随机变量的统计特性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,随机信号分析的基础是概率论与随机变量的理论。,1.1,概率论的基本术语,1.2,随机变量的定义,1.3,随机变量的分布函数与概率密度,1.4,多维随机变量及分布,1.5,随机变量的数字特征,1.6,随机变量的函数,1.7,随机变量的特征函数,1.8,多维正态随机变量,1.9,复随机变量及其统计特性,1.随机变量基础,1.1概率论的基本术语,随机试验,满足下列三个条件的试验称为随机试验,，,记为,E,：,(1),在相同条件下可重复进行；,(2),试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；,(3),每次试验前不能确定会出现哪一个结果。,例：投掷硬币,样本空间,随机试验,E,的所有可能结果组成的集合称为,E,的样 本空间，记为,S,。,1.1概率论的基本术语,随机事件,试验,E,的样本空间,S,的子集为,E,的随机事件，简称为事件。,基本事件,由一个样本点组成的单点集称为基本事件。,频数和频率,在相同条件下的 次重复试验中，事件,A,发生的次数 称为事件,A,的频数，比值 称为事件,A,发生的频率。,概率,事件发生的可能性大小的度量,1.2随机变量的定义,定义：,设随机试验,E,的样本空间为,S=e,，,如果对于每一个,e,S,，,有一个实数,X(e),与之对应，这样就得到一个定义在,S,上的单值函数,X(e),，称,X(e),为随机变量，简记为,X,。,随机变量是定义在样本空间,S,上的单值函数,一、随机变量的定义,1.2随机变量的定义,连续型随机变量,二、随机变量的分类,离散型随机变量,离散型随机变量是指它的取值为有限个或者可列无穷个,概率分布列：,X,x,1,x,2,.,x,n,p,k,p,1,p,2,.,p,n,离散随机变量概率分布,离散型随机变量的概率分布：,1.2随机变量的定义,(0,1),分布,离散型随机变量常见分布,二项分布,(Binomial distribution),例：,某人进行射击训练，设每次射击的命中率为,0.02,，独立射击,400,次，求至少命中两次的概率为多少？,1.2随机变量的定义,(0,1),分布,离散型随机变量常见分布,二项分布,(Binomial distribution),泊松分布,(Poisson distribution),1.3随机变量的分布函数与概率密度,一、分布函数,设,X,为随机变量，为实数，定义,为,X,的概率分布函数，简称分布函数。,二、分布函数的性质,是一个不减函数,且,即是右连续的,对于连续型随机变量，其分布函数是连续的，,因此：,对离散型随机变量，分布函数是阶梯型的。,分布函数表示为：,(0,1),分布的分布函数,1.3随机变量的分布函数与概率密度,1.3随机变量的分布函数与概率密度,称 为 的概率分布密度，简称概率密度,随机变量的概率密度,(PDF),对随机变量,X,的分布函数,如果存在非负函数使对任意实数 有：,随机变量落入 的概率,1.3随机变量的分布函数与概率密度,概率密度性质,离散型随机变量的概率密度,(PDF),1.3随机变量的分布函数与概率密度,常见概率分布,正态,分布,（,Normal,），也称,高斯,（,Gauss,）分布,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,N(0,1),正态分布概率密度,标准正态分布函数,1.3随机变量的分布函数与概率密度,常见概率分布,均匀,分布,（,uniform distribution,1.3随机变量的分布函数与概率密度,在实际问题中，定点计算的舍入误差，计算机产生的随机数，正弦波的随机相位等都用到均匀分布。,瑞利,分布,（,Rayleigh,）,瑞利分布概率密度,2,0,2,4,6,8,10,12,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4,1.3随机变量的分布函数与概率密度,指数,分布,（,Exponential,）,指数分布概率密度,0,1,2,3,4,5,6,7,0,0.5,1,1.5,1.3随机变量的分布函数与概率密度,一、二维随机变量,设随机试验,E,的样本空间,S=,e,X,=,X(e,),和,Y=,Y(e,),是定义在样本空间,S,上的两个随机变量,由,X,和,Y,构成的矢量（,X,，,Y,）称为二维随机变量。,1.4多维随机变量及其分布,S,e,连续型随机变量,二、二维随机变量的分类,离散型随机变量,离散型随机变量是指,(X,Y),的取值为有限个或者可列无穷个,联合概率分布列：,二维离散型随机变量的取值规律：,1.4多维随机变量及其分布,三、二维分布函数,设（,X,，,Y,）为二维随机变量，,x,，,y,为实数，定义,为二维随机变量的的分布函数。,二维分布函数图解,二维随机变量落在某一区域的概率,1.4多维随机变量及其分布,二维分布函数性质,边缘（,Marginal,）分布,由二维分布函数可以求出一维分布函数,1.4多维随机变量及其分布,1.4多维随机变量及其分布,称 为二维随机变量,(X,Y),的概率密度。,二维随机变量的概率密度,(PDF),对二维随机变量,(X,Y),的分布函数,如果存在非负函数 使对任意实数 有：,性质：,条件分布,1.4多维随机变量及其分布,定义：,给定,任意固定正数,若对于任意实数 ，极限,存在，则称此极限为在条件 下,X,的,条件分布函数,，写成,或记为,条件概率密度：,称随机变量,X,，,Y,独立,1,、均值,(Mean)(,数学期望,),均值为线性算子；,1.5随机变量的数字特征,定义：,为随机变量,X,的均值，记为 。,离散型随机变量：,性质：,若随机变量,X,与,Y,相互独立，则有,若 ，则称,X,与,Y,正交,。,所有取值的统计平均,2,、方差,(Variance),通常记为 ，称为均方差或标准差。,D(c,)=0,D(cX,)=c,2,D(X),，,c=constant,对于,n,个独立的随机变量,1.5随机变量的数字特征,性质：,随机变量的取值与其均值的偏离程度,均值和方差应用举例,-,导弹制导精度,均值反映了制导系统误差,方差反映了制导随机误差,1.5随机变量的数字特征,3,、协方差,(Covariance),与相关系数,许瓦兹,(Schwartz),不等式,相关系数：,1.5随机变量的数字特征,协方差：,性质：,当,X,与,Y,相互独立时,的充分必要条件是,X,与,Y,依概率,1,线性相关，即,描述两个随机变量相互关系,X,与,Y,不相关,4,、矩,(Moment),K,阶原点矩：,K,阶中心矩：,K,L,阶混合矩：,K,L,阶混合中心矩：,1.5随机变量的数字特征,例,1,设,X,为服从,(0,1),分布的随机变量，且,求,X,的均值和方差。,1.5随机变量的数字特征,例,2,设随机变量在区间上服从均匀分布，其概率密度为,求均值与方差。,第二讲：,小 结,随机变量,课后作业：,1.8,、,1.9,、,1.10,随机变量的分布函数和概率密度,随机变量的数字特征,协方差：,均值：,方差：,相关系数：,