高等代数§6.1集合· 映射.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,高等代数课件,第六章 线性空间,6.1,集合,映射,代数与几何教研室,一、,集合,把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做,集合,；,常用大写字母,A,、,B,、,C,等表示集合；,当,a,是集合,A,的元素时，就说,a,属于,A,，,记作：；,当,a,不是集合,A,的元素时，就说,a,不属于,A,，,记作：,1,、概念,组成集合的这些事物称为集合的,元素,用小写字母,a,、,b,、,c,等表示集合的元素,关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是,19,世纪中期德国数学家康托尔G,Cantor,），,他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果,;,集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性,.,Remark:,集合的表示方法：,描述法,：给出这个集合的元素所具有的特征性质,.,列举法,：把构成集合的全部元素一一列举出来,.,例1,例2,N ，,2Z,例3,M,x,|,x,具有性质,P,M,a,1,，,a,2,，,a,n,2,、集合间的关系,如果,B,中的每一个元素都是,A,中的元素，则称,B,是,A,的,子集,，记作，（读作,B,包含于,A,）,当且仅当,空集,：不含任何元素的集合，记为,注意,：,空集是任意集合的子集,如果,A,、,B,两集合含有完全相同的元素，则称,A,与,B,相等,，记作,A,B,.,A,B,当且仅当 且,3,、集合间的运算,交,：；,并,：,显然有，,1,、证明等式,:,证：显然，又 ，,，,从而,例题：,故等式成立,2,、已知 ，,证明：,又因 ，,又因,，,证,：,1,）,此即，,因此无论哪一种情况，都有,.,此即，,但是,二、映射,设,M,、,M,是给定的两个非空集合，如果有 一个对,应法则,，,通过这个法则,对于,M,中的每一个元素,a,，,都有,M,中一个唯一确定的元素,a,与它对应,则称,为,称,a,为,a,在映射,下的,象,，而,a,称为,a,在映射,下的,M,到,M,的一个,映射,，记作,:,或,原象,，记作,(,a,),a,或,1,、定义,设映射,集合,称之为,M,在映射,下的,象,，通常记作,Im,集合,M,到,M,自身的映射称为,M,的一个,变换,显然，,注,例,4,判断下列,M,到,M,对应法则是否为映射,1）,M,a,，,b,，,c,、,M,1,2，3,4,：,(,a,),1,，,(,b,),1,，,(,c,),2,：,(,a,)1,(,b,)2,(,c,)3,(,c,)4,：,(,b,),2,，,(,c,),4,（,不是,）,（,是,）,（,不是,）,2）,M,Z,，,M,Z,，,：,(,n,)n,|,：,(,n,),|,n,|,1,（,不是,）,（,是,）,：,(,a,),a,0,，,4,）,M,P,，,M,，（,P,为数域）,：,(a),aE,，,（,E,为,n,级单位矩阵）,5,）,M,、,M,为任意两个非空集合，,a,0,是,M,中的一个,固定元素,.,（,是,）,（,是,）,6,）,M,M,P,x,（,P,为数域）,：,(,f,(,x,),f,(,x,),，,（,是,）,3,）,M,，,M,P,，,（,P,为数域）,：,(,A,),|,A,|,，,（,是,）,例,5,M,是一个集合，定义,I,：,I,(,a,),a,，,即,I,把,M,上的元素映到它自身，,I,是一个映射，,例,6,任意一个在实数集,R,上的函数,yf,(,x,),都是实数集,R,到自身的映射，即，函数可以看成是,称,I,为,M,上的,恒等映射,或,单位映射,映射的一个特殊情形,2,、映射的乘积,设映射 ，,乘积,定义为：,(,a,),(,(,a,),即相继施行,和,的结果，是,M,到,M,的一个,映射,对于任意映射 ，有,设映射,，,有,注：,3,、映射的性质,:,设映射,1,）若,，即对于任意,，均存在,（或称,为,映上的,）；,2,）若,M,中不同元素的象也不同，即,（或,），,则称,是,M,到,M,的一个,单射,（或称,为,11,的,）；,3,）若,既是单射，又是满射，则称,为,双射,，使,，则称,是,M,到,M,的一个,满射,（或称,为,11,对应,）,例,7,判断下列映射的性质,1）,M,a,，,b,，,c,、,M,1,2，3,：,(,a,)1，,(,b,)1，,(,c,)2,（,既不单射，,也不是满射,）,：,(,a,),3,，,(,b,),2,，,(,c,),1,2）,M,=,Z,，,M,Z,，,：,(,n,),|,n,|,1,（,是满射，但不是单射,）,3,）,M,，,M,P,，（,P,为数域）,：,(,A,),|,A,|,，,（,是满射，但不是单射,）,（,双射,）,4）,M,P,，,M,P,为数域,E,为,n,级单位矩阵,：,(,a,),aE,，,（,是单射，但不是满射,）,：,(,a,),a,0,，,（,既不单射，也不是满射,）,6,）,M,M,P,x,，,P,为数域,：,(,f,(,x,),f,(,x,),，,（,是满射，但不是单射,）,7,）,M,是一个集合，定义,I,：,I,(,a,),a,，,8）,M,=,Z,，,M,2,Z，,：,(,n,),2,n,（,双射,）,（,双射,）,5,）,M,、,M,为任意非空集合，为固定元素,对于有限集来说，两集合之间存在,11,对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；,对于有限集,A,及其子集,B,，若,B,A,（即,B,为,A,的真子集），则,A,、,B,之间不可能存在,11,对应；,但是对于无限集未必如此,.,注：,如例,7,中的,8,），,是,11,对应，但,2,Z,是,Z,的真子集,M,=,Z,，,M,2,Z，,：,(,n,),2,n,4,、可逆映射,定义,：设映射,若有映射,使得,则称,为,可逆映射,，,为,的,逆映射,，,若,为可逆映射，则,1,也为可逆映射，且,（,1,）,1,注：,为可逆映射，,，若,的逆映射是由,唯一确定的,记作,1,为可逆映射的充要条件是,为,11,对应,证：,若映射,为,11,对应，则对,均存在唯一的,，使,(,x,),y,，,作对应,即,；,即,为可逆映射,则,是一个,M,到,M,的映射,且对,即,所以,为满射,.,其次，对,，则,即,为单射,.所以,为,11,对应,反之，设,为可逆映射，则,练习：,找一个,R,到,R,的,11,对应,，规定,解：,则 是,R,到,R,的一个映射,.,若,，则,，,是单射,，存在,，使,故 是,11,对应,是满射,2,、令,，问：,1,）,g,是不是,R,到,R,的双射？,g,是不是,f,的逆映射？,2,）,g,是不是可逆映射？若是的话，求其逆,解：,1,）,g,是,R,到自身的双射,，若 ，则 ，,g,是单射,并且 ，即,g,是满射,又,，,，,g,不是,f,的逆映射,事实上，,2,）,g,是可逆映射,3,、设映射,，证明：,1,）如果,h,是单射，那么,f,也是单射；,2,）如果,h,是满射，那么,g,也是满射；,3,）如果,f,、,g,都是双射，那么,h,也是双射，并且,这与,h,是单射矛盾，,f,是单射,证：,1,）若,f,不是单射，则存在,于是有,2,）,h,是满射，,，即,，,g,是满射,又,3,），因为,g,是满射，存在,使,又因为,f,是满射，存在，使,h,是满射,若,，由于,f,是单射，有,又因为,g,是单射，有,即,因而,h,是双射,h,是单射,.,