第5章第3节函数的升降、凸性与极值.ppt

5.3.,函数的升降、凸性与极值,*,*,数形结合,本节内容,本节综合运用导数研究函数性态,1.,函数的单调性,(,升降性,.,增减性,),2.,函数的极大值,.,极小值,(,极值,),3.,函数的最大值,.,最小值,(,最值,),4.,函数的凹凸性及拐点,(,凸性,),4/7/2026,1,一、函数的上升与下降（单调性）,o,o,a,b,a,b,从导数的几何意义考察函数的单调性：观察在,(,a,b,),区间内导数的符号正负与函数的单调性变化关系情况,4/7/2026,2,Th.,1,（,导数的正负与函数升降的关系,）,证明：,(,必要性,),由导数定义和极限保号性、,(,略,),(,充分性,),任取 由中值定理可证,.,推论：,（,严格单调的充分条件,）若,f,(,x,),在,a,b,连,续，在,(,a,b,),可导，且 不变号，则,4/7/2026,3,注,1,.,Th,.1,表明，讨论可导函数的单调性，只须判别,其导数的符号即可，其步骤是,:,确定 的,定义域,；,求 ，令 求出,分界点,；,用分界点将定义域分成若干个开区间；,判别 在每个开区间内的,符号,，即可,确定 的严格,单调性,（严格单调区间）,.,4/7/2026,4,例,1.,讨论 的上升、下降情况,.,解：,该函数的定义域是,R.,由,它们将,R,分成三个区间：,x,y,+,+,y,加题,4/7/2026,5,例,2.,解：定义域是,R,.,由,现列表讨论如下：,x,y,+,+,+,y,讨论,的单调性,.,加题,4/7/2026,6,Th,.2,（,不等式定理,）,若,f,(,x,),与,g,(,x,),满足条件：,(1),在,a,b,上可导,;,注,2.,利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式,y,x,M,o,a,x,b,扩展,4/7/2026,7,Th,.2,若,F,(,x,),满足,证明：,4/7/2026,8,例,3.,证明,证明：,从而得证,.,单调增加,单调减少,加题,4/7/2026,9,例,4.,证明：,4/7/2026,10,证毕,证毕,4/7/2026,11,例,5.,证明方程,证明：,4/7/2026,12,二、函数的极值,1.,Def,（,局部极值,）,4/7/2026,13,o,a,b,x,y,注,3.,函数的极值的局部性,.,定义中可以有,4/7/2026,14,直觉,:,函数的极值可能在驻点或导数不存在的点处取得,.,驻点或导数不存在的点统称为,临界点,（,极值可疑点,）,.,4/7/2026,15,结论,:,o,x,y,y=,2,x,y=x,1.,2.,4/7/2026,16,Th.3,（,极值的必要条件）,由此求出可能使,f,(,x,),取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？,图示可见,由导数符号,可判定极大极小值点,.,x,y,o,y,x,o,极值可疑点,4/7/2026,17,Th.,4,（,极值判别法之一）充分条件,4/7/2026,18,x,取局部极小值,取局部极大值,不取局部极值,不取局部极值,证明：,由函数的升降性及极值定义得到,.,列表如下：,4/7/2026,19,注,4.,4/7/2026,20,Th,.5,（,极值判别法之二）充分条件,证明：,由二阶导数定义及极限保号性、,Th,4,得证,.,4/7/2026,21,Th.5,(1),(2),定理,5,是定理,5,的特殊情形,.,扩充内容,4/7/2026,22,证明：,根据,Taylor,公式,有,证毕,4/7/2026,23,例,6.,解：,现列表讨论如下：,(,以这两个点划分,R),即驻点和不可导点分别为,:,y,x,o,4/7/2026,24,x,0,y,+,不存在,0,+,y,4/7/2026,25,例,7.,解：,加题,4/7/2026,26,例,8.,解：,加题,4/7/2026,27,三、函数的最大值和最小值,最大、最小、最省的问题,如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？,最大值、最小值问题,y,x,a,O,b,4/7/2026,28,注,1,：,函数在某一区间上的最大值和最小值,也叫,全局极值,.,可导函数在,a,b,上的最大、最小值的求解步骤：,注,2,：,4/7/2026,29,例,9.,解：,所以函数的最大值是,0,最小值是,2.,例,10.,某生产队要建造一个体积为,50,立方米的有盖圆柱形氨水池,.,问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？,解：,用料最省就是要求氨水池的,表面积最小,.,设氨水池的底半径是,r,高是,h,它,的表面积,h,r,O,4/7/2026,30,目标函数,4/7/2026,31,用,V,50,立方米代入，得到,答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。,这时相应的高为,4/7/2026,32,弧度,弧长,4/7/2026,33,目标函数,常数,4/7/2026,34,四、函数的凸性,是描述函数性状（,弯曲方向,）的一个更深入的概念,.,例如：,y,x,o,4/7/2026,35,上凸,(,下凹,),下凸,(,上凹,),几何角度：,x,y,o,x,y,o,4/7/2026,36,1.,Def,（函数的凸性）,4/7/2026,37,注：函数的凹凸性，下凸即是上凹,.,4/7/2026,38,2.,函数的凸性与其导数的关系,Th,.6,证明,：,由,Lagrange,公式，得：,事实上,4/7/2026,39,其中，,由得 上凸，故 下凸,.,4/7/2026,40,Def,:,若曲线 在其上一点 的,一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线,的,拐点,.