一,对总体分布函数F(x)的假设检验.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂,一、对总体分布函数,F,(,x,),的假设检验,二、对随机变量的独立性、相关性的假设检验,例如，,1.,考察某一产品的质量指标打算用正态分布模型,2.,考察一种元件的寿命打算用指数分布模型,3.,一个骰子是否是均匀的？,假设,H,0,：,X,N,(,2,),假设,H,0,：,X,服从参数为,的,指数分布,假设,H,0,：,这个骰子是均匀的,这里主要介绍拟合优度检验（,卡方检验法）。,H,0,:,F,(,x,),=F,0,(,x,),，,H,1,:,F,(,x,),F,0,(,x,),8.3,非参数假设检验,卡方检验,（,K.Pearson,，拟合优度检验）,设,X,为未知总体，,(,x,1,，,x,2,，,，,x,n,),为大样本,(,n,50),，欲检验,H,0,:,F,(,x,),=F,0,(,x,),，,H,1,:,F,(,x,),F,0,(,x,),把实数轴,(-,，,+),分成,k,个互不相交的区间：,(-,a,1,(,a,1,a,2,(,a,k,-2,a,k-,1,(,a,k,-1,+,),记,a,0,=-,a,k,=+,I,i,=,(,a,k,-2,a,k-,1,(,i,=1,2,k,-1),I,k,=,(,a,k,-1,+,),，,n,i,为样本观测值（,X,的取值）落在第,i,个小区间,I,i,的个数,p,i,为,X,取值落入第,i,个小区间,I,i,的概率，,0,p,i,1,i,=1,2,k,则,p,i,=,P,a,i-,1,X,a,i,=,F,0,(,a,i,)F,0,(,a,i,-1,),，,i,=1,2,k.,构造统计量：,8.3,非参数假设检验,K.Pearson,和,R.A.Fisher,联合证明了：,定理,不论,F,0,(,x,),是何分布函数，只要,n,充分大,(,n,50,),，当假设,H,0,成立时，上述,2,统计量都近似地服从自由度为,k-r-,1,的,2,分布。其中,r,是,F,0,(,x,),中未知参数的个数。,称,n,i,为,实测频数,，,v,i,=,np,i,为,理论频数,。称这类检验为,拟合优度检验,。,对于给定的,，查,2,分布表得临界值,2,(,k,-,r,-1),，,使,由样本值计算出,2,统计量的值，当,2,2,(,k,-,r,-1),时拒绝,H,0,2,2,(,k,-,r,-1),时接受,H,0,可见，皮尔逊定理（准则）适用于实测频数与理论频数相比较的问题。,几点注释,若分布函数,F,0,(,x,),的类型未知，可由实际问题分析或由样本观察数据的直方图来推测。,若已知,F,0,(,x,),分布类型，还有,r,个参数未知时，须先,用极大似然估计法求出未知参数的估计值，,然后再作假设。,此检验要求一定是大样本，一般,n,50,。至于,k,的大小，对于正态总体，样本容量,n,与区间个数,k,要满足渐近最优关系,k,=1.87(,n,-1),0.4,若理论频数,v,i,=,np,i,5,时，则将相临的小区间合并，直至全部,np,i,5,（合并区间的同时，也将实测频数合并），合并后的小区间数设为,k,*,，,则此时,2,统计量的由度变为,df,=,k,*,-,r,-1,手工计算时常采用公式,N,50,100,200,500,1000,2000,10000,k,9,12,16,22,30,56,74,=,(-1.22)-(-1.68)=0.0647.,类似地算得,:,p,3,=0.1124,p,4,=0.1547,p,5,=0.1813,p,6,=0.1695,p,7,=0.1286,p,8,=0.0793,p,9,=0.0630.,例,1,设从总体,X,中抽取,120,个样本观察值，经计算整理得下表，试检验,X,服从正态分布。（,=0.05,）,组号,小区间,n,i,1,（,-,，,198,6,2,（,198,，,201,7,3,（,201,，,204,14,4,（,204,，,207,20,5,（,207,，,210,23,6,（,210,，,213,22,7,（,213,，,216,14,8,（,216,，,219,8,9,（,219,，,+,）,6,120,解,这里只给出了分布类型，有两个待估参数,与,2,。,用极大似然法对,与,2,作出估计，得到,故提出假设,H,0,:,X,N,(209,42.77),H,1,:,X,不服从,N,(209,42.77),由,n,=120,，,算得统计量的值,由于,所以接受,H,0,，,认为,X N,(209,42.77).,=0.05,k,=9,r,=2.,查表得临界值,解,首先，用样本观察值对未知参数,作极大似然估计。以,x,i,表示区间,(,t,i,-1,t,i,),的中点（也称为组中值），则,故提出假设,H,0,：,X,服从,=0.2,的指数分布,.,当,H,0,为真时，有,例,2,对,200,个电池做寿命试验，,(,t,i,-1,t,i,),表示以小时计的时间区间,(i,=1,2,6),，在,=0.05,下，试检验电池寿命,X,服从指数分布。