第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计(数字信号处理).ppt

第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,8.1,数字滤波器的基本概念,例：有信号,要求用数字方法滤去,50Hz,的成分,解：用,T=0.004,秒对信号,x(t,),进行采样（,f,s,=250Hz,）则,输出为五个信号采样值的平均值。,讨论：,（,1,）可以用数字方法实现滤波,（,2,）在数字滤波中，可以实现“非因果”的处理,（,3,）若本例中改为,50Hz,和,500Hz,组成的信号，采样频率为,2500Hz,，数字滤波的结果是一样的。因此数字滤波时，滤波参数和信号采样频率的相对值有关。,非因果系统,因果系统,8.1,数字滤波器的基本概念,1.,数字滤波器的分类,数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应,(IIR),滤,波器和有限脉冲响应,(FIR),滤波器。它们的系统函数分别为：,(8.1.1),(8.1.2),2,数字滤波器的技术要求,我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数,H(e,j,),用下式表示：,图,8.1.2,低通滤波器的技术要求,通带内和阻带内允许的衰减一般用,dB,数表示，通带内允许的最大衰减用,p,表示，阻带内允许的最小衰减用,s,表示，,p,和,s,分别定义为：,(8.1.3),(8.1.4),如将,|H(e,j0,)|,归一化为,1,，,(8.1.3),和,(81.4),式则表示成：,(8.1.5),(8.1.6),3.,数字滤波器设计方法概述,IIR,滤波器和,FIR,滤波器的设计方法是很不相同的。,IIR,滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数,H,a,(s),，,然后将,H,a,(s),按某种方法转换成数字滤波器的系统函数,H(z),。,8.3,用脉冲响应不变法设计,IIR,数字低通滤波器,为了保证转换后的,H(z),稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：,(1),因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。,(2),数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，,s,平面的虚轴映射,z,平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。,图,8.3.1,z=,e,sT,s,平面与,z,平面之间的映射关系,设模拟滤波器的传输函数为,H,a,(s),相应的单位冲激响应是,h,a,(t),设模拟滤波器,Ha(s),只有单阶极点，且分母多项式,的阶次高于分子多项式的阶次，将,H,a,(s),用部分分式表,示：,(8.3.1),式中,s,i,为,H,a,(s),的单阶极点。将,H,a,(s),进行逆拉氏,变换得到,h,a,(t),：,(8.3.2),式中,u(t),是单位阶跃函数。对,h,a,(t),进行等间隔采样，采样间隔为,T,，,得到：,(8.3.3),对上式进行,Z,变换，得到数字滤波器的系统函数,H(z),：,(8.3.4,),设,h,a,(t),的采样信号用,h,a,(t),表示，,对 进行拉氏变换，得到,:,式中,h,a,(nT,),是,h,a,(t),在采样点,t=,nT,时的幅度值，,它与序列,h(n),的幅度值相等，即,h(n)=,h,a,(nT,),，,因此,得到,:,(8.3.5),上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的,Z,变换之间的映射关系可用下式表示：,我们知道模拟信号,h,a,(t),的傅里叶变换,H,a,(j),和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足,(1.5.5),式，重写如下：,(8.3.6,),将s=j,代入上式，得,由,(8.3.5,),式和,(8.3.8,),式得到,:,(8.3.7,),(8.3.8,),(8.3.9,),上式表明将模拟信号,h,a,(t),的拉氏变换在,s,平面上沿虚轴按照周期,s,=2/T,延拓后，再按照,(8.3.6),式映射关系，映射到,z,平面上，就得到,H(z),。