多重积分计算.ppt

第二节 二重积分的计算法,一 问题的提出,二 直角坐标计算二重积分利用,三 利用极坐标计算二重积分,四 小结,按定义,:,二重积分是一个特定乘积和式极限,然而，用定义来计算二重积分，一般情况,下是非常麻烦的,.,那么,，,有没有简便的计算方法呢,?,这就是我,们今天所要研究的课题。下面介绍,:,一、问题的提出,二、利用直角坐标计算二重积分,二重积分仅与被积函数及积分域有,关,为此,先介绍：,1、积分域,D:,如果积分区域为：,X,型,X,型,区域的特点,：,a、,平行于,y,轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；,b、,（1）,X-,型域,（2）,Y-,型域：,Y,型,Y,型,区域的特点,：,a、,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界的交点不多于两个。,b、,2、,X,-,型域下二重积分的计算,:,由几何意义，若,此为,平行截面面积为已知的立体的体积,.,截面为曲边梯形面积为：,(,曲顶柱体的体积,),则,y,Z,注:若,(x,y),0,仍然适用。,注意:,1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;,2）积分次序:,X-,型域 先,Y,后,X;,3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，,域边两线夹，外限依靠,它。,为,方便，上式也常记为：,3、,Y-,型域下二重积分的计算：,同理：,Y,型域下,于是,1,）积分次序,:,Y-,型域,先,x,后,Y;,2,）积分限确定法,:,“,域中一线插”,须用平行于,X,轴的射线,穿插区域,。,注意,:,注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。,4、利用直系计算二重积分的步骤,（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；,（3）确定积分限，化为二次定积分；,（2）根据积分域类型,确定积分次序；,（4）计算两次定积分，即可得出结果.,解：,X,型,Y,型,例2,解：,X-型,例3,解,：（,如图）将,D,作,Y,型,-1,2,5、若区域为组合域，如图则：,0,6、如果积分区域既是,X,型，,又是,Y,型,则有,解：,积分区域如图,x,y,o,2,3,1,原式,解：,原式,例6,解：,先去掉绝对值符号，如图,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,（,在积分中要正确选择,积分次序,）,Y,型,X,型,7.小结,三 利用极坐标系计算二重积分,当一些二重积分的积分区域,D,用极坐标表示比,较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标,系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑,其计算问题。,1 直系与极系下的二重积分关系（如图）,（1）面积元素变换为极系下：,（,2）二重积分转换公式：,（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下,的二重积分需要进行“三换”：,2 极系下的二重积分化为二次积分,用,两条过极点的射线夹平面区域，,由两射线的倾角得到其上下限,任意作过极点的半射线与平面区域相交，,由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。,将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算,。,（1）区域如图1,具体地（如图）,图1,（2）区域如图2,图2,（3）区域如图3,图3,（4）区域如图4,图4,解,解,解,解,在极系,下：,（如图）,o,2a,D,解,计算二重积分应该注意以下几点：,先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。,首先，选择坐标系。,其次，化二重积分为二次积分。,根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。,最后，计算二次积分。,由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。,四、小结,