计算的重点。,1.1,箱梁截面变形的分解,纵向弯曲,：,对称荷载作用；产生纵向弯曲正应力 ，弯曲剪应力 。,横向弯曲,：,局部荷载作用；产生横向正应力 。,扭转,：,反对称荷载的作用下的刚性转动，分为自由扭转与约束扭 转；产生自由扭转剪应力 ，翘曲正应力 ，约束扭转剪应力 。,扭转变形,：,即畸变，反对称荷载的作用下的扭转变形；产生翘曲正应 力 ，畸变剪应力 ，横向弯曲应力 。,1.1.1,纵向弯曲,纵向弯曲产生竖向变位 ，因而在横截面上引起纵向正应力 及,剪应力 ，见图。图中虚线所示应力分布乃按初等梁理论计算,所得，这对于肋距不大的箱梁无疑是正确的；但对于肋距较大,的箱形梁，由于翼板中剪力滞后的影响，其应力分布将是不均,匀的，即近肋处翼板中产生应力高峰，而远肋板处则产生应力,低谷，如图中实线所示应力图。这种现象称为,“,剪力滞效,应,”,。对于肋距较大的宽箱梁，这种应力高峰可达到相当大比,例，必须引起重视。,1.1.2,横向弯曲,箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分析外，,还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除直接受荷,载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定结构，因而,引起其它各部分产生横向弯曲，如下图。,箱梁的横向弯曲，可以按下图,a,）所示计算图式进行计算。图,示单箱梁可作为超静定框架解析各板内的横向弯曲应力 ，其,弯矩图如下图,b,）所示。,1.1.3,扭转,箱形梁的扭转（这里指刚性扭转，即受扭时箱形的周边不变形）,变形主要特征是扭转角 。箱形梁受扭时分自由扭转与约束扭,转。所谓自由扭转，即箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是,自由的，杆件端面虽出现凹凸，但纵向纤维无伸长缩短，自由翘,曲，因而不产生纵向正应力，只产生自由扭转剪应力 。,当箱梁端部有强大横隔板，箱梁受扭时纵向纤维变形不自由，,受到拉伸或压缩，截面不能自由翘曲，则为约束扭转。约束扭转,在截面上产生翘曲正应力 和约束扭转剪应力 。产生约束扭转的,原因有：支承条件的约束，如固端支承约束纵向纤维变形；受扭,时截面形状及其沿梁纵向的变化，使截面各点纤维变形不协调也,将产生约束扭转。如等厚壁的矩形箱梁、变截面梁等，即使不受,支承约束，也将产生约束扭转。,在箱壁较厚或横隔板较密时，可假定箱梁在扭转时截面周边保,持不变形，在设计中就不必考虑扭转变形（即畸变）所引起的,应力状态。但在箱壁较薄，横隔板较稀时，截面就不能满足周,边不变形的假设，在反对称荷载作用下，截面不但扭转而且要,发生畸变。,扭转变形，即畸变（即受扭时截面周边变形），其主要变形特,征是畸变角 。薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截,面的投影仍为矩形。畸变产生翘曲正应力 和畸变剪力 ，,同时由于畸变而引起箱形截面各板横向弯曲，在板内产生横向,弯曲应力（如图所示）。,1.1.4,扭转变形,1.2,箱梁应力汇总及分析一箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移，可分成四种基本状态：纵向弯曲、横向弯曲、扭转及扭转变形（即畸变,),。