信号与系统z变换教学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,10,章,z,变换,掌握,Z,变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的,Z,变换。,掌握求解信号,Z,变换,(,包括正变换和反变换,),的基本方法。,掌握运用,Z,变换分析,LTI,系统的方法。,掌握系统函数,H(z,),收敛域与系统因果稳定性的关系：定性分析方法。,掌握系统的典型表示方法：,H(z,),、,hn,、差分方程、模拟框图、信号流图、零极点,+,收敛域图，以及它们之间的转换。,10.0,引言,前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论,Z,变换，从变换的基本性质和基本作用来看，,Z,变换和拉氏变换是相似的，而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，,Z,变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可以借助拉氏变换的知识来理解,Z,变换的基本概念，同时也应通过两者之间的不同来领会,Z,变换的主要特点。,一、离散时间特征函数,设,一个离散系统的输入为,x,n,=,z,n,就是,hn,的,z,变换。,10.1 z,变换定义,二、,离散时间信号的,z,变换,离散时间信号的,z,变换定义为：,记作,：,为了理解,z,变换和离散傅立叶变换之间的关系,z,=,re,j,w,则：,因此Re,(,z,),Im,(,z,),1,w,z-plane,r,三、,z,变换的几何解释和收敛域,Z,变换和,DT,信号傅立叶变换之间关系的讨论和对,CT,信号的讨论几乎并行进行的，但是一些重要的不同。,在,z,变换中当变量,z,的模,为,1,，即,z=e,j,时，,z,变换退化成,DTFT,。,傅立叶变换就是在复数,z,平面中，半径为,1,的圆上的,z,变换。,如果,ROC,内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！,收敛问题,为了使,z,变换收敛，等同于要求,x,n,r,-n,的傅立叶变换收敛。,总的来说，对某一序列,xn,的,z,变换，存在着某一个,z,值的,范围，在该范围内的,z,，,X(z),收敛。,由,这些使,X(z),收敛的,z,值所,组成的范围，就是,收敛域,(ROC),。,例,指数函数的,z,变换,考虑信号,x,n,=,a,n,u,n,其,z,变换为：,X(z),要收敛，要求：,收敛域为：,当,a,=1,Z,变换的结果,X(z)=z/(z-a),是一有理函数，因此，可用它的零点和极点来表示。,Re,(,z,),Im,(,z,),1,Unit,circle,a,x,例,考虑信号,x,n,=-,a,n,u,-,n,-1,什么情况下，上式收敛呢？,当,|,a,-1,z,|1,，即,|,z,|1/2,。,10.2 z,变换的收敛域,性质,1,：,X(z),的,ROC,是在,z,平面内以圆点为中心的圆环。,Re,(,z,),Im,(,z,),Re,(,z,),Im,(,z,),Re,(,z,),Im,(,z,),性质,2,：,ROC,内不,包括任何极点。,在,极点处，,X(z),为,无穷大。,Re,(,z,),Im,(,z,),性质,3,：如果,xn,是,有限长序列，那么,ROC,就是整个,z,平面，可能去除,z=0,和,/,或,z=,。,例：分别求以下信号的,z,变换,解：,整个,z,平面,性质,4,：如果,xn,是,一个右边序列，并且,|z|=r,0,的圆,位于,ROC,内，那么,|z|,r,0,的全部有限,z,值都,一定在这个,ROC,内。,n,Re,(,z,)Im,(,z,),N,1,性质,5,：如果,xn,是,一个左边序列，并且,|z|=r,0,的圆,位于,ROC,内，那么,0|z|0,，求出,Z,变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。,解：,例：,求其,z,变换,解：,而：,当,b1,时其收敛域,由以上收敛域，可知只有当,b1,时双边指数序列的收敛域才有公共的收敛域，而当,bR,1,，,则,xn,必然为一右边序列，此时,N(z),和,D(z),按,z,的降幂次序进行排列。若,X(z,),的收敛域为,|z|R,2,，,则,xn,必然为一左边序列，此时,N(z),和,D(z),按,z,的升幂次序进行排列。