信号与系统——离散傅里叶变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,信号与系统分析（第,2,版）电子教案,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第,6,章 离散傅里叶变换,6.,3,离散时间系统的频域分析,6.2,离散时间傅里叶变换,6.,4,离散傅里叶变换,6.,5,信号频谱的数值计算,6.,6,离散傅里叶变换的性质,6.,7,快速傅里叶变换简介,6.1,引言,2,6.1,引 言,1,、从连续信号频域分析看到：,从频域角度可以获得对,LTI,系统性质的更加深入的了解，使系统的分析与设计更加直观,方便，与时域分析互补。,6.1,引言,3,、本章学习注意：,（,1,）与连续情况对应关系并找出相似之处和重要区别2,、从第二章时域和第四章的复频域看到：,连续信号与系统和离散信号与系统之间可以通过抽样联系起来，二者在时域和复频域中均有对应关系。本章将会看到，二者在频域之间也有对应关系。,3,（,1,）实际信号与计算机能处理的信号之间的矛盾；,实际信号的特点：,时域：连续时间信号，持续时间较长,频域：频谱连续,数字处理设备（计算机）的特点,存储空间有限：只能存储有限多数据（离散的数据点，有限长的时间范围）,表示空间有限：只能表示有限多的数值（取值在一定精度内，取值在一定范围内）,4,、本章要解决的问题：,6.1,引言,（,2,）以理论分析为依据，以工程实现为目的。,4,（,6,）如何用计算机实现,4,种信号的频谱分析；,6.5,6.1,引言,（,3,）有限长序列频谱的计算与存储,频谱是连续周期的，只能存储有限长的频谱（一个周期即可）；只能存储有限多的频谱（离散频率点处的频谱值）。,（,4,）如何用计算机直接计算序列的离散频谱和反之；,6.4,（,5,）信号被截短时，频谱发生什么变化；,6.5,（,2,）如何从抽样信号计算原信号的频谱；,6.2,5,6.2,离散时间傅里叶变换,6.2,离散时间傅里叶变换,连续非周期信号,，,FT,DTFT,IFT,IDTFT,连续,1,、比较,FT,和,DTFT,，,n,离散,连续,t,连续,离散非周期信号,6,6.2,离散时间傅里叶变换,2,、对,DTFT的说明,频谱密度连续，,综合式,IDTFT,序列离散,分析式,DTFT,分析式,DTFT,是,的周期函数，,综合式,IDTFT,不是,n,的周期函数，,以,为周期 因为：,n,为整数,7,6.2,离散时间傅里叶变换,连续频谱密度,是积分式,有利因素：频谱密度可利用离散点的数据计算，为利用计算机提供了可能。,由于,周期,所以,不利因素：计算机无法直接处理和存储连续频谱，数字处理遇到困难。,积分范围是,是求和式,由于,非周期 且非时限，,是离散序列,对无穷多项求和,所以,8,若,对应,dt,6.2,离散时间傅里叶变换,，由带限,抽样得到样本,的,DTFT,可得,FT,若,，则,的,DTFT,存在即收敛,。,ROC,包含单位圆,9,6.2,离散时间傅里叶变换,3,、典型信号的,DTFT,的离散时间傅里叶变换，其中,例,6-1,求,解,：,10,解,：,例,6-2,求序列,的傅里叶变换,6.2,离散时间傅里叶变换,例,6-3,求序列,的傅里叶变换,。,解,：,ROC,边界在单位圆，,信号不满足绝对可和的条件。但可以,仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。,由于离散时间信号的傅里叶变换是以,为周期的，考察下式,给出的等间隔冲激频谱函数：,利用逆变换公式得,因此,11,解,：,由求解逆傅里叶变换的公式有,从图中可以看出，离散时间系统的理想低通滤波器,的样值响应，与连续时间系统的理想低通滤波器的冲激响应类似，即在输入没有加入前就已有了响应。,说明离散时间系统的理想低通滤波器也是一个非因果系统。,6.2,离散时间傅里叶变换,例,6-4,若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性,如图所示，求它的逆傅里叶变换,（即单,位样值响应）。,12,6.3,离散时间系统的频域分析,6.3,离散时间系统的频域分析,1.,离散时间傅里叶变换的性质,2.,离散时间系统的频域分析,13,1.,离散时间傅里叶变换,DTFT,的性质,（,1,）周期性、连续性,周期性：是离散信号 的,DFS,、,DTFT,的共性，,有别于 的,FS,、,FT。