他们引起的应力状态为：,纵向弯曲,-,纵向弯曲正应力 ，弯曲剪应力,横向弯曲,-,横向正应力,扭转,-,自由扭转剪应力 ，翘曲正应力 ，约束扭转剪应力,扭转变形,-,翘曲正应力 ，畸变剪应力 ，横向弯曲应力,因而，综合箱梁在偏心荷载作用下，四种基本变形与位移状态引起的应力状态为：,在横截面上：,纵向正应力,剪应力,在纵截面上：,横向弯曲应力,第二节 箱梁对称挠曲时的弯曲应力,弯曲正应力,：,根据材料力学的一般梁理论可直接求解；,初等梁理论，顶底板应力均匀分布；,空间梁理论，顶底板应力不均匀，有剪力滞作用。,弯曲剪应力,：,开口截面，由材料力学中一的般梁理论直接求解；,闭口截面，根据变形协调条件求解,。,2.1,弯曲正应力,箱梁在对称挠曲时，仍认为服从平截面假定原则，梁截,面上某点的应力与距中性轴的距离成正比。因此，箱梁的弯曲,正应力为：,应指出，如同,T,梁或,I,梁一样，箱梁顶、底板中的弯曲正,应力，是通过顶、底板与腹板相接处的受剪面传递的，因而在,顶、底板上的应力分布也是不均匀的，这一不均匀分布现象由,剪力滞效应引起。,2.2,弯曲剪应力,开口截面,：,由材料力学中的一般梁理论，可直接得出。,闭口单室截面,：,问题,-,无法确定积分起点；,解决方法,-,在平面内为超静定结构，必须通过变形协调,条件赘余力剪力流,q,方可求解。,闭口多室截面,：,每一室设一个切口，每个切口列一个变形协调方程，联合求解,可得各室剪力流；,2.2.1,开口截面,一般梁理论中，开口截面弯曲剪应力计算公式为：,式中：,b,计算剪应力处的梁宽；,是由截面的自由表面（剪应力等于零处）积分至所求,剪应力处的面积矩（或静矩）,。,2.2.2,闭口单室截面,图,a,所示箱梁，在截面的任一点切开。假设一未知剪力流 ，对,已切开的截面可利用式,计算箱梁截面上各点的剪力流 。由剪力流 与 的作用，在截面切,开处的相对剪切变形为零，即：,(a),此处 是沿截面周边量取的微分长度，,符号 表示沿周边积分一圈剪应变为：,(b),而剪力流,(c),将式（,b,）与式（,c,）代入式（,a,），则得：,而 代入上式得：,于是，箱梁的弯曲剪应力为：,式中 时的超静定剪力流。,可见，单箱梁的弯曲剪应力的计算公式在形式上与开口截面剪应,力计算公式相似，唯静矩计算方法不同。实质上，静矩计算式包含,着确定剪应力零点位置的计算，它的物理含义与 并没有什么区别。,2.2.3,闭口多室截面,如是单箱多室截面，则应将每个室都切开（如图所示），按每,个箱室分别建立变形协调方程，联立解出各室的超静定未知剪力流 ：,其一般式为：,图示的单箱三室截面，可写出如下方程：,从联立方程中解出超静定未知剪力,流 、和 ，则最终剪力流为：,则：各箱室壁上的弯曲剪应力：,第三节 箱梁的剪力滞效应,基本概念,：,宽翼缘剪切扭转变形的存在，而使远离梁肋的翼缘不参予承弯工作，也即受压翼缘上的压应力随着离梁肋的距离增加而减小，这个现象就称为,“,剪力滞后,”,，简称剪力滞效应；,剪力滞效应与截面纵桥向位置、荷载形式、支承条件、横桥向宽度、截面形状都有关系。,矩形箱梁剪力滞解析,：,引入梁的竖向挠度与纵向位移两个广义位移，应用最小势能原理分析箱梁的挠曲，得到剪力效应的基本微分方程，可求得结构的剪力滞效应；,引入剪力滞效应系数,来描述箱梁剪力滞效应。