,(8.3.6),式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设,按照,(8.3.6,),式，得到,:,因此得到,:,(8.3.10,),那么,=0,r=1,0,r0,r1,另外，注意到,z=,e,sT,是一个周期函数，可写成,为任意整数,图,8.3.1,z=,e,sT,s,平面与,z,平面之间的映射关系,图,8.3.2,脉冲响应不变法的频率混叠现象,假设 没有频率混叠现象，即满足,按照,(8.3.9),式，并将关系式,s=j,代入，,=T,，,代入得到：,令,一般,Ha(s),的极点,s,i,是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在,(8.3.1),式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为,极点为,(8.3.11,),可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节,(,只有实,数乘法,),的形式为,(8.3.12,),如果模拟滤波器二阶基本节的形式为,极点为,(8.3.13,),(8.3.14,),优点：频率坐标的转换是线性的,缺点：,1,）非一一对应的映射，（,2,）内为一一对应,2,）存在混叠现象。由于相应的模拟滤波器不是一个带限系统，根据,系统一定存在混叠,适用,（,1,）衰减特性好的低通带通滤波器,（,2,）系统函数可用极点部分分式表示时,在实际应用中，通常采用修正措施：,因为了减少混叠效应，一般选用较高采样频率，取,T,很小，这样会造成,增益过高，故采取措施,例,8.3.1,已知模拟滤波器的传输函数,H,a,(s),为,用脉冲响应不变法将,H,a,(s),转换成数字滤波器的系统函数,H(z),。,解 首先将,Ha(s),写成部分分式：,极点为,那么,H(z),的极点为,按照,(8.3.4,),式，并经过整理，得到,设,T=1s,时用,H,1,(z),表示，,T=0.1s,时用,H,2,(z),表示，则,转换时，也可以直接按照,(8.3.13),(8.3.14,),式进行,转换。首先将,H,a,(s),写成,(8.3.13,),式的形式，如极点,s,1,2=,1,j,1,则,再按照,(8.3.14,),式，,H(z),为,图,8.3.3,例,8.3.1,的幅度特性,8.4,用双线性变换法设计,IIR,数字低通滤波器,为了克服脉冲响应不变法的频率混叠，建立,S,平面与,Z,平面之间的一一对应关系，可以采取以下措施：,1,）将整个,S,平面压缩到,S,1,平面的一个横向条带内,2,）将,S1,平面的一个横向条带变换到整个,Z,平面,S,平面,1,S,1,平面,Z,平面,正切变换实,现频率压缩：,(8.4.1,),式中,T,仍是采样间隔，当,1,从,/T,经过,0,变化到,/T,时，,则由经过,0,变化到,+,，实现了,s,平面上整,个虚轴完全压缩到,s,1,平面上虚轴的,/T,之间的转换。,这样便有,(8.4.2,),再通过 转换到,z,平面上，得到：,(8.4.3,),(8.4.4,),下面分析模拟频率,和数字频率,之间的关系。,图,8.4.1,双线性变换法的映射关系,令,s=j,z=e,j,，,并代入,(8.4.3),式中，有,(8.4.5,),图,8.4.2,双线性变换法的频率变换关系,图,8.4.3,双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射,设,表,8.4.1,系数关系表,例,8.4.1,试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图,8.4.4,所示的,RC,低通滤波器转换成数字滤波器。,解 首先按照图,8.4.4,写出该滤波器的传输函数,H,a,(s),为,利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函,数,H,1,(z),为,利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数,H,2,(z),为,H,1,(z),和,H,2,(z),的网络结构分别如图,8.4.5(a,),(b),所示。,图,8.4.5,例,8.4.1,图,H1(z),和,H2(z),的网络结构,(a)H,1,(z);(b)H2,(z),下面我们总结利用模拟滤波器设计,IIR,数字低通滤波器的步骤。,(1),确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率,p,、,通带衰减,p,、,阻带截止频率,s,、,阻带衰减,s,。,(2),将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。