,注意与,FT,对应，与,Z,变换对应,连续性：是非周期时间信号 、,的,FT,、,DTFT,的共性，,有别于周期信号的,FS,、,DFS。,6.3,离散时间系统的频域分析,1.,离散时间傅里叶变换的性质,14,（,2,）线性（所有线性变换的共性）,设 、的,傅里叶,变换分别为 及,其中 、,为任意常数,则,6.3,离散时间系统的频域分析,1.,离散时间傅里叶变换的性质,（,3,）移位（与,FT,一致）,若 是,傅里叶,变换对，则有：,时移,相移,频域移位：,时域移位：,调制,频移,15,（,4,）时域线性加权（频域微分）（与,FT,一致）,若 是,傅里叶,变换对，则,时域的线性加权,频域的微分,（,5,）反转与对称（与,FT,一致）,若 是,傅里叶,变换对，则,时域反转,频域反转,是偶函数，是奇函数,即,实偶,实奇,对称,为实序列,实偶,虚奇,1.,离散时间傅里叶变换的性质,6.3,离散时间系统的频域分析,16,（,6,）卷积定理（与,FT,同）,若 ，则,时域卷积：,频域卷积：,时域加窗、调制、抽样,频域卷积,时域卷积,频域乘积,1.,离散时间傅里叶变换的性质,6.3,离散时间系统的频域分析,17,（,7,）帕斯瓦尔定理,若,是傅里叶变换对，则,即时域的全部信息量包含在频谱的一个周期内，所以只讨论频谱的一个周期就够了。,时域总能量,频域一周期内的总能量,1.,离散时间傅里叶变换的性质,6.3,离散时间系统的频域分析,18,2.,离散时间系统的频域分析,6.3,离散时间系统的频域分析,2.,离散时间系统的频域分析,时域：,频域：,输入信号的频谱函数 经系统后变为,在输入信号频谱给定的情况下，要想得到需要的输出频谱结构的过程，实际上是对,H,(,),进行设计的过程。在频域中通过输入输出信号的频谱可清晰地看到系统对信号每个分量的变换过程及对,H,(,),的要求。,19,6.3,离散时间系统的频域分析,2.,离散时间系统的频域分析,例,6-5,求差分方程 所描述系统的频响函数,H,(,),。若输入为 ，求响应,y,n,解：,对差分方程两边取傅里叶变换，有,由频响函数的定义可知,由于,则,取逆变换得,20,6.4,离散傅里叶变换,6.4离散傅里叶变换,1,.,离散傅里叶级数,2,.,离散傅里叶变换,21,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,1.,离散傅里叶级数,DFS,离散周期信号,完备正交系,t,连续,k,:(-,),级数,FS,连续周期信号,因为：,n,取整数,k,:,整周期抽样,（,1,）由,FS,引入,DFS,22,系数,理论依据,:,=,B=T,B=N,（,2,）对,DFS,的说明,一个周期主值,一个周期主值,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,23,对每一个整数,n,离散点 是一个有限项的级数，求和只需,N,项。对每一个整数,k,，是一个有限项的级数，求和只需,N,项。,一个周期主值,一个周期主值,周期,N,点,是周期函数，定义域,n:,是周期函数，定义域,k:,周期,N,点,重要意义：只要计算一个周期的,N,个点，即可,得到全 域结果。,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,在一个周期内有,N,个谐波分量，第,k,个谐波分量为：,24,因为 周期,N,，所以 离散,因为,离散,，所以,周期,即：,故适合计算机工作：离散,有限数,DFS,总是收敛，因为是有限数项的求和。,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,25,解,：,由于所给信号的数字频率为 ，则该信号的,周期,N,为,把余弦函数用指数函数表示,由于,于是,例,6-6,已知周期离散时间信号,级数表示式及相应的频谱。,，求傅里叶,根据,n,域与,k,域的周期相同,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,26,此信号的频谱是以,N,=6,为,周期的周期离散频谱。,可得,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,27,例,6-7,图（,a,）所示序列的周期,N,=10,，,求其频谱。