,剪力滞的分析与讨论,：,有横向效应、纵向效应；,当结构约束条件与荷载形式确定以后，剪力滞效应随箱梁的跨宽比和惯矩比变化,3.1,基本概念,如下页图所示，,T,梁受弯曲时，在翼缘的纵向边缘上（在梁肋切开处）,存在着板平面内的横向力和剪力流；翼缘在横向力与偏心的边缘剪力,流作用下，将产生剪切扭转变形，再也不可能与梁肋一样服从平面理,论的假定。剪切扭转变形随翼缘在平面内的形状与沿纵向边缘剪力流,的分布有关。一般已知，狭窄翼缘的剪切扭转变形不大，其受力性能,接近于简单梁理论的假定，而宽翼缘因这部分变形的存在，而使远离,梁肋的翼缘不参予承弯工作，也即受压翼缘上的压应力随着离梁肋的,距离增加而减小，这个现象就称为,“,剪力滞后,”,，简称剪力滞效应。,为了使简单梁理论（即平面假定）能用于T,梁的分析（包括,I,梁），一,般采取,“,翼缘有效分布宽度,”,的方法处理。我国公路桥梁规范中规定,为 或 或 ，取最小值，式中,L,为简支梁计算跨径，为肋宽，为加腋长度，为主梁间距，为翼板厚度（不计承托）。,箱梁在对称荷载作用下的弯曲也同样存在这种剪力滞现,象。特别是大跨度预应力混凝土桥梁中所采用的宽箱梁,（腹板间距较大的单箱单室的箱梁）。剪力滞效应较为明,显。这种现象也是由于箱梁上下翼板的剪切扭转变形使翼,板远离箱肋板处的纵向位移滞后于肋板边缘处，因此，在,翼板内的弯曲应力呈曲线分布。梁的简单弯曲理论固已不,适用于宽箱梁的翼板受力分析，而,T,梁翼缘有效分布宽度的,计算方法也不能直接应用。因此，必须研究宽箱梁的剪力,滞效应，寻求符合实际情况的计算方法。,3.2,矩形箱梁剪力滞解析,假定广义位移,：,由于宽箱梁在对称挠曲时，翼板不能符合简单梁平面假定，故引入,两个广义位移，即梁的竖向挠度,w(x,),与纵向位移,u(x,y,),；,假定翼板内的纵向位移沿横向按二次抛物线分布。,最小势能原理,：,梁腹板应变能扔按简单梁理论计算；,梁上、下翼板按板的受力状态计算应变能，并认为板的竖向纤维无,挤压。,剪力滞效应基本微分方程,：,用变分法可得剪力滞效应求解的基本微分方程（包括边界条件）。,根据求解剪力滞效应的基本方程和箱梁结构体系的不同边界条件，,可求得结构的剪力滞效应。,考虑剪力滞效应后的翼板应力,：,求得考虑剪力滞效应后的挠曲微分方程和翼板纵向正应力。,剪力滞系数,：,（考虑剪力滞效应所求得的翼板正应力）,（按简单梁理论所求得,的翼板正应力）,3.2.1,假定广义位移,宽箱梁在对称挠曲时，因翼板不能符合简单梁平面假,定，应用一个广义位移 ，即梁的挠度来描述箱梁的挠曲变形,已经不够。在应用最小势能原理分析箱梁的挠曲时，引入两个,广义位移，即梁的竖向挠度 与纵向位移 ，且假定翼板内的,纵向位移沿横向按二次抛物线分布，国内有关文献,46,中，对此,假定以三次抛物线作修正，得：,式中,:,翼板紧大纵向位移差函数；,1/2,翼板净跨；,竖向 座标（板厚，或梁高）。,3.2.2最小势能原理,根据最小势能原理，在外力作用下结构处于平衡状态时，当,有任何虚位移时，体系的总势能的变分为零。即有：,式中：,体系的应变能；,外力势能。,梁受弯曲时的外力势能：,梁的应变能为梁腹板部分与上、下翼板部分的应变能之和。,梁腹板部分仍采用简单梁理论计算其弯曲应变能，对上、下翼板按板的,受力状态计算应变能，并认为板的竖向纤维无挤压，板平面外剪切,变形 与 及横向应变 均可略去不计。