,如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为,图,8.4.6,例,8.4.1,图,数字滤波器,H,1,(z),和,H,2,(z),的幅频特性,(3),按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。,(4),将模拟滤波器,H,a,(s),，从,s,平面转换到,z,平面，得到数字低通滤波器系统函数,H(z),。,例,8.4.2,设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于,0.2rad,时，容许幅度误差在,1dB,以内；在频率,0.3,到,之间的阻带衰减大于,15dB,。,指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。,解,(1),用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。,数字低通的技术指标为,p,=0.2rad,p,=1dB;,s,=0.3rad,s,=15dB,模拟低通的技术指标为,T=1s,p=0.2rad/s,p,=1dB;,s,=0.3rad/s,s,=15dB,设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数,N,及,3dB,截止频率,c,。,取,N=6,。,为求,3dB,截止频率,c,将,p,和p,代入,(8.2.17),式，得到,c,=0.7032rad/s,，,显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。,根据阶数,N=6,，,查表,8.2.1,，得到归一化传输函数为,为去归一化，将,p=s/,c,代入,H,a,(p),中，得到实际的,传输函数,H,a,(s),用脉冲响应不变法将,H,a,(s),转换成,H(z),。,首先将,H,a,(s),进行部分分式，并按照,(8.3.11,),式、,(8.3.12,),式，或,者,(8.3.13,),式和,(8.3.14,),式，得到：,图,8.4.7,例,8.4.2,图,用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性,(2),用双线性变换法设计数字低通滤波器。,数字低通技术指标仍为,p,=0.2rad,p,=1dB;,s,=0.3rad,s,=15dB,模拟低通的技术指标为,设计巴特沃斯低通滤波器。阶数,N,计算如下：,取,N=6,。,为求,c,将,s,和,s,代入,(8.2.18,),式中，得,到,c,=0.7662rad/s,。,这样阻带技术指标满足要求，通,带指标已经超过。,根据,N=6,，,查表,8.2.1,得到的归一化传输函数,H,a,(p),与脉冲响应不变法得到的相同。为,去归一化，将,p=s/,c,代入,H,a,(p),，,得实际的,H,a,(s),，,用双线性变换法将,Has),转换成数字滤波器,H(z),：,图,8.4.8,例,8.4.2,图,用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性,8.5,数字高通、带通和带阻滤波器的设计,例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：,(1),确定所需类型数字滤波器的技术指标。,(2),将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为,(3),将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标,(,具体转换公式参考本章,8.2,节,),。,(4),设计模拟低通滤波器。,(5),将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。,(6),采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。,例,8.5.1,设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率,p,=0.8rad,，,通带衰减不大于,3,dB,，,阻带截止频率,s,=0.44rad,阻带衰减不小于,15dB,。,希望采用巴特沃斯型滤波器。,解,(1),数字高通的技术指标为,p,=0.8rad,p,=3dB;,s,=0.44rad,s,=15dB,(2),模拟高通的技术指标计算如下：,令,T=1,，,则有,(3),模拟低通滤波器的技术指标计算如下：,将,p,和,s,对,3dB,截止频率,c,归一化，这里,c,=,p,(4),设计归一化模拟低通滤波器,G(p),。