,解,：,6.4,离散傅里叶变换,1.,离散傅里叶级数,DFS,28,计算机可以处理的数据形式,6.4,离散傅里叶变换,2.,离散傅里叶变换,DFT,2.,离散傅里叶变换,离散：数据离散地放在存储器的各个单元,有限：存储空间有限，计算速度有限,为了让计算机解决实际问题必须要做的工作是：,（,1,）从理论研究到工程实际,29,6.4,离散傅里叶变换,时域 是信号（输入，输出）的原始形式，离散化为,，（第五章已解决）。,（,a,）离散处理,频域 是系统设计的出发点，也应离散化为 （本节将解决）。,在时域对离散化后的序列截断或加窗，在频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只取用一个周期。,（,b,）有限化处理（本节解决）,2.,离散傅里叶变换,DFT,30,6.4,离散傅里叶变换,已有的理论基础,时域 频域,连续,非周期,FT,非周期,连续谱密度,（无限）离散谱,（无限）周期,FS,（无限）周期,DFS,（无限）离散谱,离散 非周期,DTFT,周期 连续谱密度,2离散傅里叶变换,DFT,31,6.4,离散傅里叶变换,分析离散傅里叶级数,DFS,（时频域均只需有限的离散数据）,离散,周期：频谱重复，一个周期内仅有,N,个点,（,b,）,对整个时域，只需要计算,N,个点，即可周期延拓到全时域 ；对整个频域，只需要计算,N,个点，即可周期延拓到全域 。,（,a,）对时域的每个第,n,点，只需要,N,个频域数据参与计算，对频域的每个第,k,点，只需要,N,个时域数据参与计算,2.,离散傅里叶变换,DFT,32,6.4,离散傅里叶变换,（,2,）离散傅里叶变换,DFT,从,DFS,到,DFT,(a)DFS,的分析和综合式中实际参加计算的数据分别是：,它们是周期数据 在主值区间内的数据。对周期 延拓可得 ，对周期 延拓可得,。,这是在保证信息不损失条件下最少的数据量,。,条件,：是时间有限序列,(b),若 是非周期序列，且为时间有限（,N,点），即可把它看成 的主值数据，仅用这,N,个点即可计算出,对应的主值,。,也就是说：直接对非周期序列,2.,离散傅里叶变换,DFT,33,6.4,离散傅里叶变换,定义,DFT,DFT,IDFT,注意：,(a),标度因子,N,换位，这是为了让正变换简单，与,DTFT,对应。,DTFT,IDTFT,(b),是非周期,N,点时限信号，可看成周期信号的一个主周期。,(c),是对有限长的 的频谱 等间隔 抽样并对主值区间加窗得到的。,2.,离散傅里叶变换,DFT,34,展开成矩阵形式：,DFT,DTFT,6.4,离散傅里叶变换,DFT,可简写为：,(d),频率间隔 对应的 是 的最小单位（基频分量），令 （对应,z,变换下的,）,2.,离散傅里叶变换,DFT,35,第,6,章 离散傅里叶变换,6.,3,离散时间系统的频域分析,6.2,离散时间傅里叶变换,6.,4,离散傅里叶变换,6.,5,信号频谱的数值计算,6.,6,离散傅里叶变换的性质,6.,7,快速傅里叶变换简介,6.1,引言,36,6.5,信号频谱的数值计算,6.5,信号频谱的数值计算,1,.,周期信号的频谱分析,2,.,非周期信号的频谱分析,3.,数据截断问题,37,1.,周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,1.,周期信号的频谱分析,连续时间周期信号,x,T,(,t,),的样本,x,N,n,与,x,T,(,t,),的离散频谱,c,k,的关系：,对频带有限的,x,T,(,t,),，若一个周期中抽样的离散点数,N,大于最高谐波次数,k,m,的二倍即：,N,2,k,m,，则在忽略数值误差的情况下，,c,k,可以精确计算：,38,1.,周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,若,x,T,(,t,),频谱无限分布，用,DFT,必然会出现频普混叠，从而带来误差。,解决的方法：,适当提高抽样频率，以减少频谱混叠的影响。一般取两种不同的抽样频率进行计算，当二者的计算频谱基本一致时可认为结果正确。,根据,c,k,求,x,T,(,t,),在主值区间离散值：,39,2.,非周期信号的频谱分析,（,1,）,DFT,与,DTFT,的关系,有限长,DFT,离散变化，共,N,个点,DTFT,连续变化，周期为,结论：,DFT,是对,DTFT,在频域 内取,N,个点等间隔抽样的结果，,DFT,的包络线即为,DTFT,。