,即：,梁腹板部分应变能为：梁上、下翼板应变能为,：,3.2.3,剪力滞效应基本微分方程,由变分法可得剪力滞效应求解的基本微分方程（包括变分,所要求的边界条件），即：,式中：,箱梁惯矩：,翼板惯矩：；为由于剪力滞效应,产生的附加弯矩，它是纵向最大位移差值 的一阶导数的函,数，且与翼板的弯曲刚度成正比关系。,3.2.4,考虑剪力滞效应后的翼板应力,为由于剪力滞效应产生的附加弯矩，它是纵向最大位移差,值 的一阶导数的函数，且与翼板的弯曲刚度成正比关系。,因而，箱梁考虑剪力滞效应的挠曲微分方程变为：,而考虑剪力滞效应的翼板中应力为：,3.2.5,剪力滞系数,为了更简便描述与讨论箱梁剪力滞效应的影响，可引入剪,力滞系数,：,箱梁翼板与腹板交角处的剪力滞系数为 。,当,1,为正剪力滞，如,1,则为负剪力滞（如图所示）。,3.3,剪力滞的分析与讨论,横向效应,：,连续梁受集中荷载或均布荷载时的剪滞系数,沿箱梁截面,上、下翼板上的分布情况，它显示出剪力滞的影响。,纵向效应,：,连续梁受均布荷载，在纵向正弯矩区里的变化，其值要比,相应同跨径的简支梁大；,在负弯矩区则变化剧烈，并出现负剪力滞效应的现象。,参数影响,：,结构约束条件与荷载型式确定后，剪力滞效应随 、变化；,箱梁跨宽比越小或比值越大，剪力滞影响越严重。,3.3.1,横向效应,连续梁受均布荷载时的剪滞系数,沿箱梁截面上、下翼板上,的分布情况（跨中截面：下页左图所示；内支点载面：下页右图所示），,显示出剪力滞的影响。工程设计者从这一现象中可对箱型梁的弯,曲应力分布有一个较清楚的认识，以便在设计中考虑这一因素，,使预应力钢筋布置得更合理。,3.32,纵向效应,下,图所示是连续梁受均布荷载的情形，在纵向正弯矩区,里的变化，如同简支梁的情况，但其值要比相应同跨径的简支,梁大；在负弯矩区则变化剧烈，并出现负剪力滞效应的现象，,这与悬臂梁情况相似。,3.3.3,参数影响,当结构约束条件与荷载型式确定后，剪力滞效应随 、变化。,而参数 是箱翼板总惯矩与梁总惯矩的比值（），参数 是箱的,跨宽比（,L,/2,b,）的函数（当 为一定值时）。,由连续梁在均布荷载的作用下，与,L,/2,b,(,下页左图所示,),或 与 的,关系,(,下页右图所示,),，可见，箱梁跨宽比越小或比值越大，剪力滞影响越,严重。实际上，在桥梁结构中 的变化幅度不是很大（一般在,0.7,0.8,左右），而跨宽比的变化幅度较大。因而，在短与宽的箱梁桥中，,对剪力滞效应要加以注意。,第四节 箱梁的自由扭转应力,单室箱梁的自由扭转,：,利用内外力矩平衡，求得自由扭转剪应力；,多室箱梁的自由扭转,：,多室箱梁扭转时，截面内是超静定结构，必须将各室切,开，利用切口变形协调条件求解超静定剪力流。,4.1,单室箱梁的自由扭转,扭转剪应力,：,剪应力沿截面厚度方向相等，在全截面环流；,根据内外力矩平衡，可求得自由扭转剪应力。,扭转变形与位移,：,根据剪切变形计算式，得出纵向位移计算式，然后引入,封闭条件，即：始点纵向位移与终点位移相同，求得单室箱梁自,由扭转时的变形与位移。,4.1.1,扭转剪应力,等截面箱梁在无纵向约束，仅受扭矩作用，截面可自由,凸凹时的扭转称为自由扭转，也即圣,维南,(St.,Venat,),扭转。