,模拟低通滤波器的阶数,N,计算如下：,查表,8.2.1,，得到归一化模拟低通传输函数,G(p),为,为去归一化，将,p=s/,c,代入上式得到：,(5),将模拟低通转换成模拟高通。将上式中,G(s),的变量换成,1/s,，,得到模拟高通,H,a,(s),：,(6),用双线性变换法将模拟高通,H,(s),转换成数字高通,H(z),：,实际上,(5),、,(6),两步可合并成一步，即,例,8.5.2,设计一个数字带通滤波器，通带范围为,0.3rad,到,0.4rad,，,通带内最大衰减为,3dB,，,0.2rad,以下和,0.5rad,以上为阻带，阻带内最小衰减为,18dB,。,采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。,解,(1),数字带通滤波器技术指标为,通带上截止频率,u,=0.4rad,通带下截止频率,l,=0.3rad,阻带上截止频率,s2,=0.5rad,阻带下截止频率,s1,=0.2rad,通带内最大衰减,p,=3dB,，,阻带内最小衰减,s,=18dB,。,(2),模拟带通滤波器技术指标如下：,设,T=1,，,则有,(,通带中心频率,),(,带宽,),将以上边界频率对带宽,B,归一化，得到,u,=3.348,l,=2.348;,s2,=4.608,s1,=1.498;,0,=2.804,(3),模拟归一化低通滤波器技术指标：,归一化阻带截止频率,归一化通带截止频率,p,=1,p,=3dB,s,=18dB,(4),设计模拟低通滤波器：,查表,8.2.1,，得到归一化低通传输函数,G(p),(5),将归一化模拟低通转换成模拟带通：,(6),通过双线性变换法将,H,a,(s),转换成数字带通滤波器,H(z),。,下面将,(5),、,(6),两步合成一步计算：,将上式代入,(5),中的转换公式，得,将上面的,p,等式代入,G(p),中，得,例,8.5.3,设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率,l,=0.19,阻带下截止频率,s1,=0.198,，,阻带上截止频率,s2,=0.202,，,通带上限频率,u,=0.21,，,阻带最小衰减,s,=13dB,，,l,和,u,处衰减,p,=3dB,。,采用巴特沃斯型。,解,(1),数字带阻滤波器技术指标：,l,=0.19rad,u,=0.21rad,p,=3dB;,s1,=0.198rad,s2,=0.202rad,s,=13dB,(2),模拟带阻滤波器的技术指标：,设,T=1,，,则有,阻带中心频率平方为,2,0,=,l,u,=0.421,阻带带宽为,B=,u,-,l,=0.07rad/s,将以上边界频率对,B,归一化：,l,=8.786,u,=9.786,s1,=9.186,s2,=9.386;,2,0,=,l,u,=85.98,(3),模拟归一化低通滤波器的技术指标：,按照,(8.2.48),式，有,p,=1,p,=3dB,(4),设计模拟低通滤波器：,(5),将,Gp),转换成模拟阻带滤波器,H,a,(s),：,(6),将,H,a,(s),通过双线性变换，得到数字阻带滤波器,H(z),。,8.6 IIR,数字滤波器的直接设计法,1.,零极点累试法,称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：,(1),极点必须位于,z,平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；,(2),复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。,图,8.8.1,例,8.8.1,图,(a),零极点分布；,(b),幅度特性,2.,在频域利用幅度平方误差最小法直接设计,IIR,数字滤波器,设,IIR,滤波器由,K,个二阶网络级联而成，系统函数用,H(z),表示，,(8.8.1,),式中，,A,是常数；,a,i,b,i,c,i,d,i,是待求的系数；,H,d,(e,j,),是希望设计的滤波器频响。如果在,(0,，,),区间取,N,点数,字频率,i,i=1,2,:,N,，,在这,N,点频率上，比较,|,H,d,(e,j,)|,和,|H(e,j,)|,，,写出两者的幅度平方误差,E,为,(8.8.2,),而在,(8.8.1),式中共有,(4K+1),个待定的系数，求它们的原则是使,E,最小。下面我们研究采用,(8.8.1),式网络结构，如何求出,(4K+1),系数。,按照,(8.8.2),式，,E,是,(4K+1),个未知数的函数，用下式表示：,上式,表示,4K,个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令,(8.8.3,),为选择,A,使,E,最小，令,(8.8.4,),设,k,是,的第,k,个分量,(,a,k,或,b,k,或,c,k,或,d,k,),，,(8.8.5,),因为,式中,H,*,i,表示对,H,i,函数,共轭。