,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,40,DFT,：,DTFT,：,对,DTFT,连续的频谱离散化的结果,MATLAB,实现：利用,FFT,计算 ，,用绘图语句,stem,绘出 的离散频谱图。,例,6-9非周期离散序列,连续的频谱，是,DFT,的包络线,MATLAB,实现：利用,FFT,计算 ，,用绘图语句,plot,绘出 的包络线，即 的连续频谱图。,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,41,在分析信号频谱的时候，由于受到计算能力的影响，只能处理有限长的信号。这就必须截取时间函数的一个有限范围，即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。换句话说，就是要取出信号的某一个时间段。这种过程就是,截断数据,的过程。这种截断过程相当于对信号进行,加窗,，即信号乘以窗函数 ，变成 的,N,点有限长序列，然后可以利用,DFT,计算,DTFT,，,N,的大小会影响结果的准确性，应视情况慎重选择。,无限长 、,N,越大，间隔越密，在 给定的情况下，可补零加大,N。,（,2,）,N,与谱线间隔,DFT,对,DTFT,离散化的频谱间隔,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,DFT,与,FT,的关系,（,a,）关系,42,DFT,与,FT,的关系为：,非周期连续时间信号 的傅里叶变换,抽样样本 的频谱,设 在周期延拓时的频谱混叠可忽略不计，由上式得在频谱的一个周期内,（,3,）非周期连续时间信号的频谱分析：,用,DFT,计算,FT,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,43,（,b,）频谱换位,按上式计算出的前 个样点对应于 的频谱，而后半部分的样点对应于向左移位 的频谱，即在负频率轴上。由于模拟频率间隔为 ，则频谱中第,k,个样点对应的频率为,利用,DFT,对连续非周期信号进行,FT,的参数选择,(a),根据指标要求的模拟频率分辨率 来确定抽样的时间,T,因为：,所以：,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,44,(d),确定时域抽样间隔,(c),确定抽样点数,N,调整,(b),根据抽样定理 ，选择 ，即由信号的,定,因为 ，根据 对连续信号 抽样后得,N,点序列,(e),利用,DFT,的快速算法计算 的,FT,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,45,例,6-10,利用,DFT,方法计算连续时间信号的频谱，要求满足如下指标：频谱分辨率,f,0,5 Hz,；信号的最高频率,f,m,1.25 kHz,；抽样点数等于,2,的整数次方。试确定：（,1,）应记录的信号长度,T,；（,2,）抽样点数,N,；（,3,）时间抽样间隔,T,s,。,2.,非周期信号的频谱分析,6.5,信号频谱的数值计算,解：,（,1,）由于频率分辨率取决于时域信号的长度，其值为,（,2,）根据信号的最高频率，抽样点数,N,要满足,故取,N,=2,9,=512,（,3,）时间抽样间隔,46,3.,数据截断问题,DFT,在数字信号处理中具有极其重要的地位。在应用,DFT,对信号与系统进行处理时，会遇到一些具体的问题。正确认识和对待这些问题对于分析处理的结果有至关重要的作用。,一般情况下，待研究的连续时间信号不具备离散性或周期性，也可能有无限长度。为了能利用,DFT,进行分析，应对此波形进行,抽样,和,截断,。这样一来，势必会引入误差。引入误差的原因主要有以下几种：,用,DFT,逼近,FT,可能出现的问题,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,47,(1),时限信号抽样及频谱的混叠现象,计算机只能处理时限信号，对非时限信号应先截短；,时限信号的频带无限，抽样定理 无法实现，所以频率混叠不可避免。,减少混频的措施：,a,、,应尽量取大，这需要大储存空间和快速计算设备；,b,、先经过低通滤波器，滤掉信号中大于 的频率分量。,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,48,频域抽样与时域混叠,a,、带限信号都是非时限的。