概率论与数理统计第7章.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,参数估计是利用从总体抽样得到的信息,估计总体的某些参数或参数的某些函数,.,估计废品率,估计新生儿的体重,估计湖中鱼数,估计降雨量,仅估,计一,个或,几个,参数,.,第7章 参数估计,参数估计问题的一般提法,:,依据样本估计参数,，或估计,的某个函数,g(,),.,这类问题称为,参数估计,.,设总体的分布函数为,F(,x,),，,其中,为未知参数,(,可以是向量,).,从该总体抽样，得样本,X,1,X,2,X,n,.,参数估计,点估计,区间估计,1.65 1.67 1.68 1.78 1.69,例 估计,18岁男子的平均身高,.,从总体选,取容量为,5,的样本,:,估计,为,1.68,，,这是,点估计,.,估计,在区间,1.57,1.84,内，这是,区间估计,.,一、点估计概念及讨论的问题,例,1,已知某地区新生婴儿的体重,X,随机抽查,100,个婴儿得,100,个体重数据,.,问题：,1.,如何估计未知参数呢,?,1.,点估计,2.,如何评价估计结果的优劣？,3.,证明某特定估计量在某标准下最优。,为估计,需要构造适当的样本的函数,T,(,X,1,X,2,X,n,),，,每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为,的估计值,.,把样本值代入,T,(,X,1,X,2,X,n,),中，得到,的一个点估计值,.,T,(,X,1,X,2,X,n,),称为参数,的点估计量，,注意，被,估参数,是,未知常数,估计量,T,(,X,1,X,2,X,n,),是随机变量,由大数定律,用样本平均值估计总体期望,.,用样本方差,S,2,估计总体方差,.,二,.,数字特征法：,三,.,矩估计,总体,k,阶原点矩为,用样本矩去估计相应的总体矩,.,样本,k,阶原点矩为,总体,k,阶中心矩为,样本,k,阶中心矩为,设总体分布函数中含,k,个未知参数,1,2,k,，,则它的前,k,阶矩：,1,，,2,，,，,k,一般,都是这,k,个参数的函数,记为：,i,=g,i,(,1,2,k,),i,=1,2,k,解出h,j,(,1,，,2,，,，,k,),j,=1,2,k,j,=1,2,k,用,A,i,B,j,代替上式中,i,v,j,得,j,的矩估计量：,j,=h,j,(A,1,A,2,A,k,),解,:,由矩法,:,样本矩,总体矩,从中解得,即为,的矩估计,.,数学期望,是一阶,原点矩,例,2,设总体,X,的概率密度为,是未知参数,其中,X,1,X,2,X,n,是取自,X,的样本,求参数,的矩估计,.,解,:,由密度函数知,例,3,设,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本,其中,0,，,是未知参数,求,:,的矩估计,.,服从具有均值为,的指数分布,故,E,(,X,)=,D,(,X,)2,即,E,(,X,)=,+,D,(,X,)=,2,令,用样本矩估,计总体矩,解得,:,矩估计,优点,:,简单易行,不需要知道总体的分布,.,缺点,：当总体分布已知时，无充分利用分布提供的信息,.,矩估计量不唯一,.,其原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替有一定的随意性,.,四,.,极大似然法,在总体分布类型已知条件下使用的一种参数估计方法,.,首先由德国数学家,高斯,在,1821,年提出。,英国统计学家,费歇,1922,年重新发现此,方法，并首先研究了此方法的一些性质,.,例：某位同学与一位猎人一起外出打猎,.,一只,野兔从前方窜过,.,一声枪响，野兔应声倒下,.,推测：,是谁打中的呢？,例,4,设,X,B,(1,p,),p,未知.但知道,p,只有两种可能:,p,=0.7,或,p,=0.3.,如今重复试验,3,次,问,:,应如何估计,p,?,得结果,:0,0,0,因为,3,次试验中出现“,1”,的次数,k,=0,1,2,3,就不同,p,计算结果列表如下：,p,值,P,(,Y,=0,),P,(,Y,=1),P,(,Y,=2),P,(,Y,=3)0.70.027 0.189,0.441,0.343,0.3,0.343,0.441,0.189 0.027,应如何估计,p,?,若：只知,0,p,0,解：似然函数为,(0 x,i,0,求：,、,的极大似然估计,.,、未知,对数似然函数,=0 (2),由,(1),得,=0 (1),对,、,分别求偏导并令其为,0,无法确定,、,用极大似,然原则求,对,故使,L(,、,),达到最大的,即,的,MLE,，,取其它值时，,且是 