,箱梁截面因板壁厚度较大，或具有加腋的角隅使截面在扭转,时保持截面周边不变形，自由扭转即是一无纵向约束的刚性,转动，可以认为，在扭矩作用下只引起扭转剪应力，而不引起,纵向正应力。梁在纵向有位移而没有变形。,如图所示单箱梁在外扭矩 作用下，剪力流 沿箱壁是等,值的，建立内外扭矩平衡方程，即得：,或,式中：,箱梁薄壁中线所围面积的两倍；,截面扭转中心至箱壁任一点的切线垂直距离。,4.1.2,扭转位移与变形,已知自由扭转剪应力为：,(a),如图所示，假设 为梁轴方向，为纵向位移，为箱周边切线方,向位移，则可得剪切变形计算式为：,(b),式中：,截面扭转角。由上式积分可得纵向位移计算式：,(c),式中：,积分常数，为初始位移值。,引用封闭条件，对上式积分一周，由于始点纵向位移与终点位移 是相同的，则：,(d),将式,(a),代入上式得：,(e),式中抗扭刚度 ，说明箱梁在自由扭转时，扭率 为常数。,引用式（,a,）和式（,e,）的关系，代入式（,c,），纵向位移计算式可简化如下：,式中：,广义扇性座标；,至此，箱梁自由扭转时的应力、变形和位移都可求解。,4.2,多室箱梁的自由扭转,对于单箱多室截面，则可根据单室箱梁的扭转微分方程：,，并考虑到箱壁中相邻箱室剪力流所引起的剪切变形，则可对每室写,出各自的方程，其一般形式为：,式中：,第 箱室的剪力流，；,第 箱室周边中线所围面积的两倍,。,而内外扭矩平衡方程为：,解上述联立方程，即可求得 、和 ，而各箱梁壁处的自由扭转,剪应力 也可求出，在所求得,(z),的关系式中，令,(z)=1,时所需,的 值，即为该箱梁的抗扭刚度。,第五节 箱梁的约束扭转应力,基本假定,：,周边不变形，应力沿臂厚方向均匀分布，沿梁纵轴方向的纵向,位移同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化。,约束扭转正应力,：,应用基本假定和截面上合力的平衡条件求解。,约束扭转剪应力,：,根据微元上力的平衡方程式和截面内外力矩的平衡式来计算。,约束扭转扭角的微分方程,：,应用截面上内外扭矩平衡和截面上纵向位移协调求解；,截面约束系数,反映了截面受约束的情况。,5.1,基本假定,当箱梁端部有强大横隔板，扭转时截面自由凸凹受到约束，使,纵向纤维受到拉伸或压缩，从而产生约束扭转正应力与约束扭转剪,应力。此正应力在断面上的分布不是均匀的，这就引起了杆件弯曲,并伴随有弯曲剪应力流。这样，箱梁在约束扭转时除了有自由扭转,的剪应力外，还有因弯曲而产生剪应力。在箱梁截面比较扁平或狭,长，或在变截面箱梁中，都有这种应力状态存在。,这里只简要介绍箱梁截面约束扭转的实用理论，它建立在以下,假设的基础上。,1),箱梁扭转时，周边假设不变形，切线方向位移为：,2),箱壁上的剪应力与正应力均沿壁厚方向均匀分布；,3),约束扭转时沿梁纵轴方向的纵向位移（即截面的凸凹）假,设同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化。,即：,式中：,初始纵向位移，为一积分常数；,截面凸凹程度的某个函数。,扭转函数。,5.2,约束扭转正应力,由基本假定，约束扭转时沿梁纵轴方向的纵向位移（即,截面的凸凹）假设同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规,律变化。即：，知纵向应变与正应力为：,由此可见，截面上的约束扭转正应力分布和广义扇性座,标 成正比。