,带限信号的来源,b,、对带限信号进行频域抽样条件 无法实现，所以时域混叠不可避免。,频谱泄露,a,、避免时域混叠的方法：为了利用,DFT,计算,FT,，也为了避免时域混叠，必须对带限信号（非时限）,在时域内截短，相当于乘上一个矩形窗,。,这样可以利用频域抽样条件，使得对信号的频域抽样避免时域混叠。,(2),带限信号频域抽样及频谱泄露,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,49,b,、由时域截短造成的频谱泄露,据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。即图中,所以时域混叠与频谱泄露是一对矛盾。,这种卷积过程造成了信号频谱的失真。失真频谱将产生,“,拖尾,”,（频谱延伸扩展）现象，使原有受限的频谱图形,“,扩展,”,开来，这种现象就称之为,频谱泄漏,。,只要对带限信号进行,DFT,计算，就必须先截断 ，这样一来，频谱泄露就无法避免。,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,50,c,、减小频谱泄露的措施,由于实际应用的需要，对信号进行截断是必须的，所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。不过，通过改善窗函数的形状，可以达到减少泄漏的目的。通常的矩形窗在时域有突变，使得频域拖尾严重，收敛很慢。为了解决这个矛盾，人们已经研究了各种形式的窗函数，例如三角窗、布莱克曼窗、海明窗、汉宁窗等，它们都在不同程度上压低了窗函数频谱的旁瓣，减弱了频率泄漏现象。,三角窗,布莱克曼窗,海明窗,汉宁窗,Triang,Blackman,Hamming,Hanning,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,51,（,3,）频率分辨率和栅栏效应,频率分辨率,DFT,本身不是非周期、有限长序列的频谱，而只是频谱的等间隔抽样样本。因此，为了使,DFT,能更精确地反映原信号的频谱,FT,，在用,DFT,分析信号的频谱时，就有一个频率分辨率的问题。,结论：数字频率分辨率与点数,N,有关，模拟频率分辨率与时域信号的持续时间,T,有关。,离散信号 的频率分辨率,N,越大分辨率越高。,连续信号 的频率分辨率,T,越大分辨率越高，,T,为信号长度。,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,52,栅栏效应,由于,DFT,是对有限长序列的频谱等间隔抽样得到的样本，就相当于是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙,(,对应离散点,),去观看另一边的景象,(,对应连续频谱,),，只能在离散点的地方看到真实的景象，因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这些被遮挡的部分就是未被抽样所抽到的部分，这就有可能漏掉一些较大频率分量。我们称这种现象为,“,栅栏效应,”,。,当然，在实际问题中，,“,大的频谱分量,”,被挡住的情形还是很少的，栅栏效应并不是一个很严重的问题。尽管如此，我们还是有必要讨论清楚如何避免或者说减少这种栅栏效应。提高分辨率可以减小栅栏效应，却不能消除。,以上几个问题是,DFT,使用者必须了解的，否则无法对计算出现的问题做出解释，甚至会导致错误的结果。,3.,数据截断问题,6.5,信号频谱的数值计算,53,6.6,离散傅里叶变换的性质,6.6,离散傅里叶变换的性质,1,.,线性性质,2,.,圆周移位,3.,圆周卷积,4.,奇偶虚实性,54,6.6,离散傅里叶变换的性质,1.,线性性质,1.,线性性质,若 和 是两个有限长度序列，长度分别为 和 ，则其线性组合 的,N,点,DFT,为,其中，和 为常数和 分别为 和 的,N,点,DFT,。,55,6.6,离散傅里叶变换的性质,2.,圆周移位,2.,圆周移位,（,1,）圆周移位,对应于,DTFT,的平移,如图示,56,6.6,离散傅里叶变换的性质,2.,圆周移位,对应于,DFT,的移位,b,、移位,a,、,c、,截取 主周期的序列，即乘上矩形窗 ，得到位移后的序列,57,6.6,离散傅里叶变换的性质,圆周位移的图示,右移出去的,m,个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。