的增函数,于是,为,、,的,MLE.,可证明极大似然估计具有下述性质：,设,的函数,g=g(,),是,上的实值函数,且有唯一反函数,.,如果,是,的,MLE,，,则,g(,),也是,g(,),的极大似然估计,.,例,8,一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为,n,的样本，其中有,k,个白球，求罐中黑球与白球之比,R,的极大似然估计,.,解,:,设,X,1,X,2,X,n,为所取样本，则,X,1,X,2,X,n,是取自,B,(1,p,),的样本，,p,是每次抽取时取到白球的概率，,p,未知,.,先求,p,的,MLE,：,p,的,MLE,为,由例,4,已知：,由极大似然估计的性质得,的,MLE,是,第二次捕出的有记号的鱼数,X,是,r.v,X,具有超几何分布：,为了估计湖中的鱼数,N,，,第一次捕上,r,条鱼，,做上记号后放回,.,隔一段时间后,再捕出,S,条鱼,结果发现这,S,条鱼中有,k,条标有记号,.,根据这个信息，如何估计湖中的鱼数呢？,最后，我们用极大似然法估计湖中的鱼数,求,N,的极大似然估计,.,因为用对,N,求导方法相当困难,考虑比值,：,当,N,为小于,rS/k,的最大,整数时,达到最大值.,故,N,的极大似然,估计为:,(3),怎样判定两个估计量哪个量,“,好,”,？,(2),“,好的,”,估计量应具有什么特性？,(1).,同一未知参数不同的估计方法所得,估计量不同，哪一个估计量好呢？,1,、估计量的优良性准则,评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量,.,2,估计量的优劣标准,问题：,常用的几条标准是：,1),无偏性,2),有效性,3),一致性,1,无偏性,设,(X,1,X,2,X,n,),是未知参数,的估计量，,则称,为,的,无偏估计,.,无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差,.,由习题,4.21,题知X,是总体期望的无偏估计。,S,2,是总体方差的无偏估计。,2,有效性,D,(,1,),D,(,2,),则称 较,2,有效,.,都是参数,的无偏估计量，若,设,1,=,1,(X,1,X,2,X,n,),和,2,=,2,(X,1,X,2,X,n,),1,是总体期望的无偏估计，,n,越,大越有效。,最小方差无偏估计,.,（也称最佳无偏估计）,若 满足：,（,1,）,E(,)=,，,即,为,的无偏估计；,（,2,）,D(,),D(*),，,*,是,的任一无偏估计,.,则称,为,的最小方差无偏估计,.,设,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本，,=(X,1,X,2,X,n,),是未知参数,的一个估计量，,3.,一致性,P,=1,则称,为,的无偏估计。,由大数定律知样本均值为总体期望的一致估计量。,设：,是的估计量，若对于任意正数，,设,0 1,对随机变量,X,，,称满足,的点,为,X,的概率分布的上 分位数,.,3,区间估计,例如,:,标准正态分布的,上 分位数,z,1.,准备知识：,上,分位数,例如,:,分布的上 分位数,自由度为,n,的,F,分布的上,分位数,F,(n,1,n,2,),自由度为,n,1,n,2,的,2.,置信区间定义：,满足,设,是 一个待估参数，给定,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的两个统计量,则称区间,1,2,是,的,置信水平,（置信度、,置信概率）为,1,的置信区间,.,1,和,2,分别称为置信下限和置信上限,.,可信度与精度是一对矛盾，一般是在,保证可靠度的条件下尽可能提高精度,.,1.,要求概率,P,1,2,要尽可能大,.,即要求估计尽量可靠,.,2.,估计的精度要尽可能的高,.,如要求区间,长度,|,1,2,|,尽可能短,.,注意：给定样本和置信水平，,置信区间,不是唯一,的,.,N,(0,1),求参数,的置信度为,1,的置信区间,.,设,X,1,X,n,是取自,的样本，,3.,置信区间的求法,找一个待估参数,和样本的函数，,要求其分布已知,.,1).,正态总体方差已知，期望的置信区间,：,选,的点估计为,X,给定置信水平,1,，,查正态分布表得,使,简记,:,于是,的,置信区间为,:,为什么？,对任意,ab,就得一个置信度为,1,的置信区间。,概率密度为单峰且对称,的情形，当,a,=-,b,时，得,长度最短的置信区间,.,a,=-,b,在概率密度不对称时，如,分布,，,F,分布,，习惯上,仍取对称的分位点计算未,知参数的置信区间,.,置信水平越高，相应的,置信区间,平均长度,越长,2).,正态总体方差未知期望的置信区间：,因方差未知，取,知,求参数,的置信度为,1,的置信区间,.,设,X,1,X,n,是取自,N(,2,),的样本，,2,未,选,的点估计为,X,给定置信水平,1,，,查,t-,分布表得,t,/2,(n-1),即：,期望,的置信水平为,1,的置信区间为：,简记：,例,1.,某车间生产滚珠，由长期实践知，滚珠直径,(,单位：,mm)XN(,0.05,).,从某天生产的滚珠中随机抽取6个测得直径如下：14.70,15.21,14.90,14.91,15.32,15.32,15.32.