为确定截面计算扇性座标的极点（也即扭转中,心）和起始点，可应用截面上的合力平衡条件（因只有外扭矩,M,K,的作用为：,即，扇性静力矩 ，扇性惯性积 ，,如令 为主扇性惯性矩和 为约束扭转双力矩，即：,则正应力计算式可表示为：,这一形式与一般梁的弯曲正应力计算式 相似。,5.3,约束扭转剪应力,如图，取箱壁上,A,点的微分单元,ds,.,dz,，根据力的平衡得到方程,式（如图所示）：,(a),将纵向应变与正应力的表达式：，,代入上式，并积分得：,(b),根据内外力矩平衡条件,可确定初始剪应力值 （积分常数）为：,(c),式中 为扇性静矩。,将式,（,c,）,代入式,（,b,）,即可得约束扭转时的剪应力：,(d),式中：,从式,（,d,）,可见，约束扭转时截面上的剪应力为两项剪应力,之和。第一项是自由扭转剪应力 ；第二项是由于约束扭转,正应力沿纵向的变化而引起的剪应力为：,或可表示为：,此式在形式上与一般梁的弯曲剪应力公式 相似。,5.4,约束扭转扭角的微分方程,为确定约束扭转正应力及剪应力，都必须确定扭转函,数 。为此，根据假设，可得到的剪应变公式：,(a),再应用内外扭矩平衡方程，可得到微分方程：,(b),式中：截面极惯矩 ；截面约束系数（或称翘曲系,数）。,截面约束系数 反映了截面受约束的程度。对圆形截,面，因此,=0,，式,（,b,）,为自由扭转方程，即圆形截面只,作自由扭转。事实上，任何正多角形等厚度闭口断面对其中的,扭转时也不发生翘曲。对箱形截面，箱梁的高宽比较大时，与,差别也越大值就大，截面上约束扭转应力也相应要大一些。,又引用封闭条件，即对式,（,a,）,中代入 的关系式，沿周,边积分一圈，利用 的条件，可导得另一微分方程：,(c),式中：,式（,b,）与式（,c,）是一组联立微分方程组，可以解出 与 。如,在外扭矩 是 的二次函数的条件下，则式（,b,）对 微分三次，,可得，代入式（,c,）得：,或写成：,式中：为约束扭转的弯扭特性系数。,此四阶微分方程的全解是：,函数 的各阶导数也可求出。积分常数,C,1,，,C,2,，,C,3,，,C,4,的值，可根,据箱梁边界条件确定，如：,固端：,=0,（无扭转）；,=0,（截面无翘曲）；,铰端：,=0,（无扭转）；,=0,（可自由翘曲）；,自由端：,=0,（可自由翘曲）；,=0,（无约束剪切）。,显然 也可随之而解，约束扭转正应力与剪应力都可解出。如箱梁,为变截面梁，可以把梁分成阶段常截面梁求解，或用差分法求解。,第六节 箱梁的畸变应力,弹性地基梁比拟法基本原理,：,利用箱梁的畸变角微分方程与弹性地基梁的微分方程的相,似形式，用受横向荷载的弹性地基梁来比拟箱梁的畸变；,根据比拟关系可以计算箱梁的畸双力矩和畸变角。,应用影响线计算畸变值,：,弹性地基梁的弯矩与挠度影响线可以通过查表获得。,6.1,弹性地基梁比拟法基本原理,畸变角微分方程,：,根据最小势能原理，在外力作用上结构处于平衡状态时，当有,任何虚位移时体系的总势能的变分为零可求得畸变角微分方程。,弹性地基微分方程,：,已知弹性地基微分方程,.,物理量的相似关系,：,畸变角微分方程与弹性地基微分方程有相似的形式；,其方程中各物理量之间都有着相似的关系。,边界条件的相似比拟,：,剪力刚性，可自由翘曲的横隔板,-,简支支座；,剪力柔性，可自由翘曲的横隔板,-,弹性支座；,剪力刚性，又翘曲刚性的横隔板,-,固端支座。