然后利用长除法，将,X(z,),展开为幂级数，得到,xn,。,例,考虑一个,z,变换,X(z),为,利用长除法展开,长除法的局限性：,长除法只适用于有理形式的,z,变换，且收敛域限于某个圆周的内部或外部，对于收敛域为有限圆环的有理像函数，,其,z,反变换为两边序列，就无法用长处法。,利用长除法要归纳出序列表达式，也不是那么容易的！,10.5 z,变换性质,一、线性,则,若,但有时候会扩大,二、时移性质,若,则,重要应用：差分方程的,z,变换！,例,由于,所以,三、,z,域,尺度变换,若,则,四、时间反转,若,则,五、时间扩展,若,则,六、共轭,若,则,注：若,xn,为实函数，如果,X(z,),有一个极点或零点为复数在,z=z,0,处，那么,X(z,),也一定有一个复数共轭的 极点或零点，且对于,X(z,),的部分分式展开式中的系数也互为共轭。,七、卷积性质,若,则,ROC=,R,1,ROC=,R,2,ROC,R,1,R,2,八,.Z,域微分,If,ROC=R,ROC=R,Then,xn=0 n0(xn,为因果序列）,九,.,初值、终值定理,终值定理：,初值定理：,收敛域包括单位圆,10.6,常用变换对,表,10.2,10.7,利用,Z,变换分析和表征,LTI,系统,一、因果性,一个具有有理系统函数,H(z,),的,LTI,系统要是因果的,当且仅当,:,(,a)ROC,位于最外层极点外边某一个圆的外边,(b),若,H(z,)表示成,z,的多项式之比,其分子的阶次不能大于分母的阶次,。,二、稳定性,一个,LTI,系统当且仅当它的系统函数,H(z,),的,ROC,包括单位圆（,|z|=1,）时,该系统就是稳定的。,一个具有有理系统函数的因果,LTI,系统,当且仅当,H(z,),的全部极点都位于单位圆内时,也即全部极点其模值都小于,1,时,系统就是稳定的。,三,.,频率响应的几何确定法,若系统函数的收敛域包括单位圆，则其存在傅立叶变换，而且可以直接根据系统函数：,这里设,N=M,，,则可以直接得出其频率响应：,其幅频特性：,相频特性为：,四、由线性常系数差分方程表征的,LTI,系统,例：考虑一因果的,LTI,系统，其输入,xn,和输出,yn,满足如下线性常系数差分方程：,(1),求系统函数,H(z,),，画零极点图、收敛域，并判断系统的稳定性；,(2),求系统的单位冲激响应,hn,(3),若有一输入信号为：,求响应,yn,解：,（,1,）方程两边同时进行,z,变换，则：,（,2,）,（,3,）,五、系统特性与系统函数的关系举例,例：假设对于一个,LTI,系统给出下列信息：,（,1,）若系统的输入是,则其输出为：,（,2,）,则,求出系统函数,H(z,),，并说明系统是否是稳定的、因果的；,10.8,系统函数的代数属性与方框图表示,10.8.1 LTI,系统互联的系统函数,(1),级联,(,串联,),(2)并联,(3),反馈联,10.8.2,由差分方程和有理系统函数描述 的因果,LTI,系统的方框图、信流图表示,对于连续系统，一般通过加法器、乘法器和积分器对其进行模拟。而对于离散系统，一般则通过加法器、乘法器以及单位延迟器对其进行模拟。,例：已知一因果系统的一阶差分方程为：,求：,（,1,）系统函数,H(z,),，画零极点图，判断系统稳定性,（,3,）求系统信流图、方框图,（,4,）若系统的输入信号为,（,2,）求系统的单位冲激响应,求响应,yn,解：,（,1,）,（,2,）,收敛域包括单位圆，稳定,(3),方框图,信号流程图,（,4,）,10.9,单边,Z,变换,定义,:,单边,z,变换与双边,z,变换的差别在于，求和仅在,n,的非负值上进行，而不管,n0,时，,xn,是否为,0,。因此,xn,的单边,z,变换就能看作是,xnun,的双边变换。,10.9.2,单边,z,变换的性质,单边,z,变换的大多数性质都与双边,z,变换相同，只是有几个不同,时移特性,左移：,右移：,利用单边,z,变换求解差分方程,例：某离散时间稳定线性时不变系统的系统函数的零极点图如图所示，且,H(1)=2,（,1,）确定该系统的系统函数，指出收敛域。,（,2,）判断该系统的因果性。,（,3,）求系统的单位冲激响应。,（,4,）写出表征该系统的常系数线性差分方程。,（,5,）画出该系统的方框图以及信流图。,解,（,1,）,根据零极点图,带入：,H(1)=2,，得：,A=-2,故：,又因为该系统是稳定的，故其收敛域需要包括单位圆，故：,（,2,）,由于该系统的收敛域位于最里面极点的里面，故其不是因果的。,（,3,）该系统的单位冲激响应是：,（,4,）差分方程为：,则：,(5),方框图以及信号流程图为：,