概率串讲-第二章(彭).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二讲 一维随机变量及其相关问题,1.,一维随机变量及其分布,1.1,随机变量与分布函数的概念及性质,在随机试验的样本空间,上定义一单,值实函数,X=X,(,),，若对任意实,数,x,，,X,x,=:,X,(),x,F,，,则称,X,为随机变量。称函数,F(x,)=P(X,x),为随机变量,X,的分布函数。,分布函数,F,(,x,),是刻画随机变量,X,的取值,的分布特征的，它具有以下的性质：,（,1,）,F,(,x,),是一个单调不减函数。,（,2,）,0,F,(,x,),1,，且,F,(,),=0,F,(,),=,1,。,（,3,）,F,(,x,),是右连续函数。,可以证明：一个函数,F,(,x,),是某一个随机变量,的分布函数，当且仅当性质（,1,）（,2,）（,3,）,同时成立。,（,4,）,（,5,）,特别，当,F,(,x,),在,x,处连续时，,P,(,X,=,x,)=0,。,(6),对于连续型随机变量,X,(7),为分布函数，若,仍为分布函数。,例,1,成为某随机变量的,分布函数，应取,(),1.2,离散型随机变量的分布律,至多取可列多个值的随机变量称为,离散型的随机变量。,描述,X,的概率特性常用概率分布或分布律,即,X,或,规范性,分布律的性质,非负性,例,2,（截断的几何分布某射手用左轮手,枪（内装,6,发子弹）进行射击，设该射手,的命中率为,p,，且各次射击是相互独立的，,记,X,为直到命中目标为止或子弹用完所需,射击的次数，求,X,的概率分布,.,解：的取值为,1,2,3,4,5,6.,设,第 次命中目标,，,则,类似问题：一大批产品，其次品率为,p,，,采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个,次品时为止，或一直抽到,10,个产品时就停止,检查,.,设,X,为停止检查时抽样的个数,.,求,X,的分布列,.,1.3,常见离散型随机变量的概率分布及背景,1.3.1,两点分布,1.3.2,二项分布,B,(,n,p,),与超几何分布,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,当,(,n,+1),p=,整数时,在,k,=(,n,+1),p,与,(,n,+1),p,1,处的概率取得最大值,对固定的,n,、,p,P,(,X,=,k,),的取值呈不 对称分布,固定,p,随着,n,的增大，其取值的分布,趋于对称,当,(,n,+1),p,整数时,在,k,=(,n,+1),p,处的概率取得最大值,例,3,一批产品中有,15%,的次品，现进行,独立重复地抽样检验，共抽检了,20,个样品，,问抽检的,20,个样品中最大可能的次品数是,多少？并求出其概率,.,由于,不是整数,故最大可能的次品数是,3,，其概率为：,例,4,一门大炮对目标进行轰击,假定此目标,必须被击中,r,次才能被摧毁,.,若每次击中目,标的概率为,p,(0,p,0,的泊松分布，每位乘客在中途下车的,概率为,p,(0,p,0,，有,解,:,令,1.5,常见连续型随机变量的概率分布及背景,1.5.1,均匀分布及应用,若,X,的密度函数为,则称,X,服从区间,(,a,b,),上的,均匀分布,或称,X,服从参数为,a,b,的,均匀分布,.,记作,1.5.2,指数分布的背景及无记忆性,若,X,的密度函数为,则称,X,服从,参数为,的,指数分布,记作,X,的分布函数为,0,为常数,若,X,(,),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“,无记忆性,”,事实上,命题,年轻解,(1),例,11,假定一大型设备在任何长为,t,的时间,内发生故障的次数,N,(,t,),P,(,t,),求,相继两次故障的时间间隔,T,的概率分布,;,设备已正常运行小时的情况下,再正常,运行,10,小时的概率,.,例,4,即,(2),由指数分布的“无记忆性”,1.5.3,正态分布与标准正态分布,若,X,的密度函数为,则称,X,服从参数为,2,的,正态分布,记作,X,N,(,2,),为常数，,亦称高斯,(Gauss),分布,一种重要的正态分布,是偶函数，,分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查,.,标准正态分布,N,(0,1),密度函数,-x,x,对一般的正态分布：,X