,组序,（,t,i,-1,t,i,）,n,i,1,（,0,5,）,133,2,（,5,10,）,45,3,（,10,15,）,15,4,（,15,20,）,4,5,（,20,25,）,2,6,（,25,30,）,1,200,由,=0.05,得,类似地算出：,p,3,=0.0855,p,4,=0.03147,p,5,=0.0016,p,6,=0.0043.,各,v,i,=,np,i,分别为：,126.42,46.52,17.10,6.30,2.32,0.84.,由于,v,5,和,v,6,都小于,5,，且合并后仍小于,5故与,v,4,合并,.,组序,n,i,v,i,=,np,i,n,i,-,np,i,(,n,i,-,np,i,),2,/,np,i,1,133,126.42,6.58,0.3425,2,45,46.52,1.52,0.0497,3,15,17.10,2.10,0.2579,4,7,9.46,2.46,0.6397,200,200,1.29,由于,2,2,(,k,-,r,-1),，故接受,H,0,，即认为,X,服从参数,=0.2,的指数分布。,解,先用极大似然估计法求,估计值,（,i,=1,2,3,4,5）,例,3,从同类产品中，任取,n,=200,批，质检结果如下表，其中,x,i,表示各批产品中次品数，,n,i,表示有,x,i,件次品的批数，试在,显著性水平,=0.05,下，检验次品件数,X,服从泊松分布。,于是认为,F,0,(,x,),是参数为,=,0.6,的泊松分布的分布函数，分布律为,检验假设为,H,0,:,X,服从,=0.6,的泊松分布,序号,1,2,3,4,5,x,i,0,1,2,3,4,n,i,116,56,22,4,2,200,当,H,0,成立时，算得,2,=2.5509243,，,由于,2,2,(,k,r,1),，所以接受,H,0,，,即认为,X,服从,=0.6,的泊松分布。,类似地算出,p,3,=0.098761,，,p,4,=0.0197572,，,p,5,=0.00296.,再算出理论频数,np,i,分别为,109.7623,，,65.8574,，,19.7572,，,3.9514,，,0.5927.,统计量,实质是,选讲内容：,1.,适合性检验,适合性检验,是用样本提供的信息去推断总体分布是否适合某种已知的规律。,例,4,某地区,1993,年新生婴儿,1284,个，其中男婴,692,个，试问婴儿的性别比是否正常？,(,=0.01),解,检验假设为,H,0,：男,:,女,=1:1,H,1,：男,:,女,1:1,当,H,0,为真时，有,选讲内容：,1.,适合性检验,对于,0.01,，查表得临界值,由于,所以拒绝,H,0,，即认为该地区,1993,年新生婴儿性别的比例失调。,例,5,按孟德尔遗传学说，将两种豌豆杂交后，可产出数量之比为,9:3:3:1,的,A,、,B,、,C,、,D,四种不同的种子。今在一试验中共收了,189,粒种子，,A,、,B,、,C,、,D,各类型的分别为,102,粒、,30,粒、,42,粒和,5,粒。问在,=0.01,下，该结果是否符合孟德尔遗传学说的结果,？,选讲内容：,1.,适合性检验,解,检验假设为,H,0,：,A:B:C:D=9:3:3:1,，即试验结果适合孟德尔学说,实测频数为,102,，,30,，,42,和,15,，且当,H,0,成立时理论频数为,同样可计算出,B,、,C,、,D,型种子的理论频数依次为v,B,=35.4375,，,v,C,=35.4375,，,v,D,=11.8125.,由,=0.01,得临界值,由于,于是有,故接受,H,0,，即认为试验结果与孟德尔学说的结果相符合。,选讲内容：,1.,适合性检验,独立性检验是对两个总体，或两组资料，或一总体的两种指标（分类、特性、特征）等之间的独立性所进行的检验。因此，若设,X,和,Y,是两个总体（或一个总体的两个指标），则其假设应为：,H,0,：,两总体,X,与,Y,相互独立,将,X,和,Y,的可能的取值范围分成互不相交的,r,个组和,s,个组：,A,1,A,2,A,r,和,B,1,B,2,B,s,.,在总体,(,X,Y,),中随机抽取样本,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,n,y,n,).,记,A,i,与,B,j,的每一个搭配,(,A,i,B,j,),所包括的样本个数为,c,ij,(,i,=1,2,r,;,j,=1,2,s,),c,ij,即为实测频数且,选讲内容：,2.,列联表的独立性检验,由,c,ij,构成,r,s,列联表。,(,X,Y,),落入,(,A,i,B,j,),概率的估计值为,当,H,0,成立时，则有,于是理论频数的估计值为,根据皮尔逊准则，对于给定的,，查表得临界值,选讲内容：,2.,列联表的独立性检验,