,畸变应力,：采用和弹性地基梁相同的方法，即初参数法，解畸变角微分方,程，求得畸变应力。,6.1.1,畸变角微分方程,根据变分法的最小势能原理，可推导出箱梁截面畸变角 的微,分方程，如不考虑剪切变形的应变能，体系的总势能为：,式中：,箱梁周壁横向弯曲应变能；,箱梁截面翘曲应变能；,反对称荷载的荷载势能。,根据最小势能原理，在外力作用下结构处于平衡状态时，当有,任何虚位移时，体系的总势能的变分为零即 。如选择梁畸,变角（如图所示）为参变数，、都可以用 表示，经演化可得：,式中：,；,箱梁框架刚度；,截面畸变的翘曲,度；,畸变荷载。,要注意，作用在箱梁上的反对称荷载并不就是畸变荷载。,6.1.2,弹性地基微分方程,弹性地基梁的弹性微分方程为：,式中：,；,地基系数。,6.1.3,物理量的相似关系,弹性地基梁与受畸荷载箱梁各物理量之间相似关系,弹性地基梁,截面畸变的箱梁,梁的抗弯刚度,(N,.,m,2,),截面畸变时的翘曲刚度,N,.,m,4,),地基系数,(,N,.,m,),箱梁截面的框架刚度,(N),横向荷载,(,N,.,m,),畸变荷载,(,均布,),(N),挠度,(m),畸变角,（弧度）,弯矩,(,N,.,m,）,畸变双力矩,(N,.,m,2,),剪力,（,N,）,畸变双力矩的一阶导数,(,N,.,m,),6.1.4,边界条件的相似比拟,要注意，截面畸变角微分方程的边界条件系指对截面畸,变及翘曲的约束，而不是指对整个截面的支承。箱梁的横隔板,（或对角撑）相应于弹性地基梁的中间支座。一个剪力刚性，,但可以自由翘曲的隔板，相应于一个简支支座；一个剪力柔,性，但可自由翘曲的隔板，相应于一个弹性支座；一个即是剪,力刚性又是翘曲刚性的横隔板，相应于一个固端支座。（如图,所示）,6.1.5,畸变应力,畸变角微分方程可采用弹性地基梁相同的方法求解，如初参,数法。若,4,时，则箱梁跨中区域相似于两边为无限长的弹性地,基梁作用，两端部区域则相似于一边为无限长的弹簧地基梁作,用；,4,时，则按有限长的弹性地基梁解。求,得截面畸变角后，计算畸变应力。,畸变产生的翘曲正应力为：,相应的剪应力为：,横向弯曲力矩为：,式中：,截面畸变翘曲率；,截面畸变翘曲惯,矩；，,框架参数，,箱壁板的,截面模量。,6.2,应用影响线计算畸变值,无限长梁,（,4,）：,跨中截面作用一畸变荷载，该截面处的畸变双力矩和畸变角,相应于无限长弹性地基梁在相应荷载作用下的弯矩和挠度。,可直接布载计算。,有限长梁,(,4,),：,不同的边界条件，影响线不同；,计算箱梁截面各项几何特性与参数，然后确定在反对称荷载,作用下的畸变荷载。再利用影响线，即可得畸变应力,。,6.2.1,无限长梁,对于无限长梁（,4,），跨中截面作用一畸变荷载，该,截面处的畸变双力矩和畸变角相应于无限长弹性地基梁在相应,荷载作用下的弯矩和挠度，其曲线如图所示。可直接布载（注,意是畸变荷载）计算。因为图中曲线即可看作荷载作用点截面,的 与 的影响线。,6.2.2,有限长梁,两端铰接,:,两端铰接时，与 的影响线；,两端嵌固,：,两端嵌固时，与 的影响线；,一端嵌固，一端铰接,：,端嵌固，一端铰接时，与 的影响线,。,两端铰接,两端铰接时，与 的影响线如图所示：,两端嵌固,两端嵌固时，与 的影响线如图所示：,一端嵌固，一端铰接,一端嵌固，一端铰接时，与 的影响线如图所示：,