复数的向量表示.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.2,复数的向量表示,一、引入,事实上,把数系从实数集扩充为复数集后,不仅可以把原来在,实数集中开方运算不总可以实施的矛盾得以解决,而且还可以用来,表示坐标平面上的点,.,根据复数相等的定义,我们知道,任何一个复数,z=a+,bi,都可以由一个有序实数对,(,a,b),唯一确定,;,我们还知道,有序实数对,(,a,b),与平面直角坐标系中的点是一一对应的,.,由此,可以建立,复数集与,平面直角坐标系中的点集之间的一一对应,.,二、基础知识,1.,复数的点表示,建立复平面,:,在直角坐标系中,把,x,轴叫做实轴,y,轴叫做虚轴,这个坐标系叫做复平面,.,复数,z=a+bi,可用点,Z(a,b),表示,横坐标,a,是复数,z,的实部,纵坐标,b,是复数,z,的虚部,其中,a,b,R.,.,Z:a+bi,O a x,y,b,实轴上的点都表示实数,;,除了原,点以外,虚轴上的点都表示虚数,.,复数,z=a+bi,复平面点,Z(a，b),一一对应,这是复数的一种几何意义,.,2.,共轭复数,当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数,称为,共轭复数,.,特别地,虚部不等于,0,的两个共轭复数也叫做共轭虚数,.,复数,z,的共轭复数用 表示,即,z=a+bi,则,=,a-bi.,的充分必要条件是,.z,纯虚数,的充分必要条件是,.,复,平面内与一对,共轭复数对应的点,Z,和 关于实轴,对称,.,:,a-bi,-b,O a x,y,Z:a+bi,b,3.,复数的向量表示,设复数,z=a+bi,对应点,Z(a,b),连结,OZ,则向量,OZ,表示复数,z,(,规定实数,0,与零向量对应,).,复数,z=a+bi,平面向量,OZ,一一对应,Z:a+bi,y,b,O,a x,oz,我们常把,复数,z=a+bi,说成点,Z,或向量,OZ,并规定,相等的向量表示同一个复数,.,向量,OZ,的模,r,叫做复数,z=a+bi,的模,(,绝对值,),记作,|,z|,或,|,a+bi|.,即|,z|=|abi|=r=,a,2,+b,2,0.,模的几何意义,:,表示该复数在复平面内对应点与原点,之间的距离,.,注意,:,任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模,由于都是,非负的,实数,所以一定能比较大小,.,显然有,.,4.,复平面上的区域或轨迹问题,模的几何意义表明模可以用来表示点的轨迹,.,例如满足,|,z|=r(0),的点的轨迹是以原点为圆心,r,为半径的圆,.,复数与点的一一对应,使复数问题与解析几何问题相互转化,.,如果复数的实部与虚部是一对实变量,那么对应的点在复平面上就是动点,.,如果变量按某种条件变化,那么复平面上对应点就构成具有某种特征的点的集合,或轨迹,这样就把数与形有机地结合起来了,.,下面的图形是几种常见的轨迹图,.,z=a+bi,Z(a,b),OZ,一一对应,一 一对应,一一对应,-a o a x,-a o a x,-a -b o b a x,y,y,y,|z|=a,|z|a,b,|z|a,-,a o a x,o x,o x,y,y,y,|Re(z)|,a,|,Im,(z)|,b,|,Im,(z)|,b,b,b,三、例题分析,例1:,试求实数,m,的值或取值范围,使复数,z=(m,2,-m+2)+,(m,2,-3m+2)i,在复平面内的对应点在,(1),实轴的负半轴上,;(2),第二象限,.,解:(1),(2),例2:,解方程,:3,z+|z|=1-3i解:设,z=x+,yi,(x,yR),则3(,x+yi)+|x+yi|=1-3i,即,3,x+3yi=1-3i.,由复数相等的条件得,:,所以,z=-i.,延伸,1:,已知,z=|z|i,求复数,z,的对应点的轨迹,.,解:设,z=x+,yi,(x,yR),则,x+,yi,=,所以复数,z,的对应点的轨迹是虚轴的上半轴和原点,(,即轨迹是一条射线,).,例3:,设全集为,C,A=z|z|-1|=1-|z|,z,C,B=z|z|1,z,C,若,zA,(,C,C,B),求复数,z,在复平面内对应点的,轨迹,.,解:由|z|-1|=1-|z|,R,得|z|-1,0,即|z|1;,故A=z|z|1zC.,由B=z|z|,Imz,;,(3)z=-1+ai,且|,z|.,所以轨迹是连接,(-1,-1),与(-1,1),的线段,(,包括端点,).,-1 O x,-1,y,1,四、小结,1.,复数与点及向量均建立了一一对应关系,这两种对应关系是把复数给以几何解释的依据,.,学习时要注意从不同的角度认识并分析复数问题,以便寻求最佳的解题途径,.,2.,由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复,数集时,通常是由其对应关系列出方程或不等式,(组),成,混合组,求得复数的实部、虚部的值或范围,来确定所,求的复数集,.,3.,复数与其对应点之间的相互转化是通过复数的实部、,虚部与点的坐标间的关系来实现的,.,4.,数的范围扩充后,原有的运算性质在新的数域内不一,定成立,所以实数范围内的运算性质,在复数范围内需,证明后方可使用,.,五、作业,5.,要重视共轭复数及其性质的应用,很多时候,运用共轭,复数的性质解题,能使解题过程简洁明了,.,6.,对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解,:,一是任,何复数的模都表示一个非负的实数,;,二是复数的模表,示该复数在复平面内对应点与原点的距离,.,所以复数的,模是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种,推广,.,