求该天生产滚珠直径均值的置信度为95置信区间。,解：由已知知所求置信区间为：,X15.06,z,0.025,1.96,2,0.05,代入以上置信区间得：,14.88,15.24,为所求。,n=6,例,2.,用某仪器间接测温度，重复,5,次得：,1250,o,，,1265,o,，,1245,o,，,1260,o1275,o,，,试问温度真值在何范围？(设测量结果服从正态分布。),解：由已知知所求置信区间为：,X1259,t,0.025,(4)2.776,S,2,570/4,代入以上置信区间得：,1244.2,1273.8,为所求。,n=5,非正态总体期望的置信区间取大样本按正态,总体,作,例,3,某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了,30,天,其总金额的平均值是,170,元，标准差为,30,元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为,0.95,）,.,解：,设每天职工的总医疗费为,X,，,(,大样本,),职工每天总医疗费用平均值的置信区间为：,所求置信区间是,:158.8,181.2,t,.0.025,(29)=2.0452,n,=30,代入得,将,=170,S,=30,因为：,解得,:,对给定的置信度,1,确定分位数,3).,正态总体期望未知方差的置信区间：,求参数,2,的置信度为,1,的置信区间,.,设,X,1,X,n,是取自,N(,2,),的样本，,未知,选,2,的点估计为,S,2,满足：,故,2,的置信区间为：,例,4.,冷抽铜丝折断力,X,N(,2,).,从一批铜丝中任取,10,根测其折断力得：,578,572,570,568,572,570,570,596,584,572.,求方差的置信区间。,代入得所求置信区间是,:35.87,252.44,将,=575.2,9,S,2,=681.6,解：,2,的置信区间为：,4).,两独立正态总体期望差异的置信区间：,设,XN(,1,),是取自,X,的样本，,YN(,2,),是取自,Y,的样本，,X,、,Y,相互独立，求,1,2,的,置信度为,1,的置信区间,选,1,的点估计为,X,，,2,的点估计为,Y,1,当 已知时：,1,2,的,置信度为,1,的置信区间为：,2,当 ,2,未,知时：,5).,两独立正态总体方差比的置信区间：,设,XN(,1,),是取自,X,的样本，,YN(,2,),是取自,Y,的样本，,X,、,Y,相互独立，,1,、,2,未知，求 的,置信度为,1,的置信区间,相互独立,为,为区间,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限,.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了,.,这时，可将置信上限取为,+,，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间,.,单侧置信区间和置信限的定义,：,满足,设,是 一个待估参数，给定,若由样本,X,1,X,2,X,n,确定的统计量,则称区间 是,的置信水平为,的,单侧置信区间,.,1,称为单侧置信下限,.,若统计量 满足,则称区间 是,的置信水平为 的,单侧置信区间,.,称为,单侧置信上限,.,使,即,于是得到,的置信水平为 的单侧置,信区间为,:,1,正态总体期望的单侧置信区间：,对给定的置信水平,，确定分位数,t,(n-1),知,求参数,的置信度为,1,的单侧置信区间,.,设,X,1,X,n,是取自,N(,2,),的样本，,2,未,设灯泡寿命服从正态分布,.,求灯泡寿命均值,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限,.,例,4,从一批灯泡中随机抽取,5,只作寿命试验，测得寿命,X,（,单位：小时）如下：,1050,，,1100,，,1120,，,1250,，,1280,解：,的置信水平为 的单侧置信下限为,将样本值代入得,的置信水平为,0.95,1065,小时,的单侧置信下限为：,使,即,于是得到,2,的置信水平为 的单侧置,信区间为,:,2,正态总体方差的单侧置信区间：,知,求参数,2,的置信度为,1,的单侧置信区间,.,设,X,1,X,n,是取自,N(,2,),的样本，,未,对给定的置信水平,，,确定分位数,