,(8.8.6,),将上式具体写成对,a,k,b,k,c,k,d,k,的偏导，得到：,(8.8.7,),式中，,k=1,2,3,:,K,；,i=1,2,3,:,N,。,同理求得,(8.8.8,),(8.8.9,),(8.8.10,),由于系统函数是一个有理函数，极、零点均以共轭成对的形式存在，对于极点,z,1,一定有下面关系：,(8.8.11,)图,8.8.2,例,8.8.2,图,(a),要求的幅度特性；,(b)k=1,，,2,时的幅度特性,例,8.8.2,设计低通数字滤波器，其幅度特性如图,8.8.2(a,),所示。截止频率,s,=0.1rad,。,解 考虑到通带和过渡带的重要，在,00.2,区间，每隔,0.01,取一点,i,值，在,0.2,区间每隔,0.1,取一点,i,值，并增加一点过渡带，在,=0.1,处,|,H,d,(e,j,)|=0.5,。,1.0,=0,0.01,0.02,:,0.09,0.5,=0.1,0.0,=0.11,0.12,:,0.19,0.0,=0.2,0.3,:,N=29,，取,k=1,，,系统函数为,待求的参数是,A,，,a,1,b,1,c,1,d,1,。,设初始值,=(0000.25),T,经过,90,次迭代，求得,E=1.2611,，,系统函数零、极点位置为,零点,0.67834430j0.73474418;,极点,0.75677793j1.3213916,为使滤波器因果稳定，将极点按其倒数搬入单位圆内，再进行,62,次优化迭代，求得结果为,零点,0.82191163j0.56961501;,极点,0.89176390j0.19181084;,A,g,=0.11733978,E=0.56731,误差函数用下式表示：,(8.8.12,),3.,在时域直接设计,IIR,数字滤波器,设我们希望设计的,IIR,数字滤波器的单位脉冲响应为,h,d,(n,),，,要求设计一个单位脉冲响应,h(n),充分逼近,h,d,(n,),。,下,面我们介绍这种设计方法。,设滤波器是因果性的，系统函数为,(8.8.13,),式中,a,0,=1,，,未知系数,a,i,和,b,i,共有,N+M+1,个，取,h(n),的一段，,0np-1,，,使其充分逼近,h,d,(n,),，,用此原则求解,M+N+1,个系数。将,(8.8.13),式改写为,令p=M+N+1,则,(8.8.14,),令上面等式两边,z,的同幂次项的系数相等，可得到,N+M+1,个方程：,h(0)=b,0,h(0)a,1,+h(1)=b,1,h(0)a,2,+h(1)a,1,+h(2)=b,2,上式表明,h(n),是系数,a,i,b,i,的非线性函数，考虑到,iM,时，,b,i,=0,，,一般表达式为：,(8.8.15,),(8.8.16,),设,x(n),为给定的输入信号，,y,d,(n),是相应的希望的输出信号，,x(n),和,y,d,(n),长度分别为,M,和,N,，,实际滤波器的输出用,y(n),表示，下面我们按照,y(n),和,y,d,(n),的最小均方误差求解滤波器的最佳解，设均方误差用,E,表示：,(8.8.17,),(8.8.18,),上式中,x(n),0nM,1,；,y,d,(n),，,0nN-1,为选择,h(n),使,E,最小，令,由,(8.8.18),式得到,(8.8.20,),例,8.8.2,设计数字滤波器，要求在给定输入,x(n)=3,1,的情况下，输出,y,d,(n)=1,0.25,0.1,0.01,0,。,解 设,h(n),长度为,p=4,，,按照,(8.8.20),式，得,列出方程：,10,h,(0)+3,h,(1)=3.25,3,h,(0)+10,h,(1)+3,h,(2)=0.85,3,h,(1)+10,h,(2)+3,h,(3)=0.31,3,h,(2)+9,h,(3)=0.03,解联立方程，得,h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109,将,h(n),以及,M=1,N=2,代入,(8.8.15),(8.8.16),式中，得,a,1,=0.1824,a,2,=0.1126,b,0,=0.3333,b,1,=0.0330,滤波器的系统函数为,相应的差分方程为,y(n)=0.3333x(n)+0.0330 x(n,1,)0.1824y(n,1,)+0.1126y(n,2,),当,x(n)=3,1,时，输出,y(n),为,y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:,将,y(n),与给定,y,d,(n),比较，,y(n),的前五项与,y,d,(n),的前五项很相近，,y(n),在五项以后幅度值很小。,