,2.,圆周移位,58,6.6,离散傅里叶变换的性质,此性质表明，有限长序列圆移 位，其,DFT,等于移位前的,DFT,再乘上相移因子,如果 为偶数时，若 对圆移 位，由于,，故有,2.,圆周移位,（,2,）圆移特性,时域圆移特性,设 为 的 位圆移序列,的,DFT,为 ，则 的,DFT,为,59,6.6,离散傅里叶变换的性质,频域圆周移位特性：,即给序列 乘以指数函数 ，其,DFT,为 ，圆周移位 位。此特性用于卷积计算。,2.,圆周移位,3.,圆周卷积,卷积定理,线性卷积,线性卷积,圆周卷积,60,（一）,时域圆周卷积（圆周卷积定理）,若和均为点有限长序列，且,则点圆周卷积为：,（,1,）时域圆周卷积定理,（只有数学定义，无物理意义）,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,61,证明：,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,62,每一个,n,点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共,5,个步骤。,对每一个,n,点圆移位，先计算对应各个,m,点的,乘积,，再对 范围内的全部乘积,求和,。,是把,变量代换,后的,N,点序列，,是把,变量代换、圆反转、圆移位后，取其前,N,个点后的,N,点序列。,圆卷积只在区间内进行，圆卷积结果也为,N,点有限长序列。,（,2,）圆周卷积的计算特点,（以,为例）,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,63,（,3,）圆周卷积,5,个步骤的图解,变量代换,圆反转,圆移位,相乘,求和,以,4,点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,64,解：,（,1,）变量代换,（,2,）圆反转,把圆反转为,（,3,）圆移位,相乘,求和,例,6-12,用图解法求有限长序列 ，,的,4,点圆卷积 。,将、,的变量置换为，,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,65,1 2 3 4,n=0 h-m,4 1 2 3,n=1 h1-m,3 4 1 2,n=2 h2-m,2 3 4 1,n=3 h3-m,1 2 3 4,（,4,）竖式法,4,8 12 16,3 6 9,12,2 4,6 8,+,1,2 3 4,1 2 3 4,4 1,1 20 30 20 11 4,4 3 2 1,4,8 12 16,12,3 6 9,6 8,2 42 3 4,1,1 2 3 4,24 22 24 30,4 3 2 1,线性卷积,圆周卷积,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,66,圆周卷积,线性卷积,线性卷积,圆周卷积,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,67,（二）有限长序列的线性卷积与圆周卷积的关系,（,1,）线性卷积,则线性卷积为：,（,2,）圆周卷积与线性卷积相等的条件,二者结果不同的原因,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,68,3,2,1,0,1,2,N,1,-1,序号,计算结果,1,2,3,4,0,0,0,x,m,1,2,3,4,0,0,0,1,2,3,h,0-,m,y0=14,4,1,23,4,0,0,0,1,2,h,1-,m,y1=13+24,11,1,2,3,4,0,0,0,1,h,2-,m,y2=12+23+34,20,1,2,3,4,0,0,0,h,3-,m,y3=11+22+33+44,30,0,1,2,3,4,0,0,h,4-,m,y4=21+32+43,20,0,0,1,2,3,4,0,h,5-,m,y5=31+42,11,0,0,0,1,2,3,4,h,6-,m,y6=41,4,N,1,N,2,-1,解决办法：,补零,。使 和,均有,L,长：,对上例，补 个零，补 个零。补零后圆卷的计算结果等同于线卷。,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,69,对序列补零后求圆卷积。,这是因为圆卷积可以借助快速傅里叶变换,FFT,技术以较高的速度完成运算。