北理工数值分析第一章PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值分析,主讲教师,:,满红英,2,教材,丁丽娟，程杞元，,数值计算方法,，高等教育出版社,参考书,各工科院校相应教材,清华大学,哈工大,西安交大等,3,最后成绩,=,实验作业成绩,(20%)+,考试成绩,(80%),实验作业：下列,1,和,2,选择一个,1.,自选题,(,结合专业,),，作业中包含下列内容,(1),实际问题,(2),数学模型,(,例如，解常微分方程组，数据拟合等,),(3),计算方法,(4),程序,(,matlab,),(5),计算结果及分析,考试前交,4,最后成绩,=,实验作业成绩,(20%)+,考试成绩,(80%),实验作业：下列,1,和,2,选择一个,2.,课本或其它参考书的数值实验题,(,至少,6,道,),作业中包含下列内容,(1),题目（课本外的说明出处）,(2),程序,(,matlab,),(3),计算结果及分析,4,月,1,日前交一次，考试前交一次。,5,打印稿,(,不需要计算过程,),，或电子文档,注明学院、专业,完全相同的实验作业没有实验作业成绩,答疑：课间,周二、四中午,12:40,13,:40,中心教学楼,816,建议或问题：,manhy,6,问题：数值计算方法是做什么用的？,数值,计算,求各种数学问题,近似解,的方法和理论,计算,机,数学模型,实际问题,近似解,7,主要内容,数值代数,线性方程组求解,(,第二章,第三章,),特征值计算,(,第四章,),数值逼近,插值法,(,第五章,),函数逼近,(,第六章,),数值微分数值积分,(,第七章,),非线性方程求解,(,第八章,),常微分方程数值解法,(,第九章,),8,第一章 误差,1,误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型,模型误差,通过测量得到模型中参数的值,观测误差,求近似解,截断误差,机器字长有限,舍入误差,9,2,绝对误差、相对误差和有效数字,2.1,绝对误差与相对误差,10,例：,11,四舍五入的原则：,1.,舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位,2.,舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶,数,例：,0.7135,0.7765,0.73251,分别取三位小数,0.714,0.776,0.733,一般地,凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位,.,四舍六入五成双,12,例：测得会议室的长为,30m,宽为,10m,，长的误差不超过,5cm,宽的误差不超过,2cm,如何表示？,哪一个精度高？,13,两种误差限的关系,：,14,例,：,是经过四舍五入得到的近似值，则,15,2.2,有效数字,16,例如,准确到小数点后第 位，,则其准确到小数点后第 位，,17,18,有效数字另一等价定义,19,问题：有效数字的位数和精确度的关系？考虑相对误差限与有效数字的关系,20,反之,21,解,:,（用绝对误差限和有效数字的关系）,取三位有效数字,.,要使绝对误差限满足,22,解,1,：相对误差限和有效数字的关系,23,解,2,:,（用绝对误差限和有效数字的关系）,问题：,假定,1.21,及运算过程,精确到两位小数，,误差的传播,25,3,数值计算中误差的传播,3.1,基本运算中的误差传播,27,特别地，和、差、积、商的误差公式为：,28,即,和、差的绝对误差限,不超过各数的绝对误,差限之和，,积、商的相对误差限,不超过各,数的相对误差限之和,.,例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求,的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效,数字,?,解：,计算结果有,2,位有效数字,.,30,故计算结果有,2,位有效数字,.,31,32,3.2,算法的数值稳定性,算法,：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序,稳定性,：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差,在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定,的；否则称算法是数值不稳定的,.,33,算法,34,n,(,算法,),0,0.18232155,1,0.08839225,2,0.05803875,3,0.04313958,4,0.03430208,5,0.02848958,6,0.02421875,7,0.02176339,8,0.01618305,9,0.03019588,10,-0.05097941,11,0.34580612,12,-0.64569726,13,8.30540938,14,-41.45561831,35,36,算法,由于,取,按公式,计算,例如,37,n,(,算法,),(,算法,),0,0.18232155,0.18232155,1,0.08839225,0.08839222,2,0.05803875,0.05803892,3,0.04313958,0.04313873,4,0.03430208,0.03430633,5,0.02848958,0.02546835,6,0.02421875,0.02432491,7,0.02176339,0.02123260,8,0.01618305,0.01883699,9,0.03019588,0.01692617,10,-0.05097941,0.01536914,11,0.34580612,0.01406339,12,-0.64569726,0.01301636,13,8.30540938,0.01184127,14,-41.45561831,0.01222222,38,分析原因：,由算法,对算法,结论：算法,数值不稳定，算法,数值稳定。,39,4,数值计算中应注意的问题,1.,避免两个相近的数相减,40,解,.,若取,则,41,一般地，,当,x,充,分大时，应作变换：,当,x,接近零时，应作变换,42,2.,避免大数,“,吃,”,小数,.,计算机浮点数运算导致,绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被,吃掉,.,43,3.,避免除数绝对值远小于被除数的绝对值,4.,简化计算，减少运算次数，提高效率,如计算,n,次多项式的值,需 次乘法运算，,次加法运算,.,需 次乘法运算，,次加法运算,.,45,5.,选用数值稳定性好的算法,.,Ex.P13.,9,10,11,12,46,47,48,(3),49,