N,(,2),其分布函数,作变量代换,例,12,设,分布函数为,F,(,x,),则对,任意实数,x,有,:,分析,:,例,13,已知,且,P,(2,X,4,)=0.3,求,P,(,X,0).,解一,例,6,解二,图解法,0.2,由图,0.3,例,14,若随机变量,X,服从正态分布,且二次方程,无实根的概率,是,0.5,，则,解：二次方程无实根的充要条件是,即,故无实根的概率为,1.6,连续型随机变量的相关问题,1.6.1,分布参数的确定,例,15,试确定,a,值,使函数,为密度函数。,解：,例,16,设,X,为,随机变量,若矩阵,的,特征值全为实数的概率为,0.5,则,(),(1)X,服从,0,3,上的均匀分布,;,(3)X,服从参数为,1,的指数分布,;,(4),X,N,(1,2).,分析,:,由题设,故应选,(4).,例,17,设某电子元件寿命的概率密度为,1),试确定,a,值,;,2),某台设备装有三个这种电子元件,.,问在,开始使用的,150,小时中它们中恰有一个要,替换和至少有一个要替换的概率是多少？,解：,1,）由,和,得,2,）设电子元件的寿命为,则,设三个电子元件中寿命不超过,150,小时,的元件的个数为 则,1.7,随机变量函数的分布,1.7.1,离散型随机变量函数的分布,列表法,若离散随机变量,X,的分布列为,X,x,1,x,2,x,n,P,p,(,x,1,),p,(,x,2,),p,(,x,n,),Y,g,(,x,1,),g,(,x,2,),g,(,x,n,),P,p,(,x,1,),p,(,x,2,),p,(,x,n,),当,g,(,x,1,),g,(,x,2,),g,(,x,n,),中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可,则,Y=g(X),也是一个离散随机变量，此时,Y,的分布列为,(1),、先计算,Y,=,g,(,X,),的分布函数,F,Y,(,y,),(2),、对分布函数求导函数得到密度函数。,关键是找出等价事件。,往往需要根据,g,(,x,),和,y,来分类讨论范围,D,1.7.2,连续型随机变量函数的分布,方法一：直接法,方法二：公式法（线性函数,;,单调函数）,定理：设随机变量,X,的概率密度为,可导且恒有,是连续型随机变量，,其中,(,),为,g,(,x,),的值域，,其概率密度为,公式法,特别的，若已知,X,密度函数为,为常数，且,a,0,则,例,18,设,X N,(,2,),Y=a X+b,则,Y N,(,a,+b,a,2,2,),特别地,，若,X N,(,2,),则,一般地,y,x,1,x,2,x,3,y=,g,(,x,),非单调函数,x,x,n,特别地，若,g,(,x,),为单调函数，则,y=,g,(,x,),x,y,x,1,其中,x,1,=,g,-,1,(,y,),例,19,已知,X,N,(0,1),Y=X,2,求,f,Y,(,y,),解一,从分布函数出发,y,y,当,y,0,时，,例,5,故,解二,故,例,20,设随机变量,X,的概率密度函数为,F,(,x,),是,X,的分布函数，求随机变量,Y=F(X),的分布函数,.,解：设 的分布函数为,因为,当 时，,当 时，,当,即,Y,的分布函数是,求导得,Y,的密度函数,可见,Y,服从,0,1,上的均匀分布,.,例,21,设,X,E,(,),则,Y,=min,X,2,的分布函数,是连续函数,;B),至少有两个间断点,;,C),是阶梯函数,;D),恰好有,1,个间断点,.,解：,由上式可知 的分布函数在 处间断,.,故选,例,22,假设一设备开机后无故障工作的时间,X,服从指数分布,平均无故障工作的时间,E,(,X,),为,5,小时,设备定时开机,出现故障时自动,关机,而无故障的情况下工作,2,小时便关机,试求该设备每次开机无故障工作的时间,Y,的,分布函数,F,(,y,).,解,