用,DFT,进行快速线性卷积只需做,3,次,FFT,计算。,补零后,补零后,（三）用,DFT,进行快速线性卷积,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,70,注意：若不补零，结果不是 ，而是,。,只有数学结果没有物理意义,。,利用,FFT,计算卷积与直接卷积的实数乘法次数比较：,N,1,+N,2,-1,16,128,256,512,1024,2048,直接卷,64,4096,16384,65536,262144,1048576,FFT,卷,448,5888,13312,29696,65536,143360,序列的点数越大，用,FFT,计算卷积的优越性越明显,。,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,71,例,有一离散时间系统，其单位样值响应 ，,输入信号 。试用,DFT,方法计算系统的输出 。,n=0:16;,L=32,h=(0.8).n;,Hk=fft(h,，,L);,x=ones(1,，,10);,Xk=fft(x,，,L);,Yk=Hk.*Xk;,y=ifft(Yk,，,L);,n=0:31;,stem(n,，,y);,解,：先分别求得 和 的,DFT,，相乘后再求其逆变换。,程序：,程序运行结果如图所示：,6.6,离散傅里叶变换的性质,3.,圆周卷积,72,6.6,离散傅里叶变换的性质,4.,奇偶虚实性,4.,奇偶虚实性,若序列 为实序列，其离散傅里叶变换为 ，则,则幅度频谱为 ，是偶对称函数，相位频谱为 ，是奇对称函数。,73,N,为奇数,N,为偶数,根据对称性，实序列的,DFT,在 时不需要专门计算，从而节省了计算量。,注意：因为变量的取值范围为 ，对称不是关于原点，而是关于 点的对称函数。,6.6,离散傅里叶变换的性质,4.,奇偶虚实性,74,1,、,DFT,的重要意义,解决了数字信号处理的基本问题（时频域均离散和有限），给计算机编程提供了实用算法。使,FS,、,FT,、,DFS,、,DTFT,都可以用计算机数值计算。,2,、,DFT,的问题,难以实时快速，不能用于自动控制、同声传译、自动追踪。只能用于数据的事后处理或系统模拟研究。,6.7,快速傅里叶变换简介,6.7,快速傅里叶变换简介,75,3,、,DFT,的运算速度,每计算一个 值需要进行,N,次复数相乘和,N-,1,次复数相加，对于,N,个 点，应重复,N,次上述运算。因此，完成全部,DFT,运算共需 次复数乘法和 次复数加法。由 求 的,IDFT,的计算量也同样是,次复数乘法和 次复数加法。,DFT,计算速度提高：,1965,年，库利和图基总结并发展了前人的研究成果,提出了一种快捷通用的,DFT,算法，此法叫做,FFT,。,当 时，就需要,1048576,即一百多万次复数乘法运算6.7,快速傅里叶变换简介,76,4,、,FFT,的关键技术,特殊性,无需计算,周期性,，减少,3,4,工作量,对称性,减少一半工作量,（,1,）利用 的特性，避免重复计算,（,2,）把,N,点,DFT,分解为两组 点的,DFT,运算后再取和，每组再分成两半，依次分下去，直到分成两点。基于,FFT,，使,N,点,DFT,计算量减少到 次复数乘，,次复数加。,6.7,快速傅里叶变换简介,77,例如,N,=4,时：,行对应,k,，列对应,n,这里只计算 这一个复数乘,4,次加,4,次乘,4,次加,6.7,快速傅里叶变换简介,78,N,=8,时,6.7,快速傅里叶变换简介,79,小结,前面的章节为傅里叶变换分析和处理信号奠定了理论基础，但要在实际情况下应用傅里叶变换的理论来分析和处理信号，还存在着一些需要解决的问题，如信号在时间域可以无限长，在时域信号是连续的，以及信号傅里叶频谱在频域也可能是连续的，可以分布于整个频率轴。本章正是针对这问题，在提出相应解决方法的过程中逐步引入了离散时间傅里叶变换,DTFT,和离散傅里叶变换,DFT,。,这两种变换的性质与第三章的连续时间傅里叶变换是相似的，学习中可以对比进行。需要重点注意的难点是：圆移和圆卷积的概念和性质，要深刻体会相关的性质，一定要从,FT,、,DTFT,与,DFT,物理意义之间的联系入手。,DFT,的快速算法,FFT,为傅里叶分析处理方法的实际应用扫清了最后的障碍，使得信号与系统的数字处理成为可能。要搞清楚如何用,FFT,实现四种傅里叶分析和卷积计算，使用的原理，方法和应避免出现的问题。,