(,曲线上使凸凹性改变的点,),x,y,o,y,=,f,(,x,),4/7/2026,41,注：,y,x,o,4/7/2026,42,求 ；,令 ，求解，并划分,f,(,x,),的定义域为若干,个开区间,.,判别 在每个开区间的符号,.,设,列表讨论如下：,3.,讨论,f,(,x,),的凸性及拐点的步骤,x,（上凸）,0,（下凸）,是拐点,（下凸）,0,（上凸）,是拐点,（下凸）,0,（下凸）,不 是,（上凸）,0,（上凸）,拐 点,注：对 不存在的点亦可类似讨论,.,4/7/2026,43,例,1.,讨论,的凸性及拐点,.,解：,x,y,o,1,x,0,0,不存在,y,上凸,拐点,下凸,非拐点,下凸,4/7/2026,44,例,2.,解：,其定义域是,R,.,由,x,y,o,1,1,-1,-1,x,1,0,0,y,极小值,1,极大值,1,驻点,升降性与极值性,4/7/2026,45,又,列表如下：,x,0,0,0,0,上凸,拐点,下凸,拐点,上凸,拐点,下凸,注意,:,拐点是曲线上使曲线弯曲方向发生改变的点,凹凸性与拐点,4/7/2026,46,x,0,1,0,0,0,0,0,上凸,拐点,下凸,极小,下凸,拐点,上凸,极大,上凸,拐点,下,凸,统一列表如下,:,合二为一,4/7/2026,47,4.,曲线的渐近线,x,y,o,双曲线,的渐近线,4/7/2026,48,y,x,o,P,K,M,Def,:,当曲线,C,上动点,M,沿着曲线,C,无限远移时，若动点,M,到某直线,L,的距离无限趋于零，则称直线,L,是曲线,C,的渐近线,.,C,L,L,曲线的渐近线有两种：,1.,垂直渐近线,:,x=c,(,垂直于,x,轴,),2.,斜渐近线,:,y=,ax+b,（包括水平渐近线,y=b,）,4/7/2026,49,(1),垂直渐近线,例如：,即,y,轴是它的垂直渐进线,.,4/7/2026,50,斜渐近线,如何求出渐近线 呢？,因 是常数，故,见,PPT,49,图,4/7/2026,51,性质,:,直线 是曲线 的斜渐近线,因此得,从而,由得,特别，当,a=0,时，就是,水平渐近线,.,即：,直线 是水平渐近线,求法,4/7/2026,52,例,3.,解：,由于,故,x,=1,为,f,(,x,),的,垂直渐近线,.,又,故,4/7/2026,53,故 是渐近线,.,例,4.,求双曲线 的渐近线,.,解：,因函数在,加题,计算得,:,4/7/2026,54,例,5.,加题,P221,例题,按渐近线的,定义求极限,4/7/2026,55,综合运用函数特性描绘函数图形,一般步骤：,5.,函数的图形,(1),确定函数 的定义域,讨论函数的奇偶性、,对称性、周期性等性态,;,(2),求出使,不存在的点,把函数的定义域划分成几个部分区间,;,(3),根据 的,符号,确定函数的上升或下降区间,图形的上凸或下凸区间,以及极值和拐点,;,可列表讨论,;,(4),确定函数图形的,水平、垂直渐近线、斜渐近线,;,(5),描点作图,.,描出,极值点、拐点,曲线与坐标轴的交点,.,4/7/2026,56,例,12.,解：,(3),列表讨论如下：,P222,例题,4/7/2026,57,表,1.,函数的上升、下降和极值,.,表,2.,函数的上凸、下凸和拐点,.,x,0,(0,1),1,y,不存在,0,y,无定义,极小值,0,x,0,y,不存在,0,y,无定义,拐点,4/7/2026,58,表,3.,统一列表,x,0,1,y,不存在,0,不存在,0,y,无定义,极小值,0,拐点,4/7/2026,59,(5),曲线与坐标轴的交点为,A,(1,0),.,y,x,0.5,1,1.5,2,1,A,C,B,y,=1,渐近线,O,综合上述讨论作图如下：,4/7/2026,60,例,13.,解：,（,3,）,列表讨论如下：,4/7/2026,61,2,1,0,0,不存在,0,不存在,极大值 ,4,极小值,0,上 凸,下 凸,无,定,义,又因为,即，,a=1,，,b=-1,4/7/2026,62,(5),曲线与坐标轴交于原点,作图如下：,y,x,-2,-1,O,-1,-2,-3,-4,4/7/2026,63,Matlab,程序,4/7/2026,64,函数图形的描绘,综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,4/7/2026,65,1.,单调性的判别,是拉格朗日中值定理的重要应用,.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,.,应用,:,(,利用函数的单调性,),(2),求函数的极值,(,注意最值与极值的区别,),(3),实际问题求最值的步骤,(,求函数的极值基础上求最值,),五、小结,本节综合运用导数研究函数性态,(1),可以确定某些方程,实根的个数,和,证明不等式,.,4/7/2026,66,极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.(,联系图形理解）,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得,.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),作业,:p225 p 228 22.24.27,极值可疑点,由极值存在的必要条件找临界点,.,4/7/2026,67,2.,函数的凹凸性描述函数曲线弯曲方向的性态,.,曲线上使曲线弯曲方向发生变化的临界点为曲线的拐点,(,求法,).,3.,综合运用以上知识描绘函数的图形,(,方法步骤,),作